24.2.2切線長定理

1、 切線長定理切線長定理BA1 1. .如何過如何過OO外一點外一點P P畫出畫出OO的切線？的切線？ 2 2. .這樣的切線能畫出幾條？這樣的切線能畫出幾條？如下左圖，借助三角板，我們可以畫出如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PAPA是是OO的切線的切線. .3.3.如果如果P=50P=50, ,求求AOBAOB的度數(shù)的度數(shù). .50130130OP OABP如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？.思考：已畫出切線思考：已畫出切線PA,PBPA,PB，A,BA,B為切點，則為切點，則OAP=90OAP=90, ,連接連接OPOP，可知，可知A,B A,B 除了在除

2、了在O O上，還在怎樣的圓上上，還在怎樣的圓上? ?O PABO過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長做這點到圓的切線長. .OPAB切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線長概念切線長概念切線和切線長是兩個不同的概念：切線和切線長是兩個不同的概念：1.1.切線是切線是一條與圓相切的一條與圓相切的直線直線，不能度量；，不能度量；2.2.切線長是線段的長切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量圓外一點和切點，可以度

3、量. .OPAB比一比：比一比：切線與切線長切線與切線長 OABP12思考：思考：已知已知O O切線切線PAPA，PBPB，A A，B B為切點，把圓沿著為切點，把圓沿著直線直線OPOP對折對折, ,你能發(fā)現(xiàn)什么你能發(fā)現(xiàn)什么? ?折一折折一折請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. .APOBPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與O O相切，點相切，點A A，B B是切點，是切點，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90， OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP，RtRtAOPRtAOPRtBOP(H

4、L)BOP(HL) PA = PB PA = PB， OPA=OPB.OPA=OPB.證一證證一證切線長定理切線長定理PAPA，PBPB分別切分別切O O于于A A，B B，PA=PB,OPPA=PB,OP平分平分APB.APB.過圓外一點，所畫的過圓外一點，所畫的圓的兩條切線的長相圓的兩條切線的長相等等. . 幾何語言幾何語言: :OPABAPOB若連接兩切點若連接兩切點A A，B B，ABAB交交OPOP于點于點M.M.你又能得出什么你又能得出什么新的結(jié)論新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .OPOP垂直平分垂直平分ABABM證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線的切線, ,點點

5、A A，B B是切點，是切點，PA=PBPA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線為頂角的平分線. .OPOP垂直平分垂直平分AB.AB.試一試試一試APO.B若延長若延長POPO交交O O于點于點C C，連接，連接CACA，CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的結(jié)論么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CBCA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線的切線, ,點點A A，B B是切點，是切點，PA = PB PA = PB ，OPA=OPB.OPA=OPB.又又 PC=PC. PC=PC.PCAPCA

6、PCB PCB ，BC=AC.BC=AC.C.PBAO（3 3）連接圓心和圓外一點）連接圓心和圓外一點（2 2）連接兩切點）連接兩切點（1 1）分別連接圓心和切點）分別連接圓心和切點反思：在解決有關(guān)圓的反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形要我們構(gòu)建基本圖形. .想一想想一想探究：探究：PAPA，PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A，B B為切點，直線為切點，直線OPOP交交O O于點于點D D，E E，交，交ABAB于點于點C.C.BAPOCE（1 1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPAOAPA，OB PB ABOPOB

7、 PB ABOP（2 2）寫出圖中與）寫出圖中與OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCDAOPAOPBOPBOP， AOCAOCBOCBOC， ACPACPBCPBCP（4 4）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABPABP，AOBAOB（3 3）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形BAPOCED【例例1 1】ABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓O O與與BCBC，CACA，ABAB分別相切于分別相切于點點D D，E E，F(xiàn) F，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求

8、，求AFAF，BDBD，CECE的長的長. .【解析解析】設(shè)設(shè)AF=x,AF=x,則則AE=xAE=xCD=CE=AC-AE=13-xCD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.BD=BF=AB-AF=9-x.由由BD+CD=BCBD+CD=BC可得可得13-x+9-x=1413-x+9-x=14，解得解得x=4.x=4. AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm. AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例題例題】【例例1 1】如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分別相切于點分別相切于點

9、L L，M M，N N，P P，求證：求證：AD+BC=AB+CD.AD+BC=AB+CD.證明：證明：由切線長定理得由切線長定理得AL=APAL=AP，LB=MBLB=MB，NC=MCNC=MC，DN=DP,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即即AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD，補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對邊補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等的和相等DLMNABCOP【例題例題】1.1.如果如果PA=4cm,PD=2cm,PA=4cm,PD=2cm,求半徑求半徑OAOA的長的長. .42xx【解析解析】

10、設(shè)設(shè)OA=xcmOA=xcm；在在RtRtOAPOAP中，中，OA=xcmOA=xcm，OP=OD+PD=OP=OD+PD=（x+2x+2）cmcm，PA=4cm,PA=4cm,由勾股定理，得由勾股定理，得PAPA2 2+OA+OA2 2=OP=OP2 2，即即4 42 2+x+x2 2=(x+2)=(x+2)2 2, ,整理，得整理，得x=3.x=3.所以，半徑所以，半徑OAOA的長為的長為3cm.3cm.【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】ABCDEF2.2.設(shè)設(shè)ABCABC的邊的邊BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，內(nèi)切圓，內(nèi)切圓II和和BC,AC,ABBC,AC,AB分別相切

