優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題

1、2填空題1.用最速下降法求f x =100(x2xj1論 2 最優(yōu)解時(shí)，設(shè)x00.5,0.5丁,第一步迭代的搜索方向?yàn)?03 -100T。2.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長，二是搜索方向。3.當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4.應(yīng)用外推法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)，中間點(diǎn) 和終點(diǎn)，他們的函數(shù)值形成趨勢 高-低-高。5.包含 n 個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為n 維優(yōu)化問題。16.函數(shù)一xTHx BTx c的梯度為_ 。27.設(shè) G 為n n對稱正定矩陣，若 n 維空間中有兩個(gè)非零向量d0,d1,滿足d0Gd10，則d0，d1之

2、間存在共軛關(guān)系。8.與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 下降 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的不變方向。9.設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。10. 對于無約束二元函數(shù)f X1,x2，若在X0X12,X34點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是在x0點(diǎn)的梯度為 0,充分條件是 在x0點(diǎn)的海賽矩陣正定。11. K-T 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非 負(fù)線性組合。12. 用黃金分割法求一元函數(shù)f xx210 x 36的極值點(diǎn)，初始搜索區(qū)間a,b 10,10，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到新區(qū)間【-2.36,10】。13.優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素

3、有 設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。14. 牛頓法搜索方向dk=(2f xk)1f xk，其計(jì)算是大，且要求初始在級極小 點(diǎn)附近位置。./211TT15. 將函數(shù)f xx.(x2%x210% 4x260表示成一x Hx B x c的形式為_16.存在矩陣 H,向量di,d2，當(dāng)滿足（dj）THdj0向量di和向量d?是關(guān)于 H 共軛。17. 采用外點(diǎn)法求約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子 r 數(shù)列，具有_rr1r20_特點(diǎn)。18. 采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求 最佳步長。21、 對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b，中間插入兩個(gè)點(diǎn)31

4、，b，31b1，計(jì)算出f a1f b，則縮短后的搜索區(qū)間為a,。22、由于確定搜索方向和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題數(shù)值 求解方法。23、 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題過程中，懲罰因子具體有趨近于零變化規(guī)律。24、 尋出等式約束極值條件時(shí)，將等式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的方法有消元法和 拉格朗日乘子法。25、 優(yōu)化問題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變小。26、 優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)為 可行域 內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。27、 方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的變化率。28、 設(shè)f x為定義在凸集 R 上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f x在 R 上為凸函數(shù)充 分必要條件是海賽

5、矩陣G x在 R 上處處半正定。29、 在 n 維空間中互相共軛的非零向量是個(gè)數(shù)最多有n 個(gè)。30、約束優(yōu)化問題在 可行域內(nèi)對設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。31、 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近邊界或等式約束曲面。二、 選擇題1.下面 C方法需要求海賽矩陣。A最速下降法 B共軛梯度法C牛頓型法D.DFP 法2.對于約束問題f x2Xix4x；4YixXix；i 0丫2x3Xi0丫xX201T 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷x 1,1為_T23 i、x,為2 2勺。A 內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3.內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用于求解B 優(yōu)化問題

6、。A無約束優(yōu)化問題B 只含不等式的約束優(yōu)化問題C 只含等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式的約束的優(yōu)化問題4.拉格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典法，它是一種D 。A 降維法 B.消元法C數(shù)學(xué)規(guī)劃法D.升維法5對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b，中間插入兩個(gè)點(diǎn)ai，b,，aib,，計(jì)算出f aif bi，則縮短后的搜索區(qū)間為D 。A. ai,biB. bi,b C. ai,b D. a,bi6.D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A.設(shè)計(jì)變量 B.約束條件C目標(biāo)函數(shù) D.最佳步長7. 變尺度發(fā)的迭代公式為xkixkakHkf xk，下列不屬于Hk必須滿足的條件是 C 。A.Hk之間有簡單的

7、迭代形式B 擬牛頓條件C.與海賽矩陣正定D.對稱正定8. 函數(shù)f x在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A 。A 最速上升方向B.上升方向C 最速下降方向D 下降方向9. 下面四種無約束優(yōu)化方法中，C 在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A.梯度法C.變尺度法B.牛頓法D.共軛梯度法10.設(shè)f x為定義在凸集 R 上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f x在 R 上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G x在 R 上處處 BA正定B.半正定C.負(fù)定D 半負(fù)定11. 通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B 。A 牛頓法B.梯度法C.共軛梯度法D.變尺度法12. 一維搜索試探方法中，黃金分割

8、法比二次插值法的收斂速度DC. 一樣D.不確定13.- 下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是假設(shè)要求在區(qū)間a,b插入兩點(diǎn)a1，a2，3a2。A.其縮短率為 0.618B.a1b b aC.a2b b aD.在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的外推法14.與梯度成銳角的方法為函數(shù)值A(chǔ)B 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C 方向。A.上升B 下降C.不變D.為零15.二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是A.等值線族的一個(gè)共同中心C.全局最優(yōu)解A 。B.梯度為 0 的點(diǎn)D.海賽矩陣正定16.最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量BA.相切C.成銳角

9、B.正交D.共軛17.下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是AA 需要求海賽矩陣B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度C.共軛梯度法具有二次收斂性D.第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度18.下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A. 可用來求解含不等式約束和等式約束的優(yōu)化問題B. 懲罰因子是不斷遞減的正值C. 初始點(diǎn)應(yīng)該選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)D. 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)19. 設(shè)f x是定義在凸集 D 上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f x在 D 上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是A :A.Hesse 矩陣處處半正定B.Hesse 矩陣處處正定C.Hesse 矩陣處處半負(fù)定 D. Hes

