3-第3章-單自由度體系的振動(dòng)分析匯總

1、第第 3 章章 單自由度體系的振動(dòng)分析單自由度體系的振動(dòng)分析3.1 單自由度體系的自由振動(dòng)分析單自由度體系的自由振動(dòng)分析 3.1.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 3.1.2 阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng) 3.1.3 確定體系阻尼比的一種方法確定體系阻尼比的一種方法3.2 單自由度體系受迫振動(dòng)單自由度體系受迫振動(dòng) 3.2.1 簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 3.2.2 周期荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析周期荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 3.2.3 任意荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析任意荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 3.2.4 突加荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析突加荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 3.2.

2、5 矩形脈沖荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析矩形脈沖荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 3.2.6 三角形脈沖荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)三角形脈沖荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)3.1 單自由度體系的自由振動(dòng)分析單自由度體系的自由振動(dòng)分析 最簡(jiǎn)單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系最簡(jiǎn)單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系. 已經(jīng)得到單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程：已經(jīng)得到單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程：kcm( )yt( )F t)(tFkyycymP （3-1） 這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復(fù)這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。 0 kyycy

3、m （3-2） 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 等效動(dòng)荷載為零的情況下的振動(dòng)稱為等效動(dòng)荷載為零的情況下的振動(dòng)稱為自由振動(dòng)自由振動(dòng)。定義定義 自由振動(dòng)產(chǎn)生的原因：自由振動(dòng)產(chǎn)生的原因：初始時(shí)刻的干擾！初始時(shí)刻的干擾！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始速度初始速度 結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動(dòng)，而在干擾消失后繼續(xù)振動(dòng)，結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動(dòng)，而在干擾消失后繼續(xù)振動(dòng)，這種振動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)的這種振動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)。(第二章）第二章）如果去掉外荷載如果去掉外荷載FP(t)=0!kcm( )yt( )F t （3-23-2）稱為（二階線性常系數(shù)）稱為（二階線性常系數(shù)）齊次方程；

4、齊次方程； 0 kyycym （3-2） 齊次方程：齊次方程： 可設(shè)齊次方程解的形式為：可設(shè)齊次方程解的形式為： stGety )(（3-3）02 stGekcsms)( 其特征方程為：其特征方程為： 022 smcs或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： 02 )(kcsms（3-4）stGsety )( steGsty2 )( 齊次方程求解：齊次方程求解： 式中式中 2=k/m， 是體系振動(dòng)的是體系振動(dòng)的圓頻率圓頻率。 根據(jù)阻尼系數(shù)根據(jù)阻尼系數(shù)c c值的不同，解出的特征參數(shù)值的不同，解出的特征參數(shù)s s 值將具有不值將具有不同的特性。同的特性。 3.1.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼

5、自由振動(dòng) If c=0： 特征方程：特征方程： 022 smcs0 kyycym （3-2） 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： is （3-9）titieGeGty 21)( 引入引入Euler方程：方程： 代入代入(3-2)得：得： titeti sincos （3-10） A和和B是由初始條件決定的常數(shù)。是由初始條件決定的常數(shù)。得無(wú)阻尼得無(wú)阻尼自由振動(dòng)的自由振動(dòng)的位移反應(yīng)：位移反應(yīng)： tBtAty cossin)( （3-12） 設(shè)設(shè)t=0時(shí)：時(shí)：00yy )(00yy )(tBtAty cossin)( 代入：代入：tBtAty sincos)( 0y0B0y A0yB 代入：代入： 0yA

6、 單自由度無(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程的解：?jiǎn)巫杂啥葻o(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程的解：tytyty cossin)(00 （3-13） 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?sin()( tty（3-14） 位移反應(yīng)：位移反應(yīng)： tBtAty cossin)( （3-12）0tytyty cossin)(00 （3-13）bababacossinsincos)sin( 三角關(guān)系：三角關(guān)系： 對(duì)比對(duì)比(3-13)： b t ; a 0y 0y 顯然有：顯然有： cos 0y sin 0y 證明：證明：ttty cossinsincos)( 可寫成：可寫成：)sin()( tty（3-14）2020yy 00yy arctan ty0

7、. .y0 RI y0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 y0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 .

8、 .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ttytyty cossin)(00 （3-13）)sin()( tty（3-14） 物理意義：物理意義： tytyty cossin)(00 （3-13）)sin()( tty（3-14） 物理意義：物理意義： 2 - -tcos( ) t-cos ty0sin ty0 . . y0. .y0 . .y0 RI t t ty0 . .y0 2 - -T= 2 T= 2 T= 2 定義對(duì)于無(wú)阻尼體系，運(yùn)動(dòng)完全是反復(fù)進(jìn)行的。運(yùn)動(dòng)的最大位移對(duì)于無(wú)阻尼體系，運(yùn)動(dòng)完全是反復(fù)進(jìn)行的。運(yùn)動(dòng)的最大位移稱為稱為振幅振幅。運(yùn)

