控制工程根軌跡法詳解教程

1、第四章第四章 根軌跡法根軌跡法本章主要介紹：根軌跡概念、根軌跡繪制和根軌跡應(yīng)用。本章主要介紹：根軌跡概念、根軌跡繪制和根軌跡應(yīng)用。4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念4-1-1根軌跡概念根軌跡概念開環(huán)傳遞函數(shù)中的某一參數(shù)從零變化到無窮時，開環(huán)傳遞函數(shù)中的某一參數(shù)從零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上變化的軌跡。平面上變化的軌跡。研究下述系統(tǒng)：研究下述系統(tǒng)：) 15 . 0(ssK)(sR)(sC0)(1sG系統(tǒng)特征方程：系統(tǒng)特征方程：0) 15 . 0(1ssK0222Kss特征根為：特征根為：Ks2111Ks21120j0K0K215 . 0K1K1K

2、5 . 2K5 . 2K1122根軌跡根軌跡0j0K0K215 . 0K1K1K5 . 2K5 . 2K11224-1-2 根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能1）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性因當(dāng)因當(dāng)K從從0變化到無窮時，閉環(huán)根均在變化到無窮時，閉環(huán)根均在S左左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。2）動態(tài)性能）動態(tài)性能當(dāng)當(dāng)0K0.5后，閉環(huán)根為復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼。后，閉環(huán)根為復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼。3）靜態(tài)性能）靜態(tài)性能在原點(diǎn)有一開環(huán)極點(diǎn)，說明系統(tǒng)為在原點(diǎn)有一開環(huán)極點(diǎn)，說明系統(tǒng)為1型。型。K為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。在為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。在./1vssKe單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤

3、差為：通過上述系統(tǒng)分析，可見根軌跡圖與系統(tǒng)性能有著密切的聯(lián)系。通過上述系統(tǒng)分析，可見根軌跡圖與系統(tǒng)性能有著密切的聯(lián)系。4-1-3 根軌跡方程根軌跡方程1、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系)(sG)(sR)(sC)(sH考慮單位反饋系統(tǒng)，即：考慮單位反饋系統(tǒng)，即：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：)(1)()(sGsGs)()(0sGsKsGv1)(sHnjjmiisTssG110) 1() 1()(vnjmiijvmiisKsTssKs111) 1() 1() 1()(式中：式中：則：則：分析閉環(huán)和開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系：分析閉環(huán)和開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系：1）閉環(huán)極

4、點(diǎn)由）閉環(huán)極點(diǎn)由0) 1() 1()(111vnjmiijvsKsTssG確定。確定。2）閉環(huán)零點(diǎn)）閉環(huán)零點(diǎn)=開環(huán)零點(diǎn)。開環(huán)零點(diǎn)。3）閉環(huán)增益）閉環(huán)增益=開環(huán)增益。開環(huán)增益。對單位反饋系統(tǒng)，上述三個特點(diǎn)為確定閉環(huán)傳遞函數(shù)提供了基礎(chǔ)。非對單位反饋系統(tǒng)，上述三個特點(diǎn)為確定閉環(huán)傳遞函數(shù)提供了基礎(chǔ)。非根軌跡法根軌跡法單位反饋不具有上述特點(diǎn)。單位反饋不具有上述特點(diǎn)。2、根軌跡方程、根軌跡方程0) 1() 1()()(111vnjmiijvsKsTssHsG由閉環(huán)特征方程：由閉環(huán)特征方程：得：得：1)()() 1() 1(11*11njjmiinjjvmiipszsKsTSsKK根軌跡方程根軌跡方程*K開

5、環(huán)增益開環(huán)增益根軌跡增益根軌跡增益njjmiiTKK11*模值方程：模值方程：相角方程：相角方程：)12(11kje) 12()()(11kpszsminjji111*njjmiipszsK根軌跡必須滿足這兩個方程。根軌跡必須滿足這兩個方程。,.2, 1, 0k舉例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：舉例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 12() 15 . 0()(sssKsG寫出根軌跡方程。寫出根軌跡方程。解：解：)5 . 0()2(25. 0) 12() 15 . 0()(sssKsssKsG因：因：相角方程：相角方程：) 12()5 . 0()2(ksssKK25. 0*15 . 02*s

