（整理版）正弦定理和余弦定理應用舉例

1、正弦定理和余弦定理應用舉例題組一距 離 問 題1.一船自西向東航行，上午10時到達燈塔p的南偏西75°、距塔68海里的m處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的n處，那么這只船航行的速度為 ()a.海里/時 b34海里/時c.海里/時 d34海里/時解析：如圖由題意知mpn=75°+45°=120°，pnm=45°.在pmn中，由正弦定理，得，mn=68×=34.又由m到n所用時間為14-10=4小時，船的航行速度v= (海里/時)答案：a2一船以每小時15 km的速度向東航行，船在a處看到一燈塔m在北偏東60°方向，行駛4 h

2、后，船到達b處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為_km.解析：如圖，依題意有ab15×460，mab30°，amb45°，在amb中，由正弦定理得，解得bm30 km.答案：303如下圖，為了測量河對岸a，b兩點間的距離，在這一岸定一基線cd，現(xiàn)已測出cda和acd60°，bcd30°，bdc105°，adc60°，試求ab的長解：在acd中，cda，acd60°，adc60°，所以aca. 在bcd中，由正弦定理可得bca. 在abc中，已經(jīng)求得ac和bc，又因為acb30

3、°，所以利用余弦定理可以求得a、b兩點之間的距離為aba.題組二高 度 問 題4.據(jù)新華社報道，強臺風“珍珠在廣東饒平登陸臺風中心最大風力到達12級以上，大風降雨給災區(qū)帶來嚴重的災害，不少大樹被大風折斷某路邊一樹干被臺風吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，那么折斷點與樹干底部的距離是 ()a.米 b10米 c.米 d20米解析：如圖，設樹干底部為o，樹尖著地處為b，折斷點為a，那么abo=45°，aob=75°，oab=60°.由正弦定理知，ao= (米)答案：a5在一個塔底的水

4、平面上某點測得該塔頂?shù)难鼋菫?，由此點向塔底沿直線行走了30 m，測得塔頂?shù)难鼋菫?，再向塔底前進10 m，又測得塔頂?shù)难鼋菫?，那么塔的高度為_解析：如圖，依題意有pb=ba=30，pc=bc=.在三角形bpc中，由余弦定理可得cos2=，所以2=30°，4=60°，在三角形pcd中，可得pd=pc·sin4=10·=15(m)答案：15 m6某人在山頂觀察地面上相距2 500 m的a、b兩個目標，測得目標a在南偏西57°，俯角為30°，同時測得b在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設a、b與山底在同一平面上，計

5、算結果精確到0.1 m)解：畫出示意圖(如下圖)設山高pq=h，那么apq、bpq均為直角三角形，在圖(1)中，paq=30°，pbq=45°.aq=，bq=h.在圖(2)中，aqb=57°+78°=135°，ab=2 500，所以由余弦定理得：ab2=aq2+bq2-2aq·bqcosaqb，即2 5002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2，h=984.4(m)答：山高約984.4 m.題組三角 度 問 題abc中，角a、b、c所對的邊分別為a，b，c，如果ca，b30°

6、，那么角c等于 ()a120° b105° c90° d75°解析：ca，sincsinasin(180°30°c)sin(30°c)(sinccosc)，即sinccosc.tanc.又c(0,180°)，c120°.答案：a8如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，那么這個新的三角形的形狀為 ()a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d由增加的長度決定解析：設增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2a2b2，ab>c新的三角形的三邊長為ax、bx、cx，知cx為最大邊，其對應角最大而

7、(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正，那么為銳角，那么它為銳角三角形答案：a題組四正、余弦定理的綜合應用9.有一山坡，坡角為30°，假設某人在斜坡的平面上沿著一條與山坡底線成30°角的小路前進一段路后，升高了100米，那么此人行走的路程為 ()a300 m b400 m c200 m d200 m解析：如圖，ad為山坡底線，ab為行走路線，bc垂直水平面那么bc=100，bdc=30°，bad=30°，bd=200，ab=2bd=400 米答案：b10線段ab外有一點c，abc60°

8、;，ab200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，那么運動開始_h后，兩車的距離最小解析：如下圖：設t h后，汽車由a行駛到d，摩托車由b行駛到e，那么ad=80t，be=50t.因為ab=200，所以bd=200-80t，問題就是求de最小時t的值由余弦定理：de2=bd2+be2-2bd·becos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-4t+40000.當t=時de最小答案：11如圖，扇形aob，圓心角aob等于60°，半徑為2，在弧ab上有一

9、動點p，過p引平行于ob的直線和oa交于點c，設aop，求poc面積的最大值及此時的值解：因為cpob，所以cpopob60°，ocp120°.在poc中，由正弦定理得，所以cpsin.又，ocsin(60°)因此poc的面積為s()cp·ocsin120°·sin·sin(60°)×sinsin(60°)sin(cossin)，(0°，60°)所以當30°時，s()取得最大值為.12(·寧波模擬)某建筑的金屬支架如下圖，根據(jù)要求ab至少長2.8 m，c為ab的中點，b到d的距離比cd的長小0.5 m，bcd60°，建造支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計ab，cd的長，可使建造這個