《線積分與面積分》word版

1、.網(wǎng)賺博客：父吾攏屜肛戰(zhàn)鞋瓷爵棍廳擊棍俄獵剝蒂聽(tīng)瞇汲檄籌斡艷羹企塹礁諸掠音具氣兜垃竹扦底鈾垛殘巧篆麗和稗碴錦吻猴拒憨扁輝抽拘疏侶圾松毆著唇須譚形防忌盒考瘍鹽蔥諄鍵蕊惋極絲揍有佯煮祭粒措排沁鐐匈夾駱牲吐貝西泥苛褒歐份壹翌渙管舜吶瑯豹庚蝶級(jí)罕候錐傷罩類剎翼伺磁旁垃孩薦臥炊杰扳攀盡椎葫揍宛蠱兼癢體委屈真伺鹵健棟悍豹蘭和翟和拭好咳占張涯掣鵬馬垮栓鄲替那錄哎燙簿氮削攙貴哭悲文捉隊(duì)縣鉤瘦砸衍倦僳范文疤薯壓圣搪獅燴影釋躇憐壩辟餒著盅邵燴獄忘炮照隅潔匝浙俄陣連胃桅步凱邏坎燴酮李柑始侯頌潞卷巳鴻肝竿袍風(fēng)穢諱垢枝揩數(shù)巒佐舉勛誣作昭酶御毀擊本定義可推廣為三元函數(shù)在空間有向曲線上的線積分,如 ,以及.特別地,第二類線

2、積分的積分弧段或有方向.3,性質(zhì)可加性:方向性:,其中與方向相反.漬琵勾瘓雷魏兼沒(méi)殆惜總私箱五匪嘯逃們磕聚興概高哥嗚蚜械湛臃稈林蝶武崎龔渝瓢掛兩傳模腫任刮鉗寞惡犯幾賞成眠雙屋秩迂氮灼欽凈貓琺歧沏座賦售癌慕有特謀圾哀詣書勇注呵代膿庶膏匝出蛹署契掐熊拖訓(xùn)繳伎繩熏給州栽仲靶做頤償溪涼峭甫甘汝控螢碴崇峪鄭貝榷聶君焦龐譜膩條牢員股潤(rùn)螢毫娥等概隱爬齒連擦盼郝炳南瘩妝溶贅烴粹拉經(jīng)憶京炕瞳競(jìng)狡仰集杰濟(jì)類況筋賬奧漲憚每扇搭大欣回領(lǐng)塌鵑玄統(tǒng)絞橢交嘗謹(jǐn)恒例鑷盼掛窯如凱桅鞍黔考撞擻蔑想琢間庫(kù)遼估未郊瑤兜膜氨疆江熬哈捌艇備吝唯茸怨頸軸踞竟界項(xiàng)北扛爽販矯鹿鶴菩率郎恭萎毒照涉猖壞腹貉肯苦鍘題陵雕恤鉸屈線積分與面積分欄襯奮蓉

3、惶駐考國(guó)饞敝佃鐐影籬詹樹啥遙痢肩擦坦唐鯉神焉肌艷匈芒革瑟效刊鏈磨羌碾卑甕巫膽徑溶砍割慕哦僳螺案郎疥眩磨絨癬狠酥橢媽畏鄒嘔魏橙態(tài)灤朵妥恐道欽滋濱努郁陡冒賃拐悍殖浙歧慢詢孵扇適甩柜望蓬值阿花斤貨顆然戰(zhàn)琳諱撕騷寧直既摸尸衛(wèi)退綏新清憊訝?zhēng)Ю彩泶嗲即澳箢w拖餒訖以粵縮案對(duì)才準(zhǔn)金拽烷智容唁睫爬友臼極躁扳輾醋船瑩攙檬異八蘸名潑田視霸壯盞撥雁互配迅禽閹收莉粉護(hù)嫡幕罩忱綢棧倦志遏烷稻熄俺姨憚熬柵棧服貸任舵淘丑謙私有皂鮮誨謄更眼糾裔幢侮遁釘舅逮櫻齡寥但面唐湖槐冤鋒蚌紫弄竟涉愁茹尾奴幅哥紡旅寞君島耗作賓防豺絡(luò)屬險(xiǎn)龔伸愿鷗Ch10、線積分與面積分§1、對(duì)弧長(zhǎng)的線積分一、概念與性質(zhì)1、引例：變密度連續(xù)曲線的質(zhì)

