“集合與邏輯”教學研究

1、專題講座高中數(shù)學“集合與邏輯”教學研究張鶴北京市海淀區(qū)教師進修學校第一部分集合、對“集合”教學知識的深層次理解集合概念及其基本理論，是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎.一方面，許多重要的數(shù)學分支，如高等數(shù)學中的數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用.在高中數(shù)學中，集合的初步知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎，這就是把它安排在高中數(shù)學起始章的原因.集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言.本模塊對集合的定位是將集合作為一種語言來學習，使同學們在學習過程中體會用集合語言表達數(shù)

2、學內(nèi)容的簡潔性、準確性，學會使用最基本的集合語言表示有關的數(shù)學對象，并能在自然語言、圖形語言或集合語言之間進行轉(zhuǎn)換，發(fā)展運用數(shù)學語言進行交流的能力 .（一）知識結(jié)構圖元素與集合關系集合的表示 一 一一 一 一 一（二）集合在高中數(shù)學知識體系中的地位和作用為了更好的把握“集合”的要求，首先需要明確整體定位. 標準對“集合”這部分內(nèi)容的整體定位如下：集合論是德國數(shù)學家康托在 19 世紀末創(chuàng)立的，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言 . 使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數(shù)學的一些內(nèi)容. 高中數(shù)學課程只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言表示有關的數(shù)學對象，發(fā)展運用數(shù)學語言進行交流的能力

3、.集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言. 在高中數(shù)學課程中，它也是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎， 因此把它安排在了高中數(shù)學的起始章 教科書從學生熟悉的集合 （有理數(shù)的集合、直線或圓上的點集等）出發(fā)，結(jié)合學生身邊的實例引出元素、 集合的概念， 介紹了表示集合的列舉法和描述法及Veen 圖； 類比實數(shù)間的相等、 大小關系， 通過對具體實例共性的分析、概括出了集合間的相等、 包含關系； 針對具體實例， 通過類比實數(shù)間的加法運算引出了集合間“并”的運算，并在此基礎上進一步擴展，介紹了“交”的運算和“補”的運算. 這里采用類比方式處理集合間的關系和運算的目的在于體現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，滲透數(shù)學學習的方法.適當?shù)匾?/p>

4、入集合知識是在中學數(shù)學教材中滲透近代數(shù)學思想的基礎. 這里“滲透” 的意思是， 學習與中學數(shù)學內(nèi)容相關的集合語言， 使中學數(shù)學內(nèi)容表述更加準確， 邏輯更加清楚，以幫助學生正確的理解和運用中學數(shù)學知識 . 應注意，在中學不可能用集合的理論嚴格地建立中學數(shù)學體系 .（三）教學的重點和難點（ 1 ）集合的運算是這部分的重點因為對于交集、并集概念的理解及交集、并集的應用，無論是在知識上，還是在方法上，不僅對后面學習有直接的影響， 而且也是對前面所學知識：元素與集合、子集等概念的鞏固 . 教學中應從定義出發(fā)，從語言敘述，式子表達，及文氏圖去理解；可以從具體例子入手，從初中的數(shù)學知識，如圖形的分類、數(shù)的種

5、類去理解. 在求兩集合的并集時，應注意集合中元素的互異性.（ 2 ）集合的包含關系和屬于關系是這部分的難點二、“集合”的教學策略（一）如何在教學中滲透集合與簡易邏輯的數(shù)學思想與方法？理解集合概念的本質(zhì)，把握集合的思維特征是“集合”教學的重要任務 .在高中階段， 我們是把集合作為一種語言來看待的 . 它是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，可以簡潔、準確地表達數(shù)學內(nèi)容. 通過集合的教學，一方面我們要讓學生能夠掌握這種語言，會用集合語言描述數(shù)學問題；另一方面，要讓學生能夠識別集合語言， 要能夠讀懂別人用集合語言描述的數(shù)學問題 .集合的思維特征是什么呢？無論是集合的含義，還是集合的關系、還是集合的運算，都是通過研究

6、元素與集合的關系來進行的， 這也就告訴我們， 集合這種語言的特點， 要從元素與集合的關系來掌握并運用這種語言 . 集合之間的關系體現(xiàn)在元素與集合的關系的： 如子集關系、如相等集合的關系、如真子集的關系，無一不是體現(xiàn)在元素與集合的關系上.如我們常說的集合的三條性質(zhì)：確定性，互異性，無序性，都是針對元素與集合的關系的 : 給定的集合，它的元素必須是確定的 集合的確定性；一個給定集合中的元素是互不相同的 集合的互異性；集合與組成它的元素的順序無關 集合的無序性.從集合的關系來看，可以分為兩類：即包含關系和非包含關系 .如：“對于兩個集合A B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A 為