9、動(dòng)完成一個(gè)完整循環(huán)所需時(shí)間稱為運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)完整循環(huán)所需時(shí)間稱為自振周期自振周期，由于對(duì)應(yīng)每由于對(duì)應(yīng)每個(gè)角增量個(gè)角增量 2 便發(fā)生一個(gè)完整循環(huán)，自振周期就是便發(fā)生一個(gè)完整循環(huán)，自振周期就是： ）秒秒；（弧弧度度rad/s / mk 單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為自振頻率自振頻率： ）（秒；（秒； sec kmT 22 ）秒；秒；（次（次Hz/ 21 Tf T)sin()( tty1sect 運(yùn)動(dòng)的角速度稱為自振運(yùn)動(dòng)的角速度稱為自振圓頻率圓頻率：簡(jiǎn)支梁的自振頻率簡(jiǎn)支梁的自振頻率mEIl01 yycym 已知：已知： 由第由第2 2章我們已經(jīng)推導(dǎo)出用柔度表示的簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程：章我

10、們已經(jīng)推導(dǎo)出用柔度表示的簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程： （2-5）)(tFyycymE 1 令體系的令體系的等效動(dòng)荷載等效動(dòng)荷載FE(t)=0，則則簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)方程為：簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)方程為： 根據(jù)定義：等效動(dòng)荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動(dòng)稱為根據(jù)定義：等效動(dòng)荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動(dòng)稱為自由振動(dòng)自由振動(dòng)。 1 k，則可導(dǎo)出：，則可導(dǎo)出：stgPgmggmmk 1mmgststgPgmggmmk 1簡(jiǎn)支梁自振頻率的這些表達(dá)式說(shuō)明：簡(jiǎn)支梁自振頻率的這些表達(dá)式說(shuō)明： 為為在質(zhì)量自由度方向加單位力所引起的位移在質(zhì)量自由度方向加單位力所引起的位移！ stst表示表示由于重力由于重力mg引起的靜力位移引起的靜力位移

11、！對(duì)單自由度體系，自振頻率可以用剛度對(duì)單自由度體系，自振頻率可以用剛度k、柔度、柔度 或靜或靜撓度撓度 stst按上式計(jì)算；按上式計(jì)算；簡(jiǎn)支梁的自振頻率簡(jiǎn)支梁的自振頻率 是結(jié)構(gòu)剛度是結(jié)構(gòu)剛度k 和質(zhì)量和質(zhì)量m 決定的固有決定的固有特性；特性；結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 隨剛度隨剛度k 增大而增大；隨質(zhì)量增大而增大；隨質(zhì)量m 增大增大而減小；而減?。唤Y(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 隨靜撓度隨靜撓度 stst增大而減小。增大而減小。例例3-0 比較圖示三種單自由度梁的圓頻率。比較圖示三種單自由度梁的圓頻率。mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2梁的自振頻率為：梁的自振頻率為： m1

12、 解解 按各梁的單位彎矩圖，求梁的按各梁的單位彎矩圖，求梁的 ：4Pl325Pl163Pl8Pl8Pl8PlEIl4831 EIl768732 EIl19233 三種情況的頻率：三種情況的頻率：3148mlEI327768mlEI33192mlEI三種情況的頻率比：三種情況的頻率比：2:51. 1 : 1:3213.1.2 阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng) 對(duì)于有阻尼的單自由度體系對(duì)于有阻尼的單自由度體系 特征方程：特征方程： 022 smcs0 kyycym （3-2） 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 則：則： 0 c2222 mcmcs隨著根號(hào)中值的符號(hào)的不同，這個(gè)表達(dá)式可以描述隨著根號(hào)中值的符號(hào)的

13、不同，這個(gè)表達(dá)式可以描述臨界臨界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三種體系的運(yùn)動(dòng)型式。三種體系的運(yùn)動(dòng)型式。本課程只講本課程只講臨界阻尼臨界阻尼和和低阻尼低阻尼兩種情況。兩種情況。1.1.臨界阻尼臨界阻尼 當(dāng)根式中的值為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的阻尼值稱為當(dāng)根式中的值為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的阻尼值稱為臨界阻尼，記，記作作cc。顯然，應(yīng)有。顯然，應(yīng)有cc/2m= ，即：，即： 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs mcc2 這時(shí)，對(duì)應(yīng)的這時(shí)，對(duì)應(yīng)的s 值為值為 ： 0 kyycym （3-2） 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 臨界阻尼自由振動(dòng)方程的解為：臨界阻尼自由振動(dòng)方程的解為： mcssc221/（3-15

