（整理版）函數(shù)及其性質(zhì)解讀

1、函數(shù)及其性質(zhì)解讀1、函數(shù)的定義1傳統(tǒng)定義：如果在某個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法那么，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么把y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量，和x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。y是x 的函數(shù)，可以記作y fxf表示對應(yīng)法那么。2近代定義：設(shè)a、b都是非空的數(shù)的集合，f是從a到b的一個對應(yīng)法那么，那么a到b的映射就叫做a到b的函數(shù)，記作y fx，其中。原象的集合a叫做函數(shù)fx的定義域，象的集合c叫做函數(shù)fx的值域，顯然。注意：由函數(shù)的近代定義可知，函數(shù)是數(shù)集間的映射。對應(yīng)法那么f是聯(lián)系x、y的紐帶，是函數(shù)的核

2、心，常用一個解析式表示，但在不少問題中，對應(yīng)法那么f也可能不便用或不能用上個解析式來表示，而是采用其他方式如數(shù)表或圖象等。定義域或原象集合是自變量的取值范圍，它是函數(shù)的一個不可缺少的組成局部，它和對應(yīng)法那么是函數(shù)的兩個重要因素。定義域不同而解析式相同的函數(shù)，應(yīng)看作是兩個不同的函數(shù)。fa與fx的涵義是不同的，fa表示自變量xa時(shí)所得的函數(shù)值，它是一個常量，而fx是x的函數(shù)，是表示對應(yīng)關(guān)系的。2、函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)y fx是給定區(qū)間上的一個函數(shù)，是給定區(qū)間上的任意兩個值，且，如果都有，那么稱fx在這個區(qū)間上是增函數(shù)也稱fx在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；如果都有，那么稱fx在這個區(qū)間上是減函數(shù)也稱f

3、x在這個區(qū)間上單調(diào)遞減。如果函數(shù)y fx在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說fx在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格單調(diào)性，這一區(qū)間叫做fx的單調(diào)區(qū)間。2函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有fxfx，那么函數(shù)fx就叫做奇函數(shù)。如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有fxfx，那么函數(shù)fx就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形。3、反函數(shù)1逆映射：設(shè)是集合a到集合b上的一一映射，如果對于b中的每一個元素b，使b在a的原象a和它對應(yīng)；這樣所得的映射叫做映射的逆映射，記作：。注：映射也是映射的逆映射，而且 也是一一映射從b到a上的一一映射。2如果確定函數(shù)y fx的映

4、射是fx的定義域a到值域b上的一一映射，那么這個映射的逆映射所確定的函數(shù)叫做函數(shù)y fx的反函數(shù)。函數(shù)y fx的定義域、值域分別是函數(shù)的值域、定義域。函數(shù)y fx的反函數(shù)，習(xí)慣上寫成。一般地，求函數(shù)y fx的反函數(shù)的方法是先由y fx解出，然后把改寫成。函數(shù)y fx和其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱。例1、判斷以下各題中的兩個函數(shù)是否相同。1； 2；3；4。解析：1不同。因?yàn)閒x的定義域是x0且x1，而gx的定義域是x1，由于定義域不同，故fx和gx是不同的函數(shù)。2不同。因?yàn)檫@兩個函數(shù)的對應(yīng)法那么不同。對應(yīng)法那么f ：對應(yīng)法那么g ：。3相同。因?yàn)檫@兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法那么都相同，4不同，雖

5、然這兩個函數(shù)的解析式相同，但給出的定義域不同。例2、求以下各函數(shù)的定義域：1；2；3。解析：1由。 2全體實(shí)數(shù)。3解不等式組，得0 < x < 1。例3、fx為一次函數(shù)，且f fx = 9x1，求fx的解析式。 解析：設(shè)，那么，即，故所求函數(shù)為或。例4、求以下函數(shù)的值域：1；2。解析：1把看成是關(guān)于x的方程，整理得，x，y是實(shí)數(shù)，當(dāng)y1時(shí)，x0。當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是。2。故函數(shù)的值域是y 1。評注：配方法是二次函數(shù)求值域的主要方法。如果y fx能化成關(guān)于x的一元二次方程，那么常用根的判別式法求函數(shù)的值域。例5、設(shè)fx為偶函數(shù)，fx在0，內(nèi)單調(diào)減少，求證fx在，0內(nèi)單調(diào)增加。證明：設(shè)，那么，fx在0，內(nèi)單調(diào)減少，fx為偶函數(shù)，。由于在，0內(nèi)的任意性，根據(jù)增函數(shù)的定義，可知fx在，0內(nèi)單