6、ssK模值方程：模值方程：設(shè)：設(shè)：js) 12()5 . 0()()2(kjjj) 12(5 . 02karctgarctgarctg代入方程代入方程1)5 . 0()2(222222*K211js驗(yàn)證驗(yàn)證：是否為特征根。是否為特征根。4-2 繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的一般方法根軌跡法是一種圖解方法，它從開環(huán)系統(tǒng)出發(fā)找到閉環(huán)根的軌跡，根軌跡法是一種圖解方法，它從開環(huán)系統(tǒng)出發(fā)找到閉環(huán)根的軌跡，基于閉環(huán)根的分布可以估算系統(tǒng)的性能，即一種工程圖解法?；陂]環(huán)根的分布可以估算系統(tǒng)的性能，即一種工程圖解法。1、常規(guī)根軌跡（以增益、常規(guī)根軌跡（以增益K為參變量）為參變量）法則法則1：根軌跡起于開環(huán)極

7、點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。：根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。0j0K0K21KK) 15 . 0()(ssKsG如前例開環(huán)傳遞函數(shù)：如前例開環(huán)傳遞函數(shù)：起點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)：有限零點(diǎn)和無限零點(diǎn)。等于開環(huán)開環(huán)零點(diǎn)：有限零點(diǎn)和無限零點(diǎn)。等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。極點(diǎn)數(shù)。法則法則2：根軌跡分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)：根軌跡分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n ，根，根軌跡是連續(xù)的并對稱于實(shí)軸。軌跡是連續(xù)的并對稱于實(shí)軸。法則法則3：實(shí)軸上的根軌跡。：實(shí)軸上的根軌跡。在實(shí)軸某區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)零、極點(diǎn)在實(shí)軸某區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)零、極點(diǎn)個數(shù)和為奇數(shù)，則該區(qū)域?yàn)楦壽E。個數(shù)和為奇數(shù)，則該區(qū)域?yàn)楦壽E。法則法則4：根軌跡的漸近線。當(dāng)

8、：根軌跡的漸近線。當(dāng)nm時，有時，有n-m條漸進(jìn)線。根軌跡沿條漸進(jìn)線。根軌跡沿漸進(jìn)線趨向無限零點(diǎn)。漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)和交角如下。漸進(jìn)線趨向無限零點(diǎn)。漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)和交角如下。漸進(jìn)線的交點(diǎn)：漸進(jìn)線的交點(diǎn)：mnzpmjjniia11漸進(jìn)線的交角：漸進(jìn)線的交角：mnka) 12(0j0K0K21KK2/, 1aa法則法則5：根軌跡的分離點(diǎn)。兩條以上根軌跡：根軌跡的分離點(diǎn)。兩條以上根軌跡在在S平面相遇又分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)平面相遇又分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)d可可求下述方程的解：求下述方程的解：mjjniizdpd1111分離點(diǎn)分離點(diǎn)d如圖分離點(diǎn)計(jì)算：如圖分離點(diǎn)計(jì)算：02

9、11dd01d分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線與離開分離點(diǎn)切線之間的夾交。分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線與離開分離點(diǎn)切線之間的夾交。由：由：lkj/) 12(確定。確定。分離角分離角例例4-1、已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：、已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)3)(2()(sssKsG，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。解：解：應(yīng)用上述的根軌跡繪制法則：應(yīng)用上述的根軌跡繪制法則：1）開環(huán)零、極點(diǎn)）開環(huán)零、極點(diǎn)2）實(shí)軸上的根軌跡）實(shí)軸上的根軌跡3）漸進(jìn)線）漸進(jìn)線3/50332a3/, 3/03) 12(ka4）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)031211ddd061032dd79. 01d55. 22d（

10、不在根軌跡上，不是）（不在根軌跡上，不是）0j0K0K23KK79. 0d0KK法則法則6：根軌跡的起始角和終止角。：根軌跡的起始角和終止角。0j起始角起始角0j終止角終止角nijjppmjzpijipjik, 11) 12(起始角：起始角：終止角：終止角：njzpmijjzzzijijik1, 1) 12(上述計(jì)算公式看似復(fù)雜，但很容易由相角方程獲得。上述計(jì)算公式看似復(fù)雜，但很容易由相角方程獲得。法則法則7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（根軌跡穿過虛軸）。：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（根軌跡穿過虛軸）。求法：求法：1）勞斯判據(jù)（全零行），求得：）勞斯判據(jù)（全零行），求得：2）在閉環(huán)特征方程中，令：）在閉環(huán)特征