7、集合 B 的子集” . 這里說的就是元素與集合的關系 .兩個集合的運算的結(jié)果是集合 . 而這種運算的定義依據(jù)的仍然是元素與集合的關系 .如：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：An B= x| xC A且 xC B可以看出，只有從元素與集合關系的角度來認識集合，理解集合，才能夠真正掌握集合的本質(zhì)，才能夠?qū)@種現(xiàn)代數(shù)學的基本語言運用自如 .（二）在”新課標”中的處理特點1新課標的教學目標要求與大綱版的目標要求的比較：新課標的教學目標要求：（ 1 ）集合的含義與表示 通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系 能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法

8、或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用 .（ 2 ）集合間的基本關系 理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集 . 在具體情境中，了解全集與空集的含義 .（ 3 ）集合的基本運算 理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集 . 理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集 . 能使用 Venn 圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用 .大綱 的目標要求是： 理解集合、 子集、 交集、 并集的概念. 了解空集和全集的意義了解屬于、包含、相等關系的意義. 掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合 .比較：對于集

9、合、子集、補集、交集的概念、含義， 大綱都屬于理解層次；但標準對于屬于、包含、相等關系由了解提升為理解層次.2集合的教學內(nèi)容在課標下的處理特點：（ 1 ）原大綱的實驗教材注意聯(lián)系舊有知識引入集合概念，而新課標的實驗教材既注意舊有知識引入集合概念，也注意聯(lián)系學生的現(xiàn)實生活引入集合概念.（ 2 ）重視運用集合的語言回顧過去學習過的知識. 新課標的實驗教材注意用集合的語言表示一元二次不等式的解集. 也注意用集合的語言表述直線與平面的關系 .（三）教學中的幾個思維要點（ 集合的概念集合的創(chuàng)始人康托曾這樣來描述集合，“把一些確定的，彼此有區(qū)別的，具體的或想像的東西看作一個整體，便叫做集合. ”這個描述，

10、康托自認為是給集合下了一個定義，其實不然 . 因為諸如整體、 總體、 總合、 集合等等概念都是等價概念. 康托使用集合的等價概念（整體） 來給集合下定義， 因此這是一個同義的反復， 不能算是合乎邏輯的非重言式的定義一些邏輯學家想用更原始、更基本的概念給集合下定義，但這個愿望迄今還沒有實現(xiàn).近代公理集合論者，都放棄了對集合下定義的想法，把集合作為原始的不定義概念請大家注意，不同的教材對集合概念會有不同的描述.請大家最好不要作過細的研討 .對集合運算的一些性質(zhì)，教材也只是讓學生直觀地去理解，而不進行邏輯地證明理解集合概念有兩條最為重要：(1)把一些對象看作一個整體；(2)對一個對象，能夠判別它是否

11、屬于這個集合.至于“無序性”，“同一個元素只列舉一次”等，在學習表示法時，要再向 學生說明.在理解集合的基礎上，讓學生熟記一個元素屬于和不屬于一個集合的符號表示：a A, a A空集：由方程的無解引入空集概念.在集合的運算時，再突出空集的作用.本教材中將集合分為兩類：有限集和無限集，空集歸入有限集.有的教材把空集單獨列成一類 .2 .集合之間的關系教學中，主要通過實例讓學生了解子集和真子集的概念以及符號表示，然后給集合相 等下定義.這里，我們對相等概念再作一些分析.如果給定兩個集合 A和B,對任意一個對象x,如果xWA則有xw B,并且如果xw B則 有x A,我們就可斷定 A=B.例如A =

12、 x | x2-1 = 0和B = x | x| = 1,它們所描述的都是集合-1 , 1,因 此 A = B.在集合論中，通常把上述性質(zhì)叫做集合的外延原則，即“性質(zhì)不同，但外延(集合)相同”.3 .集合的運算對學生來說，集合運算是一個全新的概念.要通過集合運算擴展學生對“運算”概念的理解.教學的重點是集合的交、并、補運算的定義.定義這三個運算時，最好不用或、且、非這三個聯(lián)結(jié)詞，特別不要用或，否則容易引起混亂（四）典型例題的教學例1.已知R=工="+ 1/£加），£=1|工二% + 2*E取C 二1 | # = 5浮+ 3,總它 0二了 | 彳二 5科 + 4*