10、se 矩陣處處負(fù)定20. 下列幾種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計(jì)算海賽矩陣A 。A 牛頓法B.梯度法C.共軛梯度法D.變尺度法21. 關(guān)于正交方向和共軛方向之間的關(guān)系，下列說法正確的是D 。A.共軛矩陣是正交矩陣的特殊情況B.共軛矩陣是正交矩陣的推廣C. n 維空間中相互共軛的非零向量個(gè)數(shù)可以為任一數(shù)量D.22.多元函數(shù)的海賽矩陣是其 B 偏導(dǎo)數(shù)所形成的對稱矩陣A.上升 B.下降C.不變D.為零判斷題1、 二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（x）2、 海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（V）A.一階C.三階23. 關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣A.Ak有簡單的迭代形式C

11、.與海賽矩陣正交24. 關(guān)于梯度，下列說法不正確的是A.與切線方向垂直C.是函數(shù)變化率最大的方向25. 與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B.二階D 四階Ak，下列說法不正確的是CB.應(yīng)滿足擬牛頓條件D. 應(yīng)為對稱正定D 。B.是等值面的切線方向D.函數(shù)最速下降方向A 方向。3、當(dāng)?shù)咏鼧O值點(diǎn)時(shí)，最速下降法會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。(4、 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。(V)5、梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬曹棥?X)6、 數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計(jì)算最佳步長。(V)7、海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式都大于零。(

12、X)8、拉格朗日乘子法師求解無約束優(yōu)化問題的一種方法。(X)9、 凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。(V)10、一維搜索的二次插值法用到了點(diǎn)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。(X)11、 二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。(V)12、 海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。(X)13 、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問題(X)14、 變尺度法求解優(yōu)化問題時(shí)需計(jì)算海賽矩陣(X)15、 梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。(V)四、 問答題1、什么是一維搜索問題？答：當(dāng)方向dk給定時(shí)，求最佳步長k就是求一元函數(shù)f(xk 1) f (xkkdk) (k)的

13、極值問題，它稱為一維搜索。2、 試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？ 答：區(qū)間消去法：搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間，從而 找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。黃金分割法： 所謂黃金分割是指將一段線段分成兩端的方法，使整段與較長 段的比值等于較長段與較短段的比值，即1:(1)。3、共軛梯度法是利用梯度求共軛方向的，那共軛方向與梯度之間有什么關(guān)系？答： P704、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？V)答：懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的基本原理是將約束優(yōu)化問題min f(x)s.t.gj(x) 0(j 1,2, m)hk(x) 0 (k 1,2,l)中的不等式和等式約束優(yōu)化函

14、數(shù)函數(shù)-懲罰函數(shù)，即ml(x,jr2)f (x) riG(gj(x) “ H (hk(x)j 1k 1求解該新的目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。5、與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點(diǎn)？答：P74-776、在變尺度法中，為使變尺度矩陣Hk與a：近似，并具有容易計(jì)算的特點(diǎn)，Hk必須附加哪些條件？答： （1）為保證迭代公式具有下降的性質(zhì)，要求海塞矩陣中的每一個(gè)矩陣都是對 稱正定的。（2 ）要求海塞矩陣之間具有簡單的形式：Hk1HkEk。（3 ）要求海塞矩陣必須滿足擬牛頓條件。7 試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路？答：8、寫應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式

15、，并說明公式中各變量的 意義，并說明迭代公式的意義？答：9、變尺度的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點(diǎn) 處逼近什么矩陣？并寫出其初始形式？答：10、在變尺度法中，變尺度矩陣經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)Hk為什么要求都是對稱正定的？答：因?yàn)槿粢笏阉鞣较騞kHkgk為下降方向，即要求gkTdk0，也就是gkTHkgk0，這樣gkTHkgk0,即Hk應(yīng)為對稱正定。11、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？答： P6712、請寫出應(yīng)用 MATLAB 優(yōu)化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本步驟 ?答：（ 1）編寫定義目標(biāo)函數(shù)的 M 文件 fun1.

16、m（ 2）編寫定義約束方程函數(shù)的 M 文件 con.m（ 3）在窗口調(diào)用求解命令求解 .。求解格式為： x0=-1, 1Options=optimset（LargeScale off） ；x, fval=fmincon（fun1 ,x0 , , , , , , , con ,options）13、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)？答：最速下降法：由于它采用了函數(shù)的負(fù)梯度方向作為下一步的搜索方向，所以 收斂速度比較慢，越是接近極值點(diǎn)收斂越慢14、為何優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行設(shè)計(jì)域和可行設(shè)計(jì)點(diǎn)？答：15、無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解的一般步驟是什么？答：（ 1）編寫 M 文件， fun1.m

17、 ，定義目標(biāo)函數(shù)文件。（ 2）在命令窗口中調(diào)用無約束線性函數(shù) fminunc 求解。求解格式為： x0=-1, 1Options=optimset（LargeScale off）x, fval=fminunc（fun1,x0, options）五、 解答題i .試用牛頓法求f x論2 $X|2X2$的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x02,i丁。X22xf2X,X24xi，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。有極小值。6.設(shè)非線性規(guī)劃問題7.給定約束優(yōu)化問題g4X8.用共軛梯度法求函數(shù)fx-i, x2-xfx|xix22論的極小點(diǎn)2 29.已知目標(biāo)函數(shù)為f X = XiX2，受約束于22.設(shè)有函數(shù)f X3.試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f XT2,4，迭代精度4.求目標(biāo)函數(shù)2x；5試證明函數(shù)f X2X25x；2 2i.50.5X2X/22為的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)0.02xx22X3（迭代一步） 。4X16X2i0的極值和極值點(diǎn)。2X3X22x3Xi6X23在點(diǎn)i,i, 2T處具min f X = x12X2s.tgiXg2XXig3Xx202Xi用 K-T 條件驗(yàn)證1,0為其約束