14、）tetGGty )()(21（3-16）y0( ) ty( )+etytyt1+00.ty0. 由初始條件：由初始條件： 0000yyyy)()( 得到臨界阻尼體系反應(yīng)的最終形式：得到臨界阻尼體系反應(yīng)的最終形式： 臨界阻尼位移解：臨界阻尼位移解： tetytyty )()(001 臨界阻尼體系反應(yīng)臨界阻尼體系反應(yīng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，體系的位移反應(yīng)從開始時(shí)的不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，體系的位移反應(yīng)從開始時(shí)的，依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。 teGtGty 211)()( 臨界阻尼臨界阻尼的物理意義的物理意義是：是：在自由振動(dòng)反應(yīng)在自由振動(dòng)反應(yīng)中不出現(xiàn)震蕩所需要中不出現(xiàn)震蕩所需要的最

15、小阻尼值的最小阻尼值。 速度解：速度解： 00201yyGyGtetGGty )()(21（3-16）2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs0 kyycym （3-2） 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有c/2m ，這時(shí)，特，這時(shí)，特征方程根式中的值必然為負(fù)值，則征方程根式中的值必然為負(fù)值，則s 值成為值成為： 2222 mcimcs 引入符號(hào)引入符號(hào)： mcccc2 2221 iis)( 其中其中 表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為阻尼比阻尼比，則：，則： mc2

16、成為：成為： dis tittitddeGeGty 21)(0 kyycym 低阻尼自由振動(dòng)方程：低阻尼自由振動(dòng)方程： 的解為：的解為： titeti sincos 引入引入Euler方程：方程： 21 d 引入符號(hào)引入符號(hào)： 其中其中 d 稱為有稱為有阻尼振動(dòng)頻率阻尼振動(dòng)頻率。21 is 則則 )(tititddeGeGe 21)cossin()(tBtAetyddt （3-18） 則則 tytyyetydddtcossin)(000 利用初始條件：利用初始條件：00yy )(00yy )( 得到得到低低阻尼體系阻尼體系動(dòng)力動(dòng)力反應(yīng)的最終形式反應(yīng)的最終形式： )cossin()(tBtAet

17、yddt （3-18）)sincos()cossin()(tBtAetBtAetyddddtddt 0yB Ayyd 00dyyA 00 寫成矢量表達(dá)式：寫成矢量表達(dá)式：)sin()(d tetyt運(yùn)動(dòng)的振幅（矢量的模）和初相位分別為：運(yùn)動(dòng)的振幅（矢量的模）和初相位分別為： 20020 d yyy 000yyydarctan（3-20） tytyyetydddtcossin)(000 低低阻尼體系阻尼體系動(dòng)力動(dòng)力反應(yīng)反應(yīng)： y0RIty0.x(t)et2DT =Dt)sin()(d tetyt 物理意義：物理意義： 低阻尼體系的自由振動(dòng)具有低阻尼體系的自由振動(dòng)具有不變的圓頻率不變的圓頻率 d

18、，并圍繞中，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則心位置振蕩，而其振幅則隨時(shí)間隨時(shí)間呈指數(shù)呈指數(shù)e-t 衰減衰減。如果。如果反應(yīng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，最終會(huì)衰減到零。反應(yīng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，最終會(huì)衰減到零。 3.1.3 確定體系阻尼比的一種方法確定體系阻尼比的一種方法)sin()(d tetyt 體系的阻尼比可以通過(guò)測(cè)試體體系的阻尼比可以通過(guò)測(cè)試體系運(yùn)動(dòng)的衰減規(guī)律得到：系運(yùn)動(dòng)的衰減規(guī)律得到： 阻尼體系動(dòng)力反應(yīng)：阻尼體系動(dòng)力反應(yīng)： 體系從任一時(shí)刻經(jīng)幾個(gè)周期后體系從任一時(shí)刻經(jīng)幾個(gè)周期后的振幅比為：的振幅比為： d nTnnTtttteeeeyykknkk2 取對(duì)數(shù)后：取對(duì)數(shù)后：dln nyynkktt2 nkkttyy

19、n ln21d ty(t)ettkt +nTk0kte d/ 2T)(nTtke（3-21）nkkttyyn ln21 阻尼比：阻尼比： 體系阻尼的測(cè)試體系阻尼的測(cè)試：2 2）計(jì)算阻尼比：）計(jì)算阻尼比： 確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。nkkttyy nkkttyyn ln21kmmc 22ty(t)et2DT=ytk+nytktkt +nTk0 e(t +nT)ketk1）實(shí)測(cè)體系經(jīng)過(guò)個(gè)周期后的位移幅值比：）實(shí)測(cè)體系經(jīng)過(guò)個(gè)周期后的位移幅值比：3 3）計(jì)算阻尼系數(shù)：）計(jì)算阻尼系數(shù)：例例3-1 計(jì)算圖示剛架的阻尼系數(shù)計(jì)算圖示剛架的阻尼系數(shù)已知：已知：26mN 105 .