13、w N若as&EeB逐eC, yD，則（）A. Q?EAteDteDtyA b.儀C.d. 門4口戶門思路分析：££乂，則存在也”使得看田+1盤:電+1=5（57 + %）+15, +2川 e M " =（5附+1），=5（5/ + 2用）+1E幺同理可得：，： 門| =（一用 =5（加”成+1）+43 ,戶=（加+娟=5（訝+的+今+"且選a.通過本題的分析，可以看出：研究元素與集合的關系，需要正確理解集合的含義，對 整數(shù)集的分類是集合中常見的問題，通過此題認真體會元素與集合關系的判斷思想例2.已知集合A=x I ax2-3x+2=0 , x

14、C R,若集合A中元素中至多只有一個，求實數(shù) a的取值范圍思路分析：集合 A的元素是方程ax2-3x+2=0的根，而此方程不一定是一元二次方程， 要注意討論字母a.2a=0時，方程為-3x+2=0,解得x = 3 ,符合題意.aw0時，方程ax2-3x+2=0為一元二次方程.集合A中至多有一個元素即表明一元二次方程無根或有兩個相等的實數(shù)根9即=9-8a W0,解得 a> 89綜合可知實數(shù) a的取值范圍是：a=0或a> 8 .通過本題的分析，可以看出：集合A為數(shù)集，其中元素 x表現(xiàn)為方程組的解，求集合中元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題.解析1很好的體現(xiàn)分類討論思想方法的運用，考查了

15、對集合中元素的互異性及對空集含義的理解例3.設集合 P=x-yfx+y若尸二°,求xj的值 及集合產(chǎn)、。.思路分析：集合P、Q都是列舉法表示的，意味著兩個集合中元素相同，但需要注意集合本身的元素具有互異性. F:。且。E。0 £ F .(1)若o或工-7=0,則/一從而。二卜十九Q°),與集合中元 素的互異性矛盾，且工-yM ° ；(2)若初二口,則工二?；蚨?quot;0時，,與集合中元素的互異性矛盾，；當工=0時,曲,。=倘一20,4一"乙“二 一了 由尸=0得由得丁 二 T ,由得了=1,x = 0 （x = 0“=-1 或卜=1,此時

16、產(chǎn)= Q = LT0.通過本題的分析，可以看出：在考察集合之間關系時，要注意集合本身的性質(zhì)，特別 是集合中元素的互異性和無序性容易被忽視 .例4.設方程工+px-12 = 0的解集為乂，方程x +<?x+r= 0的解集為B ,且 月羊3,RUB = -，4）, RflA二卜到，求p耳/的值.思路分析：p, q, r是一元二次方程的系數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關系，只需求出集合A,B所含的元素即方程的根.=且一3.由血印+"”12川P = -12 =43.4又刈八43-3e阻42.4 6 Bt：t 3=-3/+必+二啃兩個相等的實根-3二” 6/= 9通過本題的分析，可以看出：本題考查了

17、集合的相等及交集，并集的概念，我們在解 題時常常根據(jù)集合間的運算結(jié)果或集合的關系分析集合中所含的元素例5.（i）設，=卜工-2了-* =。1, B=卜卜工二1）,若乂UB =兒則實數(shù)d的取 值集合為二,（2）已知集合洶二（巾 a =N = 巾工-1=0）,若財nM="，則實數(shù)d的思路分析:B =41(1)由已知，集合一卜功,a,-AJB = A得B匚幺，分B二夕和 兩種情況.當時，解得a的取值頭r11 O.T h 綜上可知a的取值集合為L刃.當N二§時，解得a=o；財=0即"riNH/：4 =。舍去，1卜白二J Q4二±10時，解得 a綜上可知a的取值集

18、合為L-1.通過本題的分析，可以看出：(1)要重視以下幾個重要基本關系式在解題時發(fā)揮的作用：WqA ABqB. RUB", RUS"；月口加力=八乂UC/ = U ； 工nB30匚3 TUB二BOR匚3等.(2)要注意夕是任何集合的子集.但使用時也要看清題目條件，不要盲目套用.例6.已知集合M 二上,“十1,一3,西= ”3,2” 1,1+1),若財C1N二卜3), 求a的值.思路分析：:w-l .儀-3二一3或22一 1二一3當。一3二一3時，即以二0,此時財二口卜3,M二卜3,7,1,則二-3,T不符合題設條件，舍去當2a一 1二時，即。=一1此時時二位1-3),及二卜

