2022年湖南省株洲二中自主招生數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2022年湖南省株洲二中自主招生數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）當時，代數(shù)式的值為（）A．3 B． C． D．2．（5分）下面四個結(jié)論，正確的個數(shù)為（）①；②x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；③方程x（2x﹣1）＝x的解為；④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（5分）已知實數(shù)a滿足，那么a﹣20222的值是（）A．2023 B．2022 C．2021 D．20204．（5分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣4x+5與y軸交于點C，則該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的表達式為（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣55．（5分）如圖，在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0），B兩點，∠AOB＝90°（）A．2 B． C． D．6．（5分）已知關(guān)于x的方程（m+2）x2﹣（2m+4）x+（3m+3）＝0有兩個實數(shù)根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（5分）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，AB是以O(shè)為圓心，C是AB的中點，D在AB上．當OA＝2，∠AOB＝60°時（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點D在AC邊上，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，則△AEB面積的最小值是（）A． B． C．2 D．二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）（多選）9．（5分）如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發(fā)現(xiàn)（）A．S是V的函數(shù) B．V是S的函數(shù) C．h是S的函數(shù) D．S是h的函數(shù)（多選）10．（5分）如表是某生活超市2022年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計表：生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其它類營業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%凈利潤占比65.8%﹣4.3%16.5%20.2%1.8%該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%（營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分比），則（）A．本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū) B．本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū) C．本季度此生活超市營業(yè)利潤率最高的是日用品區(qū) D．本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過50%（多選）11．（5分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，則a的取值可能是（）A． B．5 C．2 D．3（多選）12．（5分）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則下列說法錯誤的是（）A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3三、填空題（每小題5分，共20分）13．（5分）若關(guān)于x的分式方程＝1的解為負數(shù)，則m的取值范圍為．14．（5分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，DN＝x2cm，當x＝時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．15．（5分）已知x2+2x﹣1＝0，則x4﹣5x2+2x的值為．16．（5分）設(shè)p為質(zhì)數(shù)，m為整數(shù)，滿足p3+m（p﹣2）＝m2﹣p+1．則p+m＝．四、解答題（共70分）17．（10分）（1）已知數(shù)列{an}的前n項和為（n為正整數(shù)），求a1，{an}的通項公式；（2）已知數(shù)列{an}滿足（n為正整數(shù)），求數(shù)列{an}的通項公式．18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝11＝2，AB＝3．（1）若點E為AA1的中點，F(xiàn)為AB上的動點，求線段EF+FB1長度的最小值；（2）若點E、F分別是AA1、AB上的動點，求線段C1E+EF+FB1的最小值．19．（12分）如圖，已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點，并且點A到l1，l2的距離分別為m，n，B、C分別是直線l1、l2上的動點，設(shè)∠ACF＝α．