（整理版）解三角形應(yīng)用舉例

1、4-7解三角形應(yīng)用舉例根底穩(wěn)固強(qiáng)化1.(文)兩座燈塔a、b與c的距離都是a，燈塔a在c的北偏東20°，燈塔b在c的南偏東40°，那么燈塔a與燈塔b的距離為()aab.ac.a d2a答案b解析由余弦定理可知，ab2a2a22a·a·cos120°3a2，得aba，應(yīng)選b.(理)(·舟山期末)某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為()a. b2c2或 d3答案c解析如圖，abc中，ac，bc3，abc30°，由余弦定理得，ac2ab2bc22ab&#

2、183;bc·cosabc，3x296x·cos30°，x或2.2一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時(shí)40n mile的速度沿東偏南50°方向直線航行，30min后到達(dá)b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么b、c兩點(diǎn)間的距離是()a10n mile b10n milec20n mile d20n mile答案a解析如圖，由條件可知abc中，bac30°，abc105°，ab20，acb45°，由正弦定理得，bc10，應(yīng)選a.3(·東北

3、三校模擬)一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10n mile的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南60°西，另一燈塔在船的南75°西，那么這艘船的速度是每小時(shí)()a5n mile b5n milec10n mile d10n mile答案c解析如圖，依題意有bac60°，bad75°，所以cadcda15°，從而cdca10，在rtabc中，求得ab5，這艘船的速度是10(n mile/h)4(·滄州模擬)有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，那么斜坡長(zhǎng)為

4、()a1 b2sin10°c2cos10° dcos20°答案c解析如圖，bd1，dbc20°，dac10°，在abd中，由正弦定理得，ad2cos10°.5.(·廈門質(zhì)檢)如下圖，在坡度一定的山坡a處測(cè)得山頂上一建筑物cd的頂端c對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)b處，又測(cè)得c對(duì)于山坡的斜度為45°，假設(shè)cd50m，山坡對(duì)于地平面的坡度為，那么cos()a. b2c.1 d.答案c解析在abc中，由正弦定理可知，bc50()，在bcd中，sinbdc1.由題圖知，cossinadesinbd

5、c1.6.如圖，海岸線上有相距5n mile的兩座燈塔a、b，燈塔b位于燈塔a的正南方向海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔a的北偏西75°方向，與a相距3n mile的d處；乙船位于燈塔b的北偏西60°方向，與b相距5n mile的c處，那么兩艘輪船之間的距離為()a5n mile b2n milec.n mile d3n mile答案c解析連接ac，abc60°，bcab5，那么acacd中，ad3，ac5，dac45°，由余弦定理得cd.7在地面上一點(diǎn)d測(cè)得一電視塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進(jìn)100m，又測(cè)得塔尖的仰角為60°

6、，那么此電視塔高約為_(kāi)m()a237 b227c247 d257答案a解析解法1：如圖，d45°，acb60°，dc100，dac15°，ac，abac·sin60°237.選a.解法2：在rtabd中，adb45°，abbd，bcababc中，acb60°，ab15050237.8一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在a處看到一個(gè)燈塔m在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)b處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)km.答案30解析如圖，依題意有ab15×460，mab30

7、°，amb45°，在三角形amb中，由正弦定理得，解得bm30(km)o點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)刻物體位于p點(diǎn)，一分鐘后，其位置在q點(diǎn)，且poq90°，再過(guò)一分鐘，該物體位于r點(diǎn)，且qor30°，那么tanopq的值為_(kāi)答案解析由于物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意，pqqrpoq中，oqsinopq，opcosopq，在opr中，由正弦定理得，在orq中，兩式兩邊同時(shí)相除得tanopq.10(·東北三校二模)港口a北偏東30°方向的c處有一檢查站，港口正東方向的b處有一輪船，距離檢查站為31n mile，該輪船從b處沿

8、正西方向航行20n mile后到達(dá)d處觀測(cè)站，觀測(cè)站與檢查站距離21n mile，問(wèn)此時(shí)輪船離港口a還有多遠(yuǎn)？解析在bdc中，由余弦定理知，coscdb，sincdb.sinacdsin(cdb)sincdbcoscoscdbsin.在acd中，由正弦定理知ad×21÷15(n mile)此時(shí)輪船距港口還有15n mile.能力拓展提升30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，那么兩條船相距()a10m b100mc20m d30m答案a解析設(shè)炮塔頂a、底d，兩船b、c，那么bad45&#

9、176;，cad30°，bdc30°，ad30，db30，dc10，bc2db2dc22db·dc·cos30°300，bc10.12(·湖南文，8)在abc中，ac，bc2，b60°，那么bc邊上的高等于()a. b.c. d.答案b解析在abc中，ac2ab2bc22ab·bccosb，即7ab242×2ab×，ab22ab30，ab3或ab1(舍去)，那么bc邊上的高adabsinb3×sin60°.abc為銳角三角形，且msinasinb，ncosacosb，那么m與