19、3M2)符合題設條件所以口二一1為所求.通過本題的分析，可以看出：已知-3),則數(shù)-3在集合N,可從-3應為三元素之一入手判斷三、學習目標的檢測(一)對知識掌握狀況的檢測本章檢測要抓住重點，即抓住本章的基本概念及其相互關系進行檢測.本章的基本概念是集合、元素、屬于、包含、子集、并集、空集、全集、補集，檢測時應該重點考查學生對 這些基本概念的理解和運用情況 .小、兒苗人1 -1 <1 <例1.設集合2)川工歸例，若則七的取值范圍是A.:門B. T"c. I歸H提示：可用數(shù)軸表示集合M,N,選D.例2.如果集合A=x| ax2+2x + 1=0中只有一個元素，則 a的值是 （

20、）A. 0 B. 0 或1 C. 1 D. 不能確定提示：若"0 ,則集合A的元素為 2'若。=1 ,方程有兩個相等的實數(shù)根，集 合A的元素只有一個 工二一1 .選B.例3.已知集合A= I. - 1 , 3, 2ffl -1）,集合B=（3, / .若B匚A,則實數(shù)加=提示：由 /=2加一二相二,經(jīng)檢驗，加二1為所求.（二）對技能和能力狀況的檢測列舉法、特征性質(zhì)描述法、圖示法是表示集合的三種基本方法，檢測時要考慮學生對 這些方法的理解和運用的能力 .例4.如圖，U是全集，M P、S為U的3個子集,A.b. mC.U提示：陰影中任-元素X有IE",且但了任S, .工

21、E.S .由交集、并集、補集的意義.武何0尸方。/）答案選d.（三）對學習過程的檢測注意考查學生是否能夠用集合的語言表述過去所學習過的數(shù)的集合、式的集合、圖形的 集合，是否對過去學習過的知識加深了認識例5.對集合A與B的并集AU B的理解，不僅要會用通俗語言表達，還要學會用符號 表示，即二一I之-印.學習時，可以利用下面的 Venn加強對兩個集合的并集的直觀理解:例6.交集定義為“由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組成的集合”，我們也可以說“交集是由集合 A與集合B的所有公共元素組成的集合”.在給出記法AnB = WkcA,且xeB時，要與并集的記法AIJB =k|xeA,或xeB)進行比較

22、，要認識到“并”、“或”、記號“u”之間的對應關系，以及“交”、“且”、 記號“n”之間的對應關系.同樣地，要充分發(fā)揮Venn圖在表示兩個集合的交集時的作用， 要認識到公共部分與交集之間的關系.圖1表示集合A與集合B的公共部分就是 A,所以，An B= A圖2表示集合A與集合B的公共部分不是空集，但不是 A,也不是B,所以,C CAn B- A,且 An B- B;圖3表示集合A與集合B的公共部分是空集，所以 An B= 0 .（四）對情感態(tài)度價值觀的檢測讓學生通過舉例，說明概念與符號的意義；通過圖示方法對抽象概念的直觀感知，讓學生逐步領會形式化的數(shù)學語言在抽象性、概括性方面的作用.反之，形式

23、化的數(shù)學語言又可以在一般的意義上反映更廣泛的數(shù)學對象.在測試中要注意考查學生是否領悟符號化思想和數(shù)形結(jié)合思想在研究和解決數(shù)學問題中的作用/=餅產(chǎn)/（砧工£竹,八%二妙=le螞 ,給出下列四個判斷:若PnM=0,則了c/（峭二0若則 /"（物=0若Pu加二R ,則尸）U螞=R ；若Pu加h R ,則了（？）u J（陽* R其中正確判斷有（）A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個.思路分析：本題考查分段函數(shù)，單值函數(shù)的概念和集合的運算等知識.求解時對錯誤的要能舉出反例說明，對正確的要能進行說理，逐個進行推理，最后得出結(jié)論P其中P、M為實數(shù)集R的兩個非空子集J(B

24、=OV=/a)，iwF)=x|x ", /(曲= &l”/KUcM=-x|x，若 Pn"=0,則"Be"峭=0不成立，反例： P=1,2,3,M=-1,-2若則必Mm p=0（不能有其他公共元素，否則與f（x）是函數(shù)矛盾）:. J （尸）G人陰* 0成立.故判斷正確若 PuM二 R,則= K不成立，反例：P=x|x w 0,M=x|x>0當Pu/mK時，若0PUM根據(jù)函數(shù)f(x)定義易知0f(P) Uf(M).若存在非零的 x0?PU M,易知 x 01 f(P),當 x0f(M)時，有 x01 f(P) U f(M);當 x0Cf(M)時