（1）如圖1，若∠BAC＝90°時，寫出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式；（2）如圖2，若∠BAC＝60°時，寫出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式．20．（12分）如圖，已知拋物線與y軸交于點C（0，2），直線y＝kx（k＞0）分別交拋物線于點A，B（點A在點B的左邊），E（4，0），交拋物線y軸右側(cè)部分于點F，交AB于點P（1）求拋物線及直線DE的函數(shù)表達式；（2）若G為直線DE下方拋物線上的一個動點，連接GD，GF，點G的坐標及△GDF面積的最大值．21．（12分）已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝2，abc＝4．（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．22．（12分）在對株洲市二中高一年級學生的身高調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)，方差，其平均數(shù)，方差為（1）求總樣本的平均數(shù)；（2）求總樣本的方差，并估計高一年級全體學生的身高方差．

2022年湖南省株洲二中自主招生數(shù)學試卷參考答案與試題解析題號12345678答案DCAADCBA一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）當時，代數(shù)式的值為（）A．3 B． C． D．【解答】解：原式＝?＝，當x＝﹣1時，原式＝＝．故選：D．2．（5分）下面四個結(jié)論，正確的個數(shù)為（）①；②x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；③方程x（2x﹣1）＝x的解為；④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：對于①，，故①錯誤；對于②，x4﹣5x+6＝（x﹣8）（x﹣3），故②正確；對于③，x（2x﹣7）＝x2﹣x＝x，2x8﹣2x＝0，3x（x﹣1）＝0，故③錯誤；對于④，可得，＝，故④正確；所以正確的選項有2個．故選：C．3．（5分）已知實數(shù)a滿足，那么a﹣20222的值是（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【解答】解：∵a﹣2023≥0，∴a≥2023，∴2022﹣a≤﹣1，∴a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20228，∴a﹣20222＝2023，故選：A．4．（5分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣4x+5與y軸交于點C，則該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的表達式為（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【解答】解：由拋物線y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2+3知，拋物線頂點坐標是（2．由拋物線y＝x2﹣5x+5知，C（0．∴該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的頂點坐標是（﹣2，9）．∴該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的表達式為：y＝﹣（x+2）3+9＝﹣x2﹣3x+5．故選：A．5．（5分）如圖，在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0），B兩點，∠AOB＝90°（）A．2 B． C． D．【解答】解：過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OBD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2，又點A在y＝（x＞2）的圖象上（x＜0）的圖象上，∴S△AOC＝×2＝6，S△OBD＝|﹣3|＝，∴S△AOC：S△OBD＝3：1，∴OA：OB＝：6，∴tan∠OBA＝＝．故選：D．6．（5分）已知關(guān)于x的方程（m+2）x2﹣（2m+4）x+（3m+3）＝0有兩個實數(shù)根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)y＝（m+2）x2﹣（7m+4）x+（3m+3），∴該拋物線的對稱軸為x＝﹣＝1，由題意得二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點分別在對稱軸直線x＝5的兩側(cè)，當x＝1時，則y＝（m+2）﹣（7m+4）+3m+3＝2m+1，當m+2＞0時，m＞﹣2，二次函數(shù)y＝（m+6）x2﹣（2m+2）x+（3m+3）的圖象如圖，∴8m+1＜0，解得：m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣；當m+2＜8時，m＜﹣2，二次函數(shù)y＝（m+2）x4﹣（2m+4）x+（8m+3）的圖象如圖，∴2m+4＞0，解得：m＞﹣，與m＜﹣2矛盾；綜上所述，﹣2＜m＜﹣；故選：C．7．（5分）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，AB是以O(shè)為圓心，C是AB的中點，D在AB上．