（整理版）第7講化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用

1、第7講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合1解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題，通過(guò)新問(wèn)題的求解，到達(dá)解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法。3轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。4化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的根本原那么： 1熟悉化原那么：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題

2、來(lái)解決。2簡(jiǎn)單化原那么：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，到達(dá)解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。 4直觀化原那么：將比擬抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比擬直觀的問(wèn)題來(lái)解決。5正難那么反原那么：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。二、例題分析例1某廠生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，問(wèn)全年總利潤(rùn)m與全年總投入n的大小關(guān)系是 a. m>n b. m<n c.

3、m=n 分析每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列an，且公差d0，每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列bn，且公比q1。，且，比擬與的大小。假設(shè)直接求和，很難比擬出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+n-1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bn=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列。 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象，直觀地可以看出aibi 那么，即mn。 點(diǎn)評(píng)把一個(gè)原本是求和的問(wèn)題，退化到各項(xiàng)的逐一比擬大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對(duì)問(wèn)題的化歸過(guò)程中進(jìn)一步挖掘了問(wèn)題的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的反思、再加工后，使問(wèn)題直觀、形象，使解答

4、更清新。例2如果，三棱錐pabc中，pabc，pa=bc=l，pa，bc的公垂線ed=h求證三棱錐pabc的體積分析：如視p為頂點(diǎn)，abc為底面，那么無(wú)論是sabc以及高h(yuǎn)都不好求如果觀察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，那么可走出困境解：如圖，連結(jié)eb，ec，由pabc，paed，edbc=e，可得pa面ecd這樣，截面ecd將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以ecd為底面，以pe、ae為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于pe+ae=pa=l，所以vpabc=vpecd+vaecd=secdae+secdpe=secd pa=bc·ed·pa= 評(píng)注：輔

5、助截面ecd的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題迎刃而解例3在的展開(kāi)式中x的系數(shù)為( )(a)160 (b)240 (c)360 (d)800分析與解：此題要求展開(kāi)式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過(guò)多項(xiàng)式乘法法那么及二項(xiàng)展開(kāi)式定理，因此，就要把對(duì)x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：思路1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法那么和兩個(gè)根本原理求解，那么展開(kāi)式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式， =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取一次項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號(hào)中均選 擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到，故為·(3x)·

6、83;24=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(b)思路2 利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算，x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會(huì)有x項(xiàng)，即(3x)·24=240x，應(yīng)選(b)；如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么只 (x2+2) 4·3x中含有x一次項(xiàng)，即·3x·c44·24=240x；

7、如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有·(x2+3x)·24中會(huì)有x項(xiàng)，即240x；如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開(kāi)式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)5中的一次項(xiàng)乘以(2+x)5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)5展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以(1+x)5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為x·25+24x15=160x+80x=240x，應(yīng)選(b) 評(píng)注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)幫我們把未知轉(zhuǎn)化為。例4假設(shè)不等式對(duì)一切均成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 令，那么要使它對(duì)均有，只要有 或。點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變?cè)幱谥饕匚?，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問(wèn)題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)假設(shè)能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)趩?wèn)題中的地位，就能使問(wèn)題迎刃而解。此題中，假設(shè)視x為主元來(lái)處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題變成關(guān)于p的一次不等式，使問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行。三、總結(jié)提煉1熟練、扎實(shí)地掌握根底知識(shí)、根本技能和根本方法是轉(zhuǎn)化的根底；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比擬、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法那么有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的