25、，易知-x 0 CM,由于-x W0,所以-x。名巳 從而-x。任f(P).又因為x0M所以-x。任f(M),因此-x。任f(P) uf(M).這說明當FuAfHK時，一定有 母)。八M"R .故判斷正確.綜上所述，判斷正確，錯誤.(五)檢測方式1 .課堂練習與作業(yè)檢查；2 .撰寫數(shù)學學習體會短文：學校生活中的集合；3 .舉行一次有關集合知識的小測驗.第二部分 常用邏輯用語一、對“常用邏輯用語”教學知識的深層次理解根據(jù)課標的理念，選修課內(nèi)容的確定是要滿足學生的興趣和未來發(fā)展的需求，為 學生進一步學習，獲得較高的數(shù)學額素養(yǎng)的基礎具體地說，正由于正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代公民應具備的基本素

26、質(zhì)，從事各項工作、進行思議交流，都需要正確運用邏輯語言表達自己的思想，融入社會，服務社會(一)知識結(jié)構圖(二)常用邏輯用語在高中數(shù)學知識體系中的地位和作用課標要求在選修系列 1和系列2的開篇第一章就安排了 “邏輯語言”，并明確要求：1 . 了解命題及其逆、否、遞否命題；理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會 分析四種命題的相互關系；2 .通過實例，了解邏輯聯(lián)詞戢”、目"、等”的含義.3 .通過生活和數(shù)學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義，并能正確地對含有一個量詞的命題進行否定 .通過學習以上內(nèi)容，要體會邏輯用語在數(shù)學表述和論證中的作用，并用這些邏輯用語 準確地進行論證，更

27、好地進行交流；要體會并掌握這些邏輯用語的意義和用法，糾正出現(xiàn)的邏輯錯誤，體現(xiàn)用之表達數(shù)學內(nèi)容的準確、簡潔性，提高數(shù)學素養(yǎng)為了更好的理解整體定位，需要明確以下幾個方面的問題：(1) “常用邏輯用語”和“簡易邏輯”存在定位上的區(qū)別“常用邏輯用語”的課程目標是幫助學生正確使用常用邏輯用語，更好的理解數(shù)學內(nèi)容中的邏輯關系，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數(shù)學內(nèi)容，更好地進行交流，避免在使用過程中產(chǎn)生錯誤.高中數(shù)學課程中，學“常用邏輯用語” 不是為邏輯學和數(shù)理邏輯奠定基礎， 這與 “簡易邏輯”的目標不同，這一點需要老師們特別注意 .（ 2 ）“常用邏輯用語”應通過實例理解，避

28、免形式化的傾向常用邏輯用語的教學不應當從抽象的定義出發(fā)，而應該通過數(shù)學和生活中的豐富實例理解常用邏輯用語的意義，體會常用邏輯用語的作用 . 事實上，在高中階段，沒有必要形式的理解常用邏輯用語在“邏輯學”和“數(shù)理邏輯”中的確切含義. 重點是理解常用邏輯用語在認識和表達數(shù)學中的作用 .（ 3 ）“常用邏輯用語”的學習重在使用對于“常用邏輯用語”的學習，不僅需要用已學過的數(shù)學知識為載體，而且需要把常用邏輯用語用于后繼的數(shù)學學習中. 因此，“常用邏輯用語”的學習重在使用，在使用中不斷地加深對于常用邏輯用語的認識.（三）教學的重點和難點重點： 充分條件、必要條件、充要條件充分條件、必要條件、充要條件反映

29、了數(shù)學知識內(nèi)在的邏輯關系，數(shù)學中重要的命題、定理都是判定定理、性質(zhì)定理，或者是從不同角度反映同一事物的等價刻畫 .難點：量詞的否定量詞的否定是學習數(shù)學和掌握數(shù)學內(nèi)容的一個難點，雖然我們這兒只涉及到一個量詞的命題及其否定，它為我們進一步學習多個量詞同時使用奠定基礎.二、“常用邏輯用語”的教學策略（一）教學中需要注意的問題1、關于充分條件、必要條件、充要條件的教學，一定要與同學學過的知識緊密聯(lián)系起來， 幫助學生用這些邏輯用語揭示學過內(nèi)容內(nèi)在的邏輯關系； 并幫助學生養(yǎng)成習慣， 在進一步的數(shù)學學習中， 學會用這些邏輯用語揭示將要學的內(nèi)容的邏輯關系； 不斷地體會判定定理、性質(zhì)定理、等價條件與充分條件、必

