（整理版）平面解析幾何初步總結(jié)

1、平面解析幾何初步總結(jié)1定義：把直線中的系數(shù)叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線的斜率不存在軸正向與直線向上的方向所成的角，叫做這條直線的傾斜角經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率2斜率與傾斜角的關(guān)系：時(shí)，；時(shí)，且隨的增大而增大；不存在時(shí)，；時(shí)，且隨的增大而增大名稱方程常數(shù)的幾何意義適用條件點(diǎn)斜式是直線上的一個(gè)定點(diǎn)，是斜率直線不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在軸上的截距直線不垂直于軸兩點(diǎn)式，是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)直線不垂直于軸和軸截距式，分別是直線在軸，軸上的非零截距直線不垂直于軸和軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式，不同時(shí)為0，為系數(shù)任何情況特殊直線軸：垂直于軸且過(guò)點(diǎn)斜率不存在軸：垂直于軸且過(guò)點(diǎn)斜率3.辨析兩條直線相交、平行、重

2、合、垂直的兩種條件直線方程：，：，：，相交的等價(jià)條件與相交與相交平行的等價(jià)條件 且 且重合的等價(jià)條件與重合且與重合且垂直的等價(jià)條件說(shuō)明：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)方程組成的方程組的解方程組有一組解，那么兩直線有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，那么兩直線平行1與直線平行的直線方程可設(shè)為為參數(shù)，且；與直線垂直的直線方程可設(shè)為為參數(shù)2與直線平行的直線方程可設(shè)為；與直線垂直的直線方程可設(shè)為3過(guò)直線與的交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為為參數(shù)注意此方程中不包括直線，在解題時(shí)要驗(yàn)證該直線是否符合題意特別地，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般將直線方程整理為的形式，將定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與的交點(diǎn)5.記憶重要公式，重視坐標(biāo)法思想1四個(gè)距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公

3、式類型條件公式中點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)軸上的點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，：兩平行直線的距離：，：，不同時(shí)為零2坐標(biāo)法思想：即根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)量，利用坐標(biāo)間的代數(shù)計(jì)算解決幾何問(wèn)題6.明確圓的兩種方程，掌握待定系數(shù)法1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中，圓心是，半徑是圓的一般方程：其中圓心是，半徑是注意：二元二次方程表示圓的條件是和項(xiàng)的系數(shù)相等且不為零；沒(méi)有項(xiàng)2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程中都含有三個(gè)參變量或，求圓的方程時(shí)，由題意得到三個(gè)獨(dú)立的條件，利用待定系數(shù)法求出三個(gè)參變量的值即可1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外，可通過(guò)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)

4、系來(lái)判斷2直線與圓的位置關(guān)系直線 圓的位置關(guān)系有三種：相交、相離、相切，其判斷方法有兩種：代數(shù)法通過(guò)解直線方程與圓的方程組成的方程組，根據(jù)解得個(gè)數(shù)來(lái)判斷、幾何法由圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷3圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其判斷方法有兩種：代數(shù)法根據(jù)兩圓方程聯(lián)立的方程組解的情況判斷、幾何法根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑，之間的關(guān)系判斷8.牢記圓的切線求法，細(xì)解弦長(zhǎng)問(wèn)題1圓的切線求法：設(shè)切線斜率，得到切線方程，與圓聯(lián)立化為一元二次方程，依據(jù)判別式為0求解；設(shè)切線斜率，得到切線方程，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求解解題時(shí)，注意切線斜率不存在的情況2

5、當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓的半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形3求相交兩圓的公共弦長(zhǎng)時(shí)，可通過(guò)兩圓方程相減求出兩圓公共先所在的直線方程，進(jìn)而求出其中一圓心到直線的距離及該圓的半徑，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)的一半，從而求得弦長(zhǎng)9.明晰空間直角坐標(biāo)系的建立法那么，直擊距離公式1建林的空間直角坐標(biāo)系要遵循右手法那么2空間中，之間的距離專題歸納探究專題一 巧設(shè)直線方程解題在本章中，經(jīng)常要用直線方程解決問(wèn)題，但很多時(shí)候直線方程并非，而是要設(shè)出方程進(jìn)而解決問(wèn)題，這時(shí)，如何選擇方程形式將決定解題過(guò)程中的優(yōu)劣簡(jiǎn)繁典例1 直線過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，求直線的方程研析 由題意知，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕

6、對(duì)值相等且不為0方法一 設(shè)直線的方程為或當(dāng)直線的方程為時(shí)，點(diǎn)在上，解得，直線的方程為；當(dāng)直線的方程為時(shí)，點(diǎn)在上，解得，直線的方程為綜上所述，所求直線的方程為或方法二 設(shè)直線的方程為令，得；令，得由題意，得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，點(diǎn)在上，直線的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，點(diǎn)在上，直線的方程為綜上所述，所求直線的方程為或方法探究 凡涉及直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積或周長(zhǎng)等與截距有關(guān)的問(wèn)題，用截距式較簡(jiǎn)單，但要注意截距式應(yīng)用的前提是截距存在且不為零典例2 直線過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，求直線的方程研析 設(shè)直線的方程為，即由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或故直線的方程為或方法探究 設(shè)直線方程為，

7、防止了漏掉斜率不存在的情況斜率不存在即典例3 圓，求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程研析 設(shè)所求切線的方程為，即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑由題意可知，解得或，故所求直線方程為或方法探究 過(guò)圓上一點(diǎn)求圓的切線方程，都可能存在切線斜率不存在的情形為了防止討論斜率和判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可直接設(shè)切線方程為專題二 探討兩類圓方程的求解方法解此類問(wèn)題的方法是：聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在圓上及其他條件求圓的方程典例1 求經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程研析 解方程組得或即直線與圓交于點(diǎn)和點(diǎn)設(shè)所求圓的方程為，分別將，的坐標(biāo)代入，得方程組解得所求圓的方程為求過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程，一般先求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，在

8、利用圓的幾何性質(zhì)確定所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；也可由題意設(shè)出所求圓的方程，再根據(jù)條件建立方程組求參即可典例2 求圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)的圓的方程研析 方法一 由解得或故兩圓和的交點(diǎn)分別為，線段的垂直平分線的方程為，由解得所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所求圓的方程為方法二 同方法一求得，設(shè)所求圓的方程為，由解得所求圓的方程為接下來(lái)介紹利用過(guò)兩圓交點(diǎn)的曲線方程來(lái)解決上述問(wèn)題的方法這里談的過(guò)兩圓交點(diǎn)的曲線方程是指過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程及它的特例直線的方程經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，這些圓有一共同的性質(zhì)：圓心都在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，構(gòu)成了一個(gè)圓的集合，記這個(gè)集合為我們把具有某一共同性質(zhì)的所有的圓的集合成為圓系，它的方程叫做圓系方程1設(shè)圓過(guò)圓：與圓：的交點(diǎn)，那么與圓同心的圓系方程為 ，其中為參數(shù)且該圓系方程不包括圓方程的特例：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?,假設(shè)圓與圓相切，這時(shí)點(diǎn)，重合為一