當OA＝2，∠AOB＝60°時（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接OC，∵C是AB的中點，CD⊥AB，∴點O、C、D在同一條直線上，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB＝OA＝2，∵OA＝OB，OC⊥AB，∴∠AOC＝30°，∴OC＝OA?cos∠AOC＝2×＝，∴CD＝7﹣，則s＝2+＝，故選：B．8．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點D在AC邊上，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，則△AEB面積的最小值是（）A． B． C．2 D．【解答】解：作DH⊥AB于H，在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵∠CAB＝∠HAD，∠AHD＝∠ACB，∴△AHD∽△ACB，∴，∴，∴DH＝，∵DE＝DC＝5，∴當點E在DH上時，點E到AB的距離最小，∴點E到AB的距離最小值為，∴△AEB面積的最小值是＝，故選：A．二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）（多選）9．（5分）如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發(fā)現(xiàn)（）A．S是V的函數(shù) B．V是S的函數(shù) C．h是S的函數(shù) D．S是h的函數(shù)【解答】解：由題意可知，對于注水量V的每一個數(shù)值，即S是V的函數(shù)；對于水面面積S的每一個數(shù)值，注水量V的值不唯一，故B錯誤；對于水面面積S的每一個數(shù)值，水面的高度h不唯一，故C錯誤；對于水面的高度h的每一個數(shù)值，水面面積S有唯一值與之對應，故D正確．故正確的結(jié)論有AD．故選：AD．（多選）10．（5分）如表是某生活超市2022年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計表：生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其它類營業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%凈利潤占比65.8%﹣4.3%16.5%20.2%1.8%該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%（營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分比），則（）A．本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū) B．本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū) C．本季度此生活超市營業(yè)利潤率最高的是日用品區(qū) D．本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過50%【解答】解：對于A，由圖表可知，故選項A錯誤；對于B，因為生鮮區(qū)的凈利潤占比65.8%＞50%，故選項B正確；對于C，生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率為32.5%×，生活超市熟食區(qū)的營業(yè)利潤率為32.5%×≈﹣5.8%，生活超市乳制品區(qū)的營業(yè)利潤率為32.5%×≈26.7%，生活超市日用品區(qū)的營業(yè)利潤率為32.5%×≈60.2%，生活超市其它類的營業(yè)利潤率為32.5%×≈12.3%，所以本季度此生活超市營業(yè)利潤率最高的是日用品區(qū)，故選項C正確；對于D，由上面計算可知，故選項D錯誤．故選：BC．（多選）11．（5分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，則a的取值可能是（）A． B．5 C．2 D．3【解答】解：（1）當x≤﹣時，|4x+1|+|x﹣2|＝﹣8x﹣1﹣x+2＝﹣6x+1．∵x≤﹣，∴﹣3x+1≥﹣8×（﹣）+8＝，即當x≤﹣時，|2x+2|+|x﹣2|≥．（2）當﹣＜x＜2時，|2x+1|+|x﹣7|＝2x+1﹣x+2＝x+3．∵﹣＜x＜2，∴﹣+3＜x+3＜7+3，即當﹣＜x＜2時，．（3）當x≥2時，|2x+3|+|x﹣2|＝2x+5+x﹣2＝3x﹣5．∵x≥2，∴3x﹣7≥3×2﹣7＝5，即當x≥2時，|2x+1|+|x﹣2|≥5．∵不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，∴a≤，∴a的取值可能是或2．故選：AC．（多選）12．（5分）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則下列說法錯誤的是（）A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3【解答】解：設(shè)BC＝2a，AB＝2c，Ⅰ的面積為S2，Ⅱ的面積為S2，Ⅲ的面積為S3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4＝AB2+AC2，即（8a）2＝（2c）6+（2b）2，∴a5＝c2+b2，∴S8＝AB?AC＝8ab，S3＝πa2﹣2ab，S5＝πb4+πa2﹣S3＝πb2+πc2﹣（πa2﹣2ab）＝4ab，∴S1＝S2，∴p8＝p2，故選：BCD．三、填空題（每小題5分，共20分）13．（5分）若關(guān)于x的分式方程＝1的解為負數(shù)，則m的取值范圍為m＞1且m≠3．【解答】解：＝2去分母，得3﹣m＝x+2．移項，得x＝3﹣m．∵關(guān)于x的分式方程＝4的解為負數(shù)，∴1﹣m＜0且6﹣m≠﹣2．