有關(guān)定積分問題的常見題型解析(全題型)

1、題型一利用微積分基本定理求積分 例1、求下列定積分：（1） o 3x3 一 x 1 dx （ 2）Jx 1x dx解：（1）因?yàn)閤3x2 x2= 3x2-X 1，所以1 3I i：3x - x 1 dx = I x1(2)因?yàn)?x V . x = x2 x，2-x<33,2x22所以<3壬192 丿4a l練習(xí)：（1）-a-a2 -x2-X2評(píng)注：利用微積分基本定理求定積分Kf f (x)dx的關(guān)鍵是找出F/(x) a二 f （x）的函數(shù) F（x）。如果原函數(shù)不好找，則可以嘗試找出畫出函數(shù)的圖像, 其面積。題型二利用定積分求平面圖形的面積圖像為圓或者三角形則直接求例2如圖，求直線y

2、=2x+3與拋物線y=x2所圍成的圖形面積。有關(guān)定積分問題的常見題型解析（3）；.4 x2利用微積分基本公分析：根據(jù)求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算，找到被積函數(shù)得一個(gè)原函數(shù)，式代入求值。分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求出面積。 為了確定出被積函數(shù)和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。、 y=2x+3解：由方程組丿2 ，可得x1 =-1,x2 =3。故所求圖形面積為:.y =x3s= 2x 3dx -2dx =( x2 + 3x)-丄32評(píng)注：求平面圖形的面積的一般步驟：畫圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲 邊梯形

3、確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值之和。關(guān)鍵環(huán)節(jié)：認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；確定被積函數(shù)和積分上下限。知識(shí)小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：(1)由三條直線x=a、x=b (av b)、x軸，一條曲線y=f(x) ( f (x )>0)圍成的曲邊梯形 的面積：bS= a f (x dx，如圖 1。(2)由三條直線x=a、x=b (av b)、x軸，一條曲線y=f(x) ( f (x0)圍成的曲邊梯形的面積：bbS= f(X dx = J f (x dx，如圖 2。a°a平面圖形的面積：bs= f X 1-g x

4、 dx，如圖 3。a(3)由兩條直線x=a、x=b (av b)、兩條曲線Ak圖戈y= f x、y= g x ( fx_gx、圍成的題型三解決綜合性問題2 1例3、在曲線y = x (x>0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及 x軸所圍的面積為-°12試求：(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過(guò)切點(diǎn)A的切線方程。分析：設(shè)出切點(diǎn) A的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程，然后利用定積分求出所 圍成平面圖形的面積，從而確定切點(diǎn)A的坐標(biāo)，使問題解決。設(shè)切點(diǎn)A ( xo,y°),由y ' = 2x，過(guò)A點(diǎn)的切線方程為yy0 = 2x0（x-xo）,即 y= 2x°x Xo令y= o,得x=空。即C(竺,o)o2 2設(shè)由曲線和過(guò) A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為 S, S= S曲邊AOB S .abc。S曲邊.AOB =x2dx =】x33X。1 1 x 1S MBC = I BC I I AB 丨=（X。 ） X。2 = X。3 ,22241 3 1 3 13 1即：S= -X-3 -X-3 = -X-3 = - o3 41