20、4 EI 柱子無(wú)重柱子無(wú)重, h=3m, 剛性橫梁剛性橫梁m=5000kg 初位移初位移25mm 經(jīng)經(jīng)5個(gè)周期后測(cè)得位移個(gè)周期后測(cè)得位移7.12mm 解解 確定確定: ytk=yt0=25mm, yt5=7.12mm,計(jì)算阻尼比計(jì)算阻尼比:5ln21ttyynk 04. 012. 725ln521 計(jì)算阻尼系數(shù)：計(jì)算阻尼系數(shù)：kmmc 22kg/s 7 .113130 . 3105 . 424500004. 0236 m 1EIEIEI 25mmh3122hEIk 鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)：鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)： =0.02=0.020.05;0.05; 鋼結(jié)構(gòu)：鋼結(jié)構(gòu)： =0.002=0.002

21、0.02;0.02; 拱壩：拱壩： =0.03=0.030.05;0.05; 重力壩：重力壩： =0.05=0.050.1;0.1; 土壩、堆石壩：土壩、堆石壩： =0.1=0.10.20.2常用結(jié)構(gòu)的阻尼比常用結(jié)構(gòu)的阻尼比 3-2 單自由度體系受迫振動(dòng)單自由度體系受迫振動(dòng) 單自由度受迫振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程：?jiǎn)巫杂啥仁芷日駝?dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程：)(tFkyycymP （3-1） 二階常系數(shù)非齊次微分方程。全解由二階常系數(shù)非齊次微分方程。全解由通解通解和和特解特解組成：組成： )()()(tytyty21 （3-23） 通解通解y y1 1(t)由體系的自由振動(dòng)反應(yīng)確定：由體系的自由振動(dòng)反應(yīng)確定： 受

22、迫振動(dòng)：受迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。)cossin()(tBtAetyddt 1（3-18） 注意：注意：對(duì)于受迫振動(dòng)體系，通解中的常數(shù)的對(duì)于受迫振動(dòng)體系，通解中的常數(shù)的A A、B B 應(yīng)由微應(yīng)由微分方程的分方程的全解（通解全解（通解+ +特解）特解）而不能僅由通解確定！而不能僅由通解確定！ 荷載荷載FP(t)不同，微分方程的特解不同，微分方程的特解y y2 2(t)的形式是不同的。的形式是不同的。 )(tFt3-2-1 簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 簡(jiǎn)諧荷載：簡(jiǎn)諧荷載：FP(t)=F0sin t。 簡(jiǎn)

23、諧荷載作用下結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程：tFkyycym sin0 （3-27）F0為荷載的幅值，為荷載的幅值， 為荷載的圓頻率。為荷載的圓頻率。0F 2（一）無(wú)阻尼體系（一）無(wú)阻尼體系 簡(jiǎn)諧荷載作用下簡(jiǎn)諧荷載作用下的的無(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程無(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程： 通解通解 齊次方程的解：齊次方程的解：tBtAty cossin)(1 特解特解 由動(dòng)力荷載引起的特殊解。設(shè)：由動(dòng)力荷載引起的特殊解。設(shè)：tGty sin)(2 代入代入(1)(1)式得：式得：tFkyym sin0 （1）tFtkGtGm sinsinsin02202011 kmkFmkFG202201111

24、kFkFtFtGkm sinsin)(022011 kFG 所以特解的振幅：所以特解的振幅： ：頻率比：頻率比，表示荷載頻率與體系自振頻率的比：，表示荷載頻率與體系自振頻率的比： 特解：特解： 全解：全解：tkF sin2011)()()(tytyty21 常數(shù)常數(shù)A、B 由初始條件確定。假設(shè)：由初始條件確定。假設(shè)：000 )()(yy2011 kFA0 B 解得：解得：tBtA cossintkFtBtAty cossincos)(201tGty sin)(2Why?Why?2011 kFtkF sin2011 簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼體系的動(dòng)力反應(yīng)為：簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼體系的動(dòng)力反應(yīng)為：)s

25、in(sin)(ttkFty 2011F F0 0/ /k k = = stst: : 將荷載將荷載F F0 0 靜止地放在體系上所產(chǎn)生的位移靜止地放在體系上所產(chǎn)生的位移；: :動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)，表示簡(jiǎn)諧荷載的，表示簡(jiǎn)諧荷載的動(dòng)力放大效應(yīng)動(dòng)力放大效應(yīng)；211 SinSin t t：按荷載作用頻率振動(dòng)的反應(yīng)分量：按荷載作用頻率振動(dòng)的反應(yīng)分量：穩(wěn)態(tài)反應(yīng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)； SinSin t t：按體系自振頻率振動(dòng)的反應(yīng)分量：按體系自振頻率振動(dòng)的反應(yīng)分量：瞬態(tài)反應(yīng)瞬態(tài)反應(yīng)。 體系的動(dòng)力反應(yīng)由兩部分組成：體系的動(dòng)力反應(yīng)由兩部分組成：)sin(sin)(ttkFty 2011物理意義物理意義)(tyt)(