∴m＞1且m≠8．故答案為：m＞1且m≠3．14．（5分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，DN＝x2cm，當x＝2或4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．【解答】解：由題意知，點Q只能在點M的左側(cè)，①當點P在點N的左側(cè)時，由20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x8），整理得x2﹣2x＝3，解這個方程，得x1＝0（舍去），x8＝2．所以，當x＝2時．②當點P在點N的右側(cè)時，由20﹣（x+8x）＝（2x+x2）﹣20，整理得x7+6x﹣40＝0，解這個方程，得x7＝﹣10（舍去），x2＝4．所以，當x＝5時．所以當x＝2或x＝4時，以P，Q，M．故答案為：2或4．15．（5分）已知x2+2x﹣1＝0，則x4﹣5x2+2x的值為0．【解答】解：∵x2+2x﹣4＝0，∴x2＝8﹣2x，x4﹣6x2+2x＝（x7）2﹣5x7+2x＝（1﹣4x）2﹣5（6﹣2x）+2x＝4﹣4x+4x4﹣5+10x+2x＝3x2+8x﹣5＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝8﹣8x+8x﹣3＝0．故答案為：0．16．（5分）設(shè)p為質(zhì)數(shù)，m為整數(shù)，滿足p3+m（p﹣2）＝m2﹣p+1．則p+m＝5或﹣1．【解答】解：∵p3+m（p﹣2）＝m8﹣p+1，∴p3+mp﹣4m＝m2﹣p+1，∴p6+mp+p＝m2+2m+8，∴p（p2+m+1）＝（m+6）2①，∴p整除（m+1）7，∵p為質(zhì)數(shù)，∴p整除|m+1|，令m+1＝kp（k為整數(shù)），將m+7＝kp代入①得，p（p2+kp）＝（kp）2，即p＝k（k﹣8），而k（k﹣1）為偶數(shù)，∴p為偶數(shù)，而p為質(zhì)數(shù)，∴p＝2，∴k（k﹣6）＝2，∴k＝﹣1或k＝6，∴m＝﹣3或m＝3，即p＝3，m＝±3，∴p+m＝5或﹣7，故答案為：5或﹣1．四、解答題（共70分）17．（10分）（1）已知數(shù)列{an}的前n項和為（n為正整數(shù)），求a1，{an}的通項公式；（2）已知數(shù)列{an}滿足（n為正整數(shù)），求數(shù)列{an}的通項公式．【解答】解：（1）∵Sn＝﹣2n2，∴a6＝S1＝﹣2×2＝﹣2，Sn+1＝﹣5（n+1）2，∴an＝Sn+7﹣Sn＝﹣2（n+1）8+2n2＝﹣5n+2．答：a1＝﹣6，{an}的通項公式是an＝﹣4n+2．（2）當n﹣2時，得a1+3a2+32a4+…+3n﹣2an﹣5＝，兩式相減，得5n﹣1an＝﹣＝，∴an＝．答：數(shù)列{an}的通項公式an＝．18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝11＝2，AB＝3．（1）若點E為AA1的中點，F(xiàn)為AB上的動點，求線段EF+FB1長度的最小值；（2）若點E、F分別是AA1、AB上的動點，求線段C1E+EF+FB1的最小值．【解答】解：（1）由題意可知：四邊形ABB1A1是矩形，∴A6C1＝AC＝1，BB7＝AA1＝2，A2B1＝AB＝3，如圖5，延長B1B到B′，使得BB′＝BB1＝6，連結(jié)B'E交AB于點F，∴B′F＝B1F，∴EF+FB1＝EF+FB′＝EB′，∴線段EF+FB7長度的最小值為EB′的長，過點E作EE⊥BB1于點E′，得矩形AEE′E，∴EE′＝AB＝3，BE′＝AE＝4，∴B′E′＝BB′+BE′＝2+1＝4，∵∠B'E'E＝90°，∴EB′＝3，∴線段EF+FB6長度的最小值為3；（2）把平面AA4C1C沿AA1展開到與平面ABB7A1共面的AA1C2′C'的位置，延長B1B到B′，使得BB′＝BB1＝7，連結(jié)B'F，∴B′F＝B1F，要使得C1E+EF+FB3的長度最小，則需C1′，E，F(xiàn)，B′四點共線，此時C1E+EF+FB2＝C1′E+EF+FB′＝C1′B′，∵C2′B1＝C1′A7+A1B1＝5+3＝4，B2B′＝4，∠B'B1C6'＝90°，∴C1′B′＝4，∴線段C1E+EF+FB1的最小值為8．19．（12分）如圖，已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點，并且點A到l1，l2的距離分別為m，n，B、C分別是直線l1、l2上的動點，設(shè)∠ACF＝α．（1）如圖1，若∠BAC＝90°時，寫出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式；（2）如圖2，若∠BAC＝60°時，寫出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式．【解答】解：（1）在Rt△AFC中，AF＝n，∴sinα＝，∴AC＝，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠CAF＝∠ACF＝α，在Rt△ABE中，AE＝m，∴cosα＝，∴AB＝，∴S＝＝；（2）∵∠ACF＝α，∴∠CAF＝90°﹣α，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝180°﹣60°﹣（90°﹣α）＝30°+α，∴AB＝    ＝    ＝，過B作BD⊥AC于點D，則BD＝AB?sin60°＝，∴S＝?BD   ＝AC?AB   ＝??   ＝．20．（12分）如圖，已知拋物線與y軸交于點C（0，2），直線y＝kx（k＞0）分別交拋物線于點A，B（點A在點B的左邊），E（4，0），交拋物線y軸右側(cè)部分于點F，交AB于點P（1）求拋物線及直線DE的函數(shù)表達式；（2）若G為直線DE下方拋物線上的一個動點，連接GD，GF，點G的坐標及△