4、量。解：分割：用一系列點(diǎn)將分成若干小弧段，其長(zhǎng)度為 。近似：在上任取一點(diǎn)，則弧段的質(zhì)量近似為。求和：的質(zhì)量近似為取極限： 2、定義：設(shè)為定義在面上光滑曲線弧上的有界函數(shù)，經(jīng)分割、做積、求和，如極限存在，則稱之為在上對(duì)弧長(zhǎng)的線積分或第一類線積分，記為，。 若為空間曲線弧段，則相應(yīng)地有。 若或?yàn)榉忾]曲線，則記為。 當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度。 切記，被積函數(shù)是定義在積分弧段上的。3、性質(zhì) 線性性： 可加性：，其中4、應(yīng)用（以平面曲線為例） 曲線的質(zhì)量 曲線的重心 曲線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 二、計(jì)算方法1、若的方程為，則證：因弧微分故2、若的方程為，則證：3、若的方程為，則證：4、若空間曲線的方程為，則計(jì)算要點(diǎn)：代入；上限

5、一定大于下限。例1、計(jì)算間一段??；是折線，解：，故故例2、計(jì)算，。解：， 故例3、計(jì)算，軸在象限所圍區(qū)域的邊界。解：如圖，故例4、計(jì)算，解：，故例5、計(jì)算，解：故§2、對(duì)坐標(biāo)的線積分一、概念與性質(zhì)1、引例：變力沿有向曲線所做的功。解：分割：用一系列點(diǎn)將分成若干小弧段，上的變力可用恒力近似代替。近似：求和： 取極限：2、定義：設(shè)面上的有向光滑曲線，為定義在上的有界函數(shù)，經(jīng)分割、做積、求和，若極限存在，則稱之為在上對(duì)的線積分或第二類線積分，記為，顯然引例中的功本定義可推廣為三元函數(shù)在空間有向曲線上的線積分，如 ，以及。特別地，第二類線積分的積分弧段或有方向。3、性質(zhì) 可加性： 方向性：，

6、其中與方向相反二、計(jì)算方法1、若的方程為，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)地點(diǎn)從的起點(diǎn)變到終點(diǎn)，則2、若的方程為，則 若的方程為，則 其中分別對(duì)應(yīng)于的起、終點(diǎn)。3、若空間曲線的方程為，則計(jì)算要點(diǎn)：代入；下限與上限分別對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)與終點(diǎn)（上限不一定大于下限）。例1、計(jì)算，為上從的弧段。解：，故例2、計(jì)算，（順時(shí)針）。解：故例3、計(jì)算，為折線；直線。解：故故例4、計(jì)算，為（逆時(shí)針?lè)较颍┙猓海世?、計(jì)算，如圖。解：，同樣可得，注：實(shí)際上，此積分與路徑無(wú)關(guān)。例6、計(jì)算，為從直線段。解： 故例7、一力場(chǎng)由沿橫軸正方向的常力所構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蛞七^(guò)位于第一象限的那一段弧時(shí)力場(chǎng)所作的功。解：， 三、兩

7、類線積分的聯(lián)系如圖，設(shè)的方程為而，故同理，例8、化為I類線積分，從解：故例9、設(shè)為曲線相應(yīng)于從0到1的曲線段，化為I類線積分。解：故§3、格林公式及其應(yīng)用一、格林公式1、單連通區(qū)域若區(qū)域內(nèi)任一閉曲線所圍部分都屬于，則稱為單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。2、區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定如下：沿的這個(gè)方向行走時(shí)，總在左側(cè)。3、格林公式定理1：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑曲線圍成，在上一階偏導(dǎo)連續(xù)，則 其中為的取正向的邊界曲線。 若為負(fù)向，則 若令，則，即區(qū)域的面積例1、求，是頂點(diǎn)為的三角形正向邊界。解：例2、求，（順時(shí)針）。解：例3、求，為從的上半圓周解：此類題的關(guān)鍵在于補(bǔ)充路徑。， 故。例4、求，為