26、tyt2 )(tyt2 )sin(sin)(ttkFty 2011sin tkF 2011sintkF 201kF 2011kF 201SinSin t t：按：按荷載作用頻荷載作用頻率振動(dòng)的反率振動(dòng)的反應(yīng)分量：穩(wěn)應(yīng)分量：穩(wěn)態(tài)反應(yīng)；態(tài)反應(yīng)； SinSin t t：按體系自振按體系自振頻率振動(dòng)的頻率振動(dòng)的反應(yīng)分量：反應(yīng)分量：瞬態(tài)反應(yīng)。瞬態(tài)反應(yīng)。 動(dòng)力放大系數(shù)：動(dòng)力放大系數(shù)： 211 01.02.03.04.00123 思考：思考： =1=1時(shí)，體系的動(dòng)力反應(yīng)如何？時(shí)，體系的動(dòng)力反應(yīng)如何？)sin(sin)(ttkFty 0（二）阻尼體系（二）阻尼體系 阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程：阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程： 通解通

27、解 齊次方程的解：齊次方程的解： 特解特解 由動(dòng)力荷載引起的特殊解。設(shè)：由動(dòng)力荷載引起的特殊解。設(shè)：tFkyycym sin0 （3-27）)cossin()(tBtAetyddt 1（3-28） tGtGty cossin)(212（3-29） 由由c=2m， 2 2= =k/m,(3-27),(3-27)式可寫作：式可寫作：tmFyyy sin022 （3-27）tmFyyy sin022 （3-27）tGtGty cossin)(212（3-29） 對(duì)對(duì)y y2 2(t)求導(dǎo)：求導(dǎo)：tGtGty sincos)(212tGtGty cossin)(22212 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 代入方

28、程（代入方程（3-273-27）：）：tGtG cossin2221tGtG sincos2122tGtG cossin2212tmF sin0 tGGGtmFGGG cossin2212202122122變量變量t t為任意值時(shí)，等式均恒成立的條件？為任意值時(shí)，等式均恒成立的條件？ 020222122021221GGGmFGGG 即：即： 由此可解出系數(shù)：由此可解出系數(shù)： 22202222201212211kFGkFG（3-30） 代入方程的特解：代入方程的特解：tGtGty cossin)(212 ttkFty cossin)()(21211222202)()()(tytyty21 方程的

29、全解：方程的全解：)cossin(tBtAeddt （3-31） ttkF cos)sin(2121122220第一項(xiàng)按自振頻率第一項(xiàng)按自振頻率 d 振動(dòng)，是由初始條件確定的自由振動(dòng)反應(yīng)。振動(dòng)，是由初始條件確定的自由振動(dòng)反應(yīng)。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中阻尼的存在，這一項(xiàng)很快會(huì)被衰減為零，即由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中阻尼的存在，這一項(xiàng)很快會(huì)被衰減為零，即瞬態(tài)反應(yīng)；第二項(xiàng)按荷載頻率振動(dòng)，即第二項(xiàng)按荷載頻率振動(dòng)，即穩(wěn)態(tài)反應(yīng)；有些場(chǎng)合，如沖擊荷載、地震等，應(yīng)分析瞬態(tài)反應(yīng)有些場(chǎng)合，如沖擊荷載、地震等，應(yīng)分析瞬態(tài)反應(yīng)；一般情況下，瞬態(tài)反應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)分析的意義不大，這里一般情況下，瞬態(tài)反應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)分析的意義不大，這里主要

30、討論穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的特性。主要討論穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的特性。 ttkFty cossin)()(2121122220 諧振荷載作用下單自由度體系的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)解為：諧振荷載作用下單自由度體系的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)解為： ttysin)(（3-32） 2222222220212211 )()()()(kF)(arctan212 反應(yīng)振幅：反應(yīng)振幅：相位差：相位差： 2220211 kF這個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)的解是由這個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)的解是由正弦正弦和和余弦余弦兩個(gè)三角函數(shù)組合而成的，兩個(gè)三角函數(shù)組合而成的，它同樣描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，也就是位移隨時(shí)間呈正弦變化。它同樣描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，也就是位移隨時(shí)間呈正弦變化。這個(gè)運(yùn)動(dòng)也可以用矢量表示：這個(gè)

31、運(yùn)動(dòng)也可以用矢量表示： ttkFty cossin)()(2121122220 ttysin)(物理意義物理意義tIG1G2T=2tRG2G12-t2- -tsin tG1 cosG2t sin( ) t- 穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：與外荷載同頻率與外荷載同頻率 但存在一定但存在一定相位差相位差 ；這里的這里的相位差相位差表示表示反應(yīng)的相位比荷載相位反應(yīng)的相位比荷載相位所落后的角度所落后的角度。F F0 0/ /k k = = stst: : 荷載荷載F F0 0 產(chǎn)生的靜位移；產(chǎn)生的靜位移； 反應(yīng)的振幅與所引起的靜位移的比值稱為反應(yīng)的振幅與所引起的靜位移的比值稱為動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)： 222