10、n的大小關(guān)系為()amn bmncm>n dm<n答案c解析abc為銳角三角形，ab>，>a>b>0，>b>a>0，sina>cosb，sinb>cosa，sinasinb>cosacosb，m>n，應(yīng)選c.14(·重慶理，13)設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，且cosa，cosb，b3，那么c_.答案解析由sina，sinb.sincsin(ab)sin(ab)sinacosbcosasinb××.由正弦定理，c.a測(cè)得山頂p的仰角為30°，沿傾斜角為15&#

11、176;的斜坡向上走10m到b，在b處測(cè)得山頂p的仰角為60°，求山高h(yuǎn)(：m)解析在三角形abp中，abp180°，bpa180°()abp180°()(180°).在abp中，根據(jù)正弦定理得，ap.又60°，30°，15°，山高為hapsin5(m)16(·東北四校聯(lián)考)在海島a上有一座海拔1 km的山峰，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站p，有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午1100時(shí)，測(cè)得此船在島北偏東15°、俯角為30°的b處，到1110時(shí)，又測(cè)得該船在島北偏西45°、俯角

12、為60°的c處(1)求船的航行速度；(2)求船從b到c行駛過(guò)程中與觀察站p的最短距離解析(1)設(shè)船速為xkm/h，那么bckm.在rtpab中，pba與俯角相等為30°，ab.同理，rtpca中，ac.在acb中，cab15°45°60°，由余弦定理得bc，x6×2km/h，船的航行速度為2km/h.(2)作adbc于點(diǎn)d，連接pd，當(dāng)航行駛到點(diǎn)d時(shí)，ad最小，從而pd最小此時(shí)，ad.pd.船在行駛過(guò)程中與觀察站p的最短距離為km.1(·重慶理，5)設(shè)tan、tan是方程x23x20的兩根，那么tan()的值為()a3 b1

13、c1 d3答案a解析此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系與兩角和的正切公式由tantan3，tan·tan2，所以tan()3.應(yīng)選a.點(diǎn)評(píng)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，利用整體代換的思想使問(wèn)題求解變得簡(jiǎn)單2(·重慶文，5)()a bc. d.答案c解析sin47°sin(30°17°)sin30°cos17°cos30°sin17°，原式sin30°.3(·上海文，17)在abc中，假設(shè)sin2asin2b<sin2c，那么abc的形狀是()a鈍角三角形 b直角三角形c銳角三角形 d不能確定答案a解

14、析由sin2asin2b<sin2c.由正弦定理可得a2b2<c2，那么由余弦定理cosc<0，那么角c為鈍角，故三角形為鈍角三角形4(·浙江理，18)在abc中，內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c.cosa，sinbcosc.(1)求tanc的值；(2)假設(shè)a，求abc的面積解析(1)0<a<，cosa，sina，又coscsinbsin(ac)sinacosccosasinccoscsinc.所以tanc.(2)由tanc，得sinc，cosc.于是sinbcosc.由a及正弦定理，得c，設(shè)abc的面積為s，那么sacsinb.5.(·鄭

15、州一測(cè))某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在c處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀察點(diǎn)a、b兩地相距100m，bac60°，在a地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比b地晚s.a地測(cè)得該儀器在c處時(shí)的俯角為15°，a地測(cè)得最高點(diǎn)h的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度ch.(聲音的傳播速度為340m/s)解析由題意，設(shè)|ac|x，那么|bc|x×340x40，在abc內(nèi)，由余弦定理：|bc|2|ba|2|ca|22|ba|·|ca|·cosbac，即(x40)2x210000100x，解得x420.在ach中，|ac|420

16、，cah30°15°45°，cha90°30°60°，由正弦定理：，可得|ch|ac|·140.答：該儀器的垂直彈射高度ch為140m.6在abc中，tana，tanb.(1)求角c的大??；(2)假設(shè)abc最大邊的邊長(zhǎng)為，求最小邊的邊長(zhǎng)解析(1)c(ab)，tanctan(ab)1.又0<c<，c.(2)c，ab邊最大，即ab.又tana<tanb，a、b，角a最小，bc邊為最小邊且a，sina.由得，bcab·.所以，最小邊bc.7.如下圖，甲船由a島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15n mile/h，在甲船從a島出發(fā)的同時(shí)，乙船從a島正南40n mile處的b島出發(fā)，朝北偏東(arctan)的方向作勻速直線航行，速度為10n mile/h.(1)求出發(fā)后3h兩船相距多少海里？(2)求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近？最近距離為多少海里？(3)兩船在航行中能否相遇？試說(shuō)明理由解析以a為原點(diǎn)，ba所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在p