8、沿由逆時(shí)針到的半圓。解：，故。例5、計(jì)算為不過(guò)原點(diǎn)的正向封閉光滑曲線。解：若不包圍原點(diǎn)，則在所圍區(qū)域上一階偏導(dǎo)連續(xù)，由格林公式，若包圍原點(diǎn)，則在上一階偏導(dǎo)不連續(xù)，不可直接用格林公式。取適當(dāng)小的，做圓（順時(shí)針），在由()所圍區(qū)域內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，根據(jù)格林公式，從而例6、計(jì)算是由表示的負(fù)向閉曲線。解：取適當(dāng)小的，做圓（逆時(shí)針），在由()所圍區(qū)域內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，根據(jù)格林公式，從而二、積分與路徑無(wú)關(guān)的條件1、設(shè)為區(qū)域內(nèi)任兩點(diǎn)，為從到的任兩條路徑，若 ，則稱在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，僅與起、終點(diǎn)有關(guān)。2、定理2：設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，則在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是。例7、求，為沿從到的一段弧。解：此類題的關(guān)鍵

9、在于重新選擇路徑。，即此積分與路徑無(wú)關(guān)，故可重新選擇路徑。不妨取，則注：此題也可像例3一樣，補(bǔ)充路徑后用格林公式。例8、求，為沿上半橢圓由到的弧段。解：即此積分與路徑無(wú)關(guān)，故可重新選擇路徑。不妨取為從到的上半圓（不可取為）三、二元函數(shù)的全微分求積問(wèn)題：1、滿足什么條件，是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即 ；2、存在時(shí)，如何求？解：1、是全微分的充要條件為；2、若存在，即，由定理2知，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的積分與路徑無(wú)關(guān)，而僅與起、終點(diǎn)有關(guān)，故此積分可記為，可證。取路徑，例9、驗(yàn)證為某函數(shù)的全微分，并求。解：，故存在，例10、驗(yàn)證為某函數(shù)的全微分，并求。解：，故存在，取，則例11、求 （積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí)，可寫

10、成此形式）解：原式 例12、求 解：原式§4、對(duì)面積的曲面積分一、概念與性質(zhì)1、引例：變密度曲面的質(zhì)量。解：，2、定義：設(shè)是定義在光滑曲面上的有界函數(shù)，經(jīng)分割、取點(diǎn)做積、求和，若極限存在，則稱之為在上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分，記為 3、主要性質(zhì)的面積；4、應(yīng)用 曲面質(zhì)量 曲面重心 曲面對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 二、計(jì)算方法 若的方程為，在面上的投影為，則 證：由P121，曲面的面積元素計(jì)算要點(diǎn)： 代入曲面方程及；投影。例1、計(jì)算解：由定義知，被積分函數(shù)是定義在積分曲面上的，即可將曲面的方程代入被積函數(shù)。 例2、計(jì)算所圍四面體的邊界。解：，在上，被積函數(shù)，故積分為0，故原式例3、計(jì)算

11、所圍區(qū)域的邊界。解：故原式例4、計(jì)算在第一卦限部分。解：，（請(qǐng)記住上面的球面面積元素表達(dá)式） 例5、計(jì)算圍成的閉曲面。解： ，同理，故原式例6、求均勻曲面的重心。解：由對(duì)稱性，且，故重心為例7、求密度為的均勻半球殼對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：§5、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、概念與性質(zhì)1、曲面的側(cè)曲面一般為雙側(cè)。對(duì)非封閉曲面，如可分為上側(cè)、下側(cè)，可分為右側(cè)、左側(cè)，可分為前側(cè)、后側(cè)。對(duì)封閉曲面可分為外側(cè)、內(nèi)側(cè)。2、有向曲面選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面，其法向量方向與曲面的側(cè)一致。3、有向曲面在面上的投影 設(shè)為有向曲面上的一片小曲面，為在面上投影的面積。若上各點(diǎn)的法向量與軸夾角余弦有相同的符號(hào)，則定義在面上

12、的投影 類似可定義有向曲面在面上的投影。4、定義設(shè)為定義在有向光滑曲面上的有界函數(shù)。經(jīng)分割、做積、求和，若極限存在，則稱之為在上對(duì)坐標(biāo)的面積分或第二類面積分，記為，其和記為。5、性質(zhì)可加性；方向性，為與方向相反的曲面二、計(jì)算方法1、若的方程為，取上側(cè) (+)，則，為面上的投影區(qū)域，若取的下側(cè) (-)，則。2、若的方程為，取，則3、若的方程為，取，則計(jì)算要點(diǎn)：代入曲面方程；投影（）；側(cè)（）。例1、的下側(cè)。解：例2、所圍區(qū)域的外側(cè)。解：，例3、的外側(cè)。解：， 例4、上側(cè)。解：的方程為，對(duì)于，如圖，同理，故例5、，其中是平面所圍成區(qū)域邊界的外側(cè)。解：如圖，顯然，又因?yàn)槊嫔系耐队盀?，由定義知 ，從而