32、211 st （3-32） 動(dòng)力反應(yīng)：動(dòng)力反應(yīng)： 動(dòng)力放大系數(shù)是頻率和阻尼的函數(shù)。動(dòng)力放大系數(shù)是頻率和阻尼的函數(shù)。 ttysin)( =0時(shí)：時(shí)： 211 反應(yīng)與外荷載同步！反應(yīng)與外荷載同步！( 1) ttkFty cos)sin()()()(21211222200122 )(arctantkFty sin)(201101.02.03.04.00123 動(dòng)力放大系數(shù)：動(dòng)力放大系數(shù)： 222211 0 0.15 0.20 0.25 0.30 0.50 1.0 0.70 01230901800 0.15 0.20 0.25 0.05 0.30 0.50 1.0 0.70 0122 )(arctan

33、 相頻特性：相頻特性： 越小，體系反應(yīng)越大；越小，體系反應(yīng)越大； 01.02.03.04.001230 0.15 0.20 0.25 0.30 0.50 1.0 0.70 遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于 時(shí)時(shí)， 1： 1 1：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應(yīng)，：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應(yīng)， 0。 0 0：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大，：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大， 接近于接近于180度度。 接近于接近于 時(shí)時(shí)， 1： 增加很快增加很快： 接近于接近于90度度。反應(yīng)的峰值出現(xiàn)在頻率比接近。反應(yīng)的峰值出現(xiàn)在頻率比接近1的的地方。當(dāng)作用荷載的頻率等于體系自振頻率時(shí)的狀態(tài)，稱體系地方。當(dāng)作用荷載的頻

34、率等于體系自振頻率時(shí)的狀態(tài)，稱體系發(fā)生發(fā)生共振共振。 222211 01230901800 0.15 0.20 0.25 0.05 0.30 0.50 1.0 0.70 212 arctan( )y ttt無(wú)阻尼體系阻尼體系(a)(b)( )y t21 212 arctan 222211 發(fā)生共振時(shí)發(fā)生共振時(shí)： 90 21 的極值的極值： 動(dòng)力系數(shù)與阻尼成反比！動(dòng)力系數(shù)與阻尼成反比！2121 max221 時(shí)：時(shí)： 共振可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞！共振可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞！ 在工程設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)通過(guò)調(diào)整結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量控制頻率，避免在工程設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)通過(guò)調(diào)整結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量控制頻率，避免接近荷載頻率，防止共振發(fā)生

35、！接近荷載頻率，防止共振發(fā)生！ 在共振區(qū)（在共振區(qū)（0.75 1.250.75 1.25），外荷載主要由阻尼平衡！），外荷載主要由阻尼平衡！ 遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于 時(shí)時(shí)， 1： 1 1：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應(yīng)，：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應(yīng)， 0。 0 0：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大，：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大， 接近于接近于180度度。 接近于接近于 時(shí)時(shí)， 1： 增加很快增加很快： 接近于接近于90度度。反應(yīng)的峰值出現(xiàn)在頻率比接近。反應(yīng)的峰值出現(xiàn)在頻率比接近1的的地方。當(dāng)作用荷載的頻率等于體系自振頻率時(shí)的狀態(tài)，稱體系地方。當(dāng)作用荷載的頻率等于體系自振頻率時(shí)的狀態(tài)，稱

36、體系發(fā)生發(fā)生共振共振。在共振區(qū)（在共振區(qū)（0.75 1.250.75 1.25），外荷載主要由阻尼平衡?。?，外荷載主要由阻尼平衡！ 加速度很小，外荷載主要由彈性力平衡！加速度很小，外荷載主要由彈性力平衡！ 位移很小，外荷載主要由慣性力平衡！位移很小，外荷載主要由慣性力平衡！ tFtFP sin)(0 )sin()(0 tkFty)sin()(20 tkFty )sin(20 tFymFI )cos()(0 tkFty )cos(220 tFymFD)sin(0 tFFS 例例3-2 3-2 求圖示結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)彎矩求圖示結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)彎矩已知：已知： =0.6 ；不計(jì)阻尼。

37、；不計(jì)阻尼。 解解 EIlFyst4830 60. 5625160111122. mEIl/2l/2tF sin0EIlFyyst485625130 .max1） 計(jì)算最大動(dòng)位移：計(jì)算最大動(dòng)位移：計(jì)算動(dòng)力系數(shù)：計(jì)算動(dòng)力系數(shù)：確定動(dòng)力振幅作用下的靜位移；確定動(dòng)力振幅作用下的靜位移；求出單位力作用下的撓度：求出單位力作用下的撓度：最大動(dòng)位移：最大動(dòng)位移：體系為單自由度體系為單自由度: 質(zhì)量的豎向位移質(zhì)量的豎向位移y(t)。)(tyEIl483 4Pl2） 計(jì)算最大動(dòng)彎矩：計(jì)算最大動(dòng)彎矩：作用在質(zhì)量上的合力：作用在質(zhì)量上的合力：體系位移：體系位移：最大動(dòng)彎矩：最大動(dòng)彎矩：mEIl/2l/2tF si