11、方程中，令：js ，然后由實(shí)部，然后由實(shí)部和虛部為和虛部為0，求得：，求得：.,jjK.,jjK)3)(2()(sssKsG0j0K0K23KK79. 0d0KK例例4-1中：中：虛軸交點(diǎn)虛軸交點(diǎn)06523Ksss特征方程：特征方程：3s2s1s0s165K5/ )30(KK030 K052 Ks,30jK6jsj6j也可以令也可以令js 代入特征方程，得：代入特征方程，得：06)(5)(23Kjjj0)6(522jK6j30jK例例4-2、已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：、已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：)3)(1() 1()(ssssKsG要求：要求： 1、繪制閉環(huán)根軌跡（確定分離點(diǎn)、與虛

12、軸的交點(diǎn)）；、繪制閉環(huán)根軌跡（確定分離點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)）；2、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定的、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定的K值范圍；值范圍；3、確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。、確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。0j1345. 0d1虛軸交點(diǎn)虛軸交點(diǎn)解：解：1、根軌跡、根軌跡1）開環(huán)零、極點(diǎn)圖）開環(huán)零、極點(diǎn)圖2）實(shí)軸上根軌跡）實(shí)軸上根軌跡(-3,-1),(0,1)區(qū)間區(qū)間3）漸進(jìn)線）漸進(jìn)線5 . 0) 13/()1(13(a2/, 2/2/) 12(ka4）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)1131111dddd試探得：試探得：45. 0d5）虛軸交點(diǎn)）虛軸交點(diǎn)0)3(223KsKss由勞斯判據(jù)：由勞斯判據(jù)：3, 6jjK2、系統(tǒng)穩(wěn)定、

13、系統(tǒng)穩(wěn)定K值：值：6K3、32, 1js因因可得：可得：23s)3)(2/() 1(6)(2ssssj課堂練習(xí)：教材課堂練習(xí)：教材P.116的的4-3。0j2585. 0d1）0j5 . 0171. 1d29. 01d2）0j2391. 0d53）2、參數(shù)根軌跡（除、參數(shù)根軌跡（除K外的其它參數(shù)）外的其它參數(shù)）參數(shù)根軌跡即開環(huán)傳遞函數(shù)中除參數(shù)根軌跡即開環(huán)傳遞函數(shù)中除K外的其它參數(shù)變化的根軌跡。外的其它參數(shù)變化的根軌跡。)(sG)(sR)(sC)(sH0) 1() 1()()(111vnjmiijvsKsTssHsG考察系統(tǒng)：考察系統(tǒng)： 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：n

14、jjmiivsTssKsHsG11) 1() 1()()(1）以）以K為參數(shù)繪制的閉環(huán)根軌跡稱為常規(guī)根軌跡；為參數(shù)繪制的閉環(huán)根軌跡稱為常規(guī)根軌跡；2）以）以K以外參數(shù)以外參數(shù)jiT,繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。1、等效開環(huán)傳遞函數(shù)、等效開環(huán)傳遞函數(shù)以例說明：以例說明：設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：) 1()1 ()(sssKKsGt試?yán)L制：試?yán)L制：1）5 .0tKK為參數(shù)為參數(shù)2）10KtK為參數(shù)為參數(shù)時的根軌跡。時的根軌跡。) 1()5 . 01 ()(sssKsG解：解：1） 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡如圖所示。根軌跡如圖所示。

15、2） 閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為：0) 1()1 (101)(1sssKsGt010102sKsst0101012sssKt1010)(2sssKsGte等效開環(huán)傳遞函數(shù)：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：0j12K0j5 . 012. 312. 3ttKK10*ttKK10*根軌跡如圖所示。根軌跡如圖所示。在系統(tǒng)同一特征方程下，根據(jù)需要，由除在系統(tǒng)同一特征方程下，根據(jù)需要，由除K以外以外的參數(shù)置于的參數(shù)置于K位置導(dǎo)出的傳遞函數(shù)稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。位置導(dǎo)出的傳遞函數(shù)稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡繪制小結(jié)：根軌跡繪制小結(jié)：1、根軌跡、根軌跡閉環(huán)根隨開環(huán)傳遞函數(shù)中某參數(shù)變化在閉環(huán)根隨開環(huán)傳遞函數(shù)中某參數(shù)變化在