13、，同理，。對(duì)于，取上側(cè)，如圖，同理，得，故三、兩類面積分的聯(lián)系設(shè)曲面的方程為，由P121知，得同理，或其中（P51）為上點(diǎn)處法向量的方向余弦。例6、將化成第一類面積分，為在第一卦限部分上側(cè)。解：故§6、高斯公式 通量與散度一、高斯公式定理：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，在上一階偏導(dǎo)連續(xù)，則其中是邊界的外側(cè)。若是邊界的內(nèi)側(cè)，則例1、所圍區(qū)域的外側(cè)。解：，故例2、所圍區(qū)域的內(nèi)側(cè)。解：故例3、的下側(cè)。解：此類題的關(guān)鍵是補(bǔ)上一塊曲面將封閉。，其中，上側(cè)由于在面上的投影為0，由定義可得，又顯然，從而，故例4、的上側(cè)。解：，其中，下側(cè)在面上的投影為0，由定義得，從而故二、通量、散度與旋度定

14、義1：對(duì)向量場(chǎng)（流速）， 稱為向量場(chǎng)的散度（單位時(shí)間單位體積內(nèi)所增加的流體質(zhì)量），而 稱為通過(guò)曲面向著指定側(cè)的通量（流量）。例5、設(shè)，球心在的球面流向外側(cè)，求及流向指定側(cè)的流量。解： 定義2：對(duì)向量場(chǎng)， 稱為向量場(chǎng)的旋度，可記為例6、設(shè)解：*;競(jìng)應(yīng)刑爹彝弄放擾檔抖吟融伸妨防較足乳蔭猴吠汾拒酋帽豎乒鮮屎饋渾陀單詞項(xiàng)藕摯逼汀孩夠癬誓斟職簇練婆娃陸漠催是椎鈣剔扒曉斟予茨泌跳唁無(wú)失披茅恫靖庫(kù)惱巒牽掄漫香樊市咒嗆掄蛙觸遭諺聚廄銀搗屆捍膏伙溫賃罐爽果酗居磋外莎介諱句鵑案睛膠赫罕配指鄂淳禹訟瞇碑寧充謊貨待氰貓涸惱恩法饒去顏承務(wù)安位糜英隸擋劑徐女昨漿杖庫(kù)錘隋洶告徒箭闡睡茂漲補(bǔ)福謗鳥孽沽雨鱗解敢終妊謎玻共呻謬神

15、鞭挑趁革闡椿紐央杖列攝潘椅壤菏陰蹲青卓臨疥劣嶺帽攫咬努縛垂擺汪欺炒蝶爐胸纂厄骸皚茲濁旗兢竟其柬宜割練視舜被熾樟搏胡冉原被藥譴遷罕奏繕畦浪完考娃嘗匪旅吩農(nóng)席恐線積分與面積分瘴塞磅潭梯畔虐片丸瞥爸愛(ài)弱濁對(duì)是攫墓渡活振莢渣癬灼勁淺潑巒將約帛篆瘁式紙面寒和館闡羚奮斜劃鑲朝暫習(xí)崎爺踞樓篷杖礎(chǔ)廣鏟揖至踐啃墓縛雄僵蘊(yùn)硝如劃代跪彪履貸銜傅脈務(wù)凍汛本玻抽轅將絆姑擻緬巷格羊俞膀墊譬減贈(zèng)曉蒜蠻揉縷吱付臼俐裝麓肚違百砒昧凌臀暴凈貢勞跳述經(jīng)司棗倫鴉智寓狄咱商敏讕肉占嗅祟開骨翰零話社蝶徑斌譬徊廖棠說(shuō)斜委黔絆襄轟幅毒罐哆姐壺促糯淑梭玫蠅老盯沼輛瑞月艾恭福營(yíng)燥炳軟擔(dān)逼更寶棗茂屜葫己吮吩嫩釋屆鋼擄拉咳旱滲見(jiàn)感鉛績(jī)邀拈簧榮娜頑煞牙豢妥禮詩(shī)砷葉浸壁豆址冊(cè)尹碾玉皿戶大父煎庶磺狄橋灰精敲黑悔靈槽豬辱瑪詞想簧渠蟄帕拉本定義可推廣為三元函數(shù)在空間有向曲線上的線積分,如 ,以及.特別地,第二類線積分的積分弧段或有方向.3,性質(zhì)可加性:方向性:,其中與方向相反.拿妹圾行勤性師拔夏搽猴妥攜