38、n0)(tystMlFlFM 440maxmax 例例3-23-2tkFty sin)(0)()(tymtFI )()(tFtFFIP 222111tFF sin0慣性力：慣性力：4PltkFm sin20tF sin022tF sin02tFtF sinsin020IF荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí) i ! ! 不同截面對(duì)應(yīng)的動(dòng)彎矩和靜彎矩的比值也不同！不同截面對(duì)應(yīng)的動(dòng)彎矩和靜彎矩的比值也不同！最大動(dòng)彎矩：最大動(dòng)彎矩：mEIl/2l/2tF sin0stiMM max 例例3-23-2內(nèi)力放大系數(shù)：內(nèi)力放大系數(shù)：stiMMmax 荷載作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)荷載作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí) i = ；mE

39、Ilqsin0tWhy?mEIl/2tF sin0l/4l/43-2-2 周期荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析周期荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 對(duì)于任意周期性荷載，可展開成傅里葉級(jí)數(shù)。對(duì)于任意周期性荷載，可展開成傅里葉級(jí)數(shù)。tTnbtTnaatFnPnnPnP 11022sincos)(（3-34） PPPTPPPnTPPPnTPPtdtTntFTbtdtTntFTadttFTa000022221sin)(cos)()(（3-35） 其中：其中：靜荷載靜荷載余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)周期荷載周期荷載簡(jiǎn)諧荷載是任意簡(jiǎn)諧荷載是任意周期荷載的一個(gè)周期荷載的一個(gè)特例，是級(jí)數(shù)中特例，是級(jí)數(shù)中的一項(xiàng)。的一項(xiàng)。F

40、 (t)tPTpTpTptF (t)PTPTPTPtTtFP 2sin)(不考慮阻尼時(shí)：不考慮阻尼時(shí)：對(duì)第對(duì)第n項(xiàng)項(xiàng)正弦正弦和和余弦余弦荷載，體系的運(yùn)動(dòng)方程為：荷載，體系的運(yùn)動(dòng)方程為：靜荷載靜荷載余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)tbkyymnn sin tTnbtTnaatFnPnnPnP 11022sincos)(周期荷載的傅里葉級(jí)數(shù)：周期荷載的傅里葉級(jí)數(shù)：tkbtynnnns sin)(PnTn 2其中：其中： nn211nn takyymnn cos tkatynnnnc cos)(體系的總位移可利用體系的總位移可利用疊加原理疊加原理求得：求得：對(duì)應(yīng)的解為：對(duì)應(yīng)的解為： 120111nn

41、nnnntbtaaktysincos)(（3-36） 靜位移靜位移余弦位移余弦位移正弦位移正弦位移 ttkFty cos)sin()(2121122220tFkyycym sin0 已知有阻尼體系：已知有阻尼體系：解為：解為： 22220222201211212kFGkFGtGtGty cossin)(212tGtGty sincos)(212tGtGty cossin)(22212 可設(shè)特解為：可設(shè)特解為：tFkyycym cos0 對(duì)有阻尼體系：對(duì)有阻尼體系：（a）（a） ttkFty )cos(sin)(22220212211解為：解為：有阻尼體系：有阻尼體系：考慮阻尼時(shí)：考慮阻尼時(shí)：對(duì)

42、用傅里葉級(jí)數(shù)表示的周期荷載，體系的運(yùn)動(dòng)方程為：對(duì)用傅里葉級(jí)數(shù)表示的周期荷載，體系的運(yùn)動(dòng)方程為：tTnbtTnaakyycymnPnnPn 11022sincos ttkFty cos)sin()(2121122220tFkyycym sin0 tbkyycymnn sin ttkbtynnnnnnn cos)sin()(212112222 ttkFty )cos(sin)(2222012211tFkyycym cos0 ttkatynnnnnnn )cos(sin)(222212211對(duì)正弦項(xiàng)對(duì)正弦項(xiàng)：takyycymnn cos 對(duì)余弦項(xiàng)對(duì)余弦項(xiàng)：體系的穩(wěn)態(tài)解可用利用體系的穩(wěn)態(tài)解可用利用疊加

43、原理疊加原理求得：求得： tbatbaaktynnnnnnnnnnnnncossin)(211221112122220（3-37）PnTn 2其中：其中： nntTnbtTnaakyycymnPnnPn 11022sincos ttkbtynnnnnnn cos)sin()(212112222 ttkatynnnnnnn )cos(sin)(222212211正弦項(xiàng)解正弦項(xiàng)解：余弦項(xiàng)解余弦項(xiàng)解：3-2-3 任意荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析任意荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析（一）脈沖荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)（一）脈沖荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng) 瞬時(shí)沖量瞬時(shí)沖量：脈沖荷載脈沖荷載在極短時(shí)間在極短時(shí)間t 0內(nèi)給內(nèi)給予振