11、于點分別相切于點D,E,F.D,E,F.求求AE,CD,BFAE,CD,BF的長的長. .Ixyz【解析解析】設(shè)設(shè)AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=z,CD=z, xyz答：答：AE ,CD ,BFAE ,CD ,BF的長分別是的長分別是9,2,6.9,2,6. x+y=15,x+y=15,y+z=8,y+z=8,x+z=11,x+z=11,x=9,x=9,y=6,y=6,z=2,z=2,則則解得解得1 1（珠海（珠海中考）如圖，中考）如圖，PA,PBPA,PB是是 O O的切線，的切線，切點分別是切點分別是A,BA,B，如果，如果P P6060, ,那么那么AOBAOB等等于（于（

12、） A.60A.60 B.90 B.90C.120C.120 D.150 D.150C C（3）如圖，）如圖，PA、PB、DE分別切分別切 O于于A、B、C，DE分別交分別交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的切的切線長為線長為8CM，則，則 PDE的周長為（的周長為（ ）A AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEA AP2.2.（杭州（杭州中考）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為中考）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1 1，那么這個正三角形的邊長為（那么這個正三角形的邊長為（ ）A A2 2 B B3 C3 C D D 32 3 【解析解析】選選D.D.如圖所示，連接如圖所示

13、，連接OA,OBOA,OB，則三角形，則三角形AOBAOB是是直角三角形，且直角三角形，且OBA=90OBA=90,OAB=30,OAB=30, ,又因為內(nèi)切又因為內(nèi)切圓半徑為圓半徑為1 1，利用勾股定理求得，利用勾股定理求得AB= ,AB= ,那么這個正三角那么這個正三角形的邊長為形的邊長為 . . 32 3AB3.3.已知：如圖已知：如圖,PA,PB,PA,PB是是O O的切線，切點分別是的切線，切點分別是A,BA,B，Q Q為為O O上一點，過上一點，過Q Q點作點作O O的切線，交的切線，交PA,PBPA,PB于于E,FE,F點，已知點，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PEFP

14、EF的周長的周長. .【解析解析】 易證易證EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. PE+EQ=PA=12cm, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.PF+FQ=PB=PA=12cm.周長為周長為24cm.24cm.F例例2、如圖，過半徑為、如圖，過半徑為6cm的的 O外一點外一點P作圓作圓的切線的切線PA、PB，連結(jié)，連結(jié)PO交交 O于于F，過，過F作作 O切線分別交切線分別交PA、PB于于D、E，如果，如果PO10cm， 求求PED的周長。的周長。FOEDPBA思考：當(dāng)切點思考：當(dāng)切點F在弧在弧AB上運動時，問上運動時，問PE

15、D的周長、的周長、DOE的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說明理由。明理由。FOEDPBA試一試：已知：如圖，試一試：已知：如圖，P為為 O外一點，外一點，PA，PB為為 O的切線，的切線，A和和B是切點，是切點，BC是直徑。是直徑。C50 ，求求APB的度數(shù)的度數(shù)求證：求證：ACOP。 ABOCP已知已知:如圖如圖, O是是RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓,C是直角是直角,三邊長分別是三邊長分別是a,b,c.求求 O的半徑的半徑r. ABCODEF.2cbar（1 1）RtRt的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系已知已知:如圖如圖, O是是RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)

16、切圓,C是直角是直角,三邊長分別是三邊長分別是a,b,.求求 O的半徑的半徑r. ABCODEF拓展：拓展：RtRt的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系(2)已知已知:如圖如圖,ABC的面積為的面積為S,三邊長分別為三邊長分別為a,b,c. 求內(nèi)切圓求內(nèi)切圓 O的半徑的半徑r.ABCODEF.2cbaSr.21cbarS例：例：如圖，如圖， ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 O與與BC、CA、AB分別相切于點分別相切于點D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的長。的長。x13xx13x9x9x例題選講例題選講ADCBOFE1、填空：

17、如圖,PA、PB分別與O相切于點A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO= （2）若PO=10，AO=6，則PB= ；（3）若PA=4，AO=3，則PO= ；PD= ；D圖10OPBA2、已知如圖10，PA、PB分別與O相切于點A、B，PO與O相交于點D，且PA=4cm,PD=2cm.求半徑OA的長.D圖10OPBAl3、為了測量一個圓形鍋蓋的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鍋蓋平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一個刻度尺，按圖中所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鍋蓋的半徑，若測得PA=5cm，則鍋蓋的半徑長是多少？PABO切線的切線的6 6個性質(zhì)：個性質(zhì)：（1 1）切線和圓只有一個公共點）切線和圓只有一個公共點. .（2 2）切線和圓心的距離等于圓的半徑）切線和圓心的距離等于圓的半徑. .（3 3）切線垂直于過切點的半徑）切線垂直于過切點的半徑. .（4 4）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點. .（5