16、S平面上平面上變化的軌跡。根軌跡上的點(diǎn)滿足根軌跡方程。變化的軌跡。根軌跡上的點(diǎn)滿足根軌跡方程。2、常規(guī)根軌跡和參數(shù)根軌跡、常規(guī)根軌跡和參數(shù)根軌跡常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡開環(huán)增益開環(huán)增益K變化時的根軌跡變化時的根軌跡參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡非非K外的其他參數(shù)變化時的根軌跡外的其他參數(shù)變化時的根軌跡常規(guī)根軌跡和參數(shù)根軌跡的繪制法則是相同的。常規(guī)根軌跡和參數(shù)根軌跡的繪制法則是相同的。課堂練習(xí)：教材課堂練習(xí)：教材P117，4-5，4-6。023223KKssss4-5：1）ssssKsG32)2()(234-6：)(4(20)(bsssG0)(1sG020442bsbss1）204)4()(2sssbsGe4

17、-3 根軌跡法的系統(tǒng)設(shè)計(jì)根軌跡法的系統(tǒng)設(shè)計(jì)4-3-1根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能1、根軌跡圖的信息、根軌跡圖的信息0j2585. 0d如右圖單位反饋系統(tǒng)例所示：如右圖單位反饋系統(tǒng)例所示：1）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性70 K2）閉環(huán)極點(diǎn)：）閉環(huán)極點(diǎn)：41. 00 K負(fù)實(shí)根負(fù)實(shí)根相等實(shí)根相等實(shí)根41. 0K共軛復(fù)根共軛復(fù)根741. 0 K3）系統(tǒng)類型和穩(wěn)態(tài)誤差）系統(tǒng)類型和穩(wěn)態(tài)誤差1v單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：vssKe/12、時域描述、時域描述1）41. 00 K; 141. 0K; 1741. 0 K. 12）核算！核算！K計(jì)算！計(jì)算！例例4-3、) 1(10ss)(sR)(

18、sCsKt已知系統(tǒng)入圖所示，已知系統(tǒng)入圖所示，用根軌跡法討論用根軌跡法討論tK對對系統(tǒng)性能的影響，并確定系統(tǒng)性能的影響，并確定系統(tǒng)為臨界阻尼時的系統(tǒng)為臨界阻尼時的tK值。值。解：解： 1、繪制以、繪制以tK變化時的閉環(huán)根軌跡變化時的閉環(huán)根軌跡0j5 . 012. 312. 3*tK系統(tǒng)特征方程：系統(tǒng)特征方程：010102sKsst1010)(2sssKsGtetK2、討論、討論1）不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性；不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性；12. 3d54. 0tK2）54. 00tK154. 0tK154. 0tK1臨界阻尼臨界阻尼4-3-2 根軌跡設(shè)計(jì)的主導(dǎo)極點(diǎn)法根軌跡設(shè)計(jì)的主導(dǎo)極點(diǎn)法利用閉環(huán)根軌跡選取閉環(huán)主導(dǎo)極

19、點(diǎn)，估計(jì)系統(tǒng)性能，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)法。利用閉環(huán)根軌跡選取閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，估計(jì)系統(tǒng)性能，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)法。例例4-4、某系統(tǒng)如下圖所示。、某系統(tǒng)如下圖所示。o2 . 0, 1 . 021) 1)(1(121sss)(sR)(sCK設(shè)：設(shè)：問題：問題：1、試?yán)L制根軌跡；、試?yán)L制根軌跡；2、確定一對主導(dǎo)極點(diǎn)；、確定一對主導(dǎo)極點(diǎn)；3、估算單位斜坡信號下的穩(wěn)態(tài)誤差。、估算單位斜坡信號下的穩(wěn)態(tài)誤差。根軌跡課堂練習(xí)：根軌跡課堂練習(xí)：題題1、已知單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：、已知單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1() 1()(sssKsG1、繪制、繪制K從零到無窮的閉環(huán)根軌跡；從零到無窮的閉環(huán)根軌跡；2、判定系統(tǒng)穩(wěn)定的、判定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。值范圍。.,jjK題題2、已知單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：、已知單位反饋系統(tǒng)，