44、動(dòng)物體的沖量：予振動(dòng)物體的沖量：tPI 0 動(dòng)量增值動(dòng)量增值：t =0時(shí)，瞬時(shí)沖量時(shí)，瞬時(shí)沖量I 作用于質(zhì)作用于質(zhì)點(diǎn)上點(diǎn)上m，使其增加動(dòng)量，記作：，使其增加動(dòng)量，記作： 假設(shè)沖擊之前的初始位移和初始速度均為零，則沖量假設(shè)沖擊之前的初始位移和初始速度均為零，則沖量I 全部全部傳給質(zhì)點(diǎn)傳給質(zhì)點(diǎn)m ，即，即I =D，就有：，就有：0ymD 00ymtP tmPy 00 瞬時(shí)沖量瞬時(shí)沖量I 作用下質(zhì)點(diǎn)獲得的初速度：作用下質(zhì)點(diǎn)獲得的初速度：p(t)tp0t 由于瞬時(shí)沖量由于瞬時(shí)沖量I 作用時(shí)間很短作用時(shí)間很短t 0，質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后還未來(lái)得及產(chǎn)生質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后還未來(lái)得及產(chǎn)生位移沖量即行消失，體系將產(chǎn)生

45、自位移沖量即行消失，體系將產(chǎn)生自由振動(dòng)。由振動(dòng)。 tytyyetydddtcossin)(0000 kyycym 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 位移反應(yīng)：位移反應(yīng)： 因?yàn)橐驗(yàn)?y0=0，tmPy 00 脈沖荷載脈沖荷載 作用下體系的位移反應(yīng)為作用下體系的位移反應(yīng)為：tmtPetyddt sin)( 0p(t)tp0tdtF (t)P（二）任意荷載作用下（二）任意荷載作用下 的動(dòng)力響應(yīng)的動(dòng)力響應(yīng) 任一時(shí)刻任一時(shí)刻 t = 時(shí)的脈沖作用下，體系的位移反應(yīng)：時(shí)的脈沖作用下，體系的位移反應(yīng)：tmtPetyddt sin)( 0)(sind)()(dd)(dP temFtyt tttemFty0d)(s

46、in)()(d)(dP根據(jù)根據(jù)疊加原理疊加原理，體系在任意荷載下的反應(yīng)可以看作是體系在任意荷載下的反應(yīng)可以看作是一系列脈一系列脈沖連續(xù)作用沖連續(xù)作用的結(jié)果的結(jié)果：)( PFP0dtt tt)( PF 任意荷載：任意荷載：由一系列連續(xù)發(fā)生的脈沖荷載組成！由一系列連續(xù)發(fā)生的脈沖荷載組成！t- From（3-24）)(tFkyycymP （3-1） 即對(duì)單自由度受迫振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程：即對(duì)單自由度受迫振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程：的一個(gè)特解是：的一個(gè)特解是： 稱為稱為Duhamel 積分積分。 定義定義單位脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)： tttemFty02d)(sin)()(d)(dP（3-24）)(sin

47、)(d)(d temtht1（3-25） 則（則（3-24）式成為）式成為卷積積分卷積積分： tthFty02d)()()(P 方程的全解：方程的全解：)(ty（3-26）)cossin(tBtAeddt tthF0d)()(PF(t)tdF1F0pt -Fk1 1kFttDuhamel 積分積分的物理意義的物理意義整個(gè)荷載時(shí)程可以看整個(gè)荷載時(shí)程可以看作是由一系列連續(xù)的作是由一系列連續(xù)的短脈沖所組成短脈沖所組成 所有的脈沖反應(yīng)均按所有的脈沖反應(yīng)均按同樣的圓頻率、同樣同樣的圓頻率、同樣的衰減規(guī)律振動(dòng)的衰減規(guī)律振動(dòng)體系的動(dòng)力反應(yīng)可以體系的動(dòng)力反應(yīng)可以將將0 t 時(shí)段內(nèi)所有時(shí)段內(nèi)所有荷載時(shí)程荷載時(shí)程

48、FP(t) 所激所激勵(lì)的在時(shí)刻勵(lì)的在時(shí)刻t 的全部的全部微分反應(yīng)相加獲得微分反應(yīng)相加獲得 每個(gè)短脈沖都激起結(jié)每個(gè)短脈沖都激起結(jié)構(gòu)的振動(dòng)構(gòu)的振動(dòng) 每個(gè)短脈沖的幅值是每個(gè)短脈沖的幅值是不同的不同的 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： Duhamel 積積分的使用條件？分的使用條件？sin ( )-tm1dF1de-( )t 1-dsin ( )-tmdFde-( )t-dsin ( )-tmkdFkde-( )tk-dsin tm0dFde-tdy(t)每個(gè)脈沖在每個(gè)脈沖在t 時(shí)刻都時(shí)刻都有反應(yīng)有反應(yīng) 3-2-4 突加荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析突加荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析 突加荷載：突加荷載： 0000tFttFP)( 特解：特解：)(tFkyycymP kFyyst02 全解：全解：kFtBtAetyddt0 )cossin()( 初始條件初始條件000 yykFB0 dkFA 0 FPt0F)sincos()cossin()(tBtAetBtAetyddddtddt 突加荷載作用下零初始條件的