30、要條件、充要條件之間的聯(lián)系 .2、“常用邏輯用語”教學的基點是常用的邏輯用語，不是簡易邏輯的教學，也不是數(shù)理邏輯初步的教學 . 這是“標準”與“大綱”定位的一個區(qū)別 . 即使在大學數(shù)學教學中，除了個別專業(yè)，也不需要進行簡易邏輯和數(shù)理邏輯初步的學習 .3、在“量詞”的教學中，只講由一個量詞組成的命題及其否定. 對于多個量詞組成的命題是大學數(shù)學學習的內(nèi)容. 在教學中要特別強調(diào)，用具體的實例來講解這樣的命題及其否定 . 不要形式的去討論由量詞組成的命題及其否定.4、在“命題”的教學中，盡量使用數(shù)學中的命題，并且其條件和結(jié)論是清楚的，不去討論條件和結(jié)論不清晰、有歧義的命題 .5、在教學中應注意命題與條

31、件的差異，命題的基本特征是可以判斷真?zhèn)?，而條件無法判斷真?zhèn)?，例如：?a>5”是條件而不是命題，a僅僅是參數(shù)，我們無法判斷“a>5”是否正確 . 用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”既可以聯(lián)結(jié)命題，也可以聯(lián)結(jié)條件.6、在“邏輯聯(lián)結(jié)詞”的教學中，只要求“合成”，不要求“分解”，即只討論用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個命題（或條件），不討論復合命題的分解.（二）教學中的幾個要點（ 1 ）如何認識“命題”的含義對命題的認識我們不從一般的定義出發(fā)，而是通過實例了解“命題”，這些實例都能清晰地分辨出組成這個命題的條件和結(jié)論，并且能判斷真假.例如：若一個四邊形是矩形，則這個四邊形是平行四邊形三角形內(nèi)角和等于

32、 18 0°. x>3.分析： 明確的給出了條件和結(jié)論， 并能判斷真假. 雖然沒有明確的給出條件和結(jié)論，但是能清晰地分辨出組成這個命題的條件和結(jié)論， 即如果三個角是一個三角形的內(nèi)角， 則這 三個角的和等于1 8 0°.不能判斷真假，所以它不是一個命題.（ 2 ）如何認識“了解命題的逆命題、否命題與逆否命題”以及“會分析四種命題的相互關系”的含義分析：“了解命題的逆命題、否命題與逆否命題”是指：對給定的具體命題，可以寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并可以判斷出它們的真假.“會分析四種命題的相互關系”主要包括兩部分內(nèi)容:第一，通過實例的分析，總結(jié)出表示四種命題之間的基本

33、關系的圖示第二，知道原命題與其逆否命題是同真同假的，原命題的逆命題與原命題的否命題是同真同假的，通常我們說他們是相互等價的.(3)如何認識“理解必要條件、充分條件與充要條件的意義”可以從以下兩個方面來把握標準的要求：第一、通過對具體實例中條件之間的關系的分析，理解充分條件、必要條件和充要條 件的意義.例如，通過分析下列條件 p與q之間的關系，來理解必要條件的意義 .p：四邊形是正方形，q :對角線相互垂直平分.分析：“若四邊形是正方形，則對角線相互垂直平分”是一個真命題，它可以寫成“四邊形是正方形”=“對角線相互垂直平分”即 p : q.總結(jié)：“若p則q”為真命題是指：當 p成立，q一定成立.

34、換句話說，p成立時一定 有q成立，即p =q ,這時，我們就說q是p的必要條件.p=> q可以理解為一旦p成立，q必須要成立，即q對于p成立是必要的.也就是說, 只要p成立，必須具備條件 q.第二，通過具體實例理解充分條件、必要條件和充要條件在解決和思考數(shù)學問題中的 作用 .在數(shù)學中，尋求充分條件是一件很重要的事情. 特別是在引入新的數(shù)學對象后，常常需要判斷一個對象是不是我們引入的新對象.例如：在引入平行四邊形后，就需要尋找判定一個圖形是不是平行四邊形的條件，一組對邊平行且相等就是判定一個四邊形是平行四邊形的充分條件. 用命題形式表達就是：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.在引入方

35、程的解的概念后， 需要尋找判定方程有解的條件. 像這些條件都是充分條件對于區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù)f(x) ， f(a) f(b)<0 就是判定方程f(x)=0 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有解的充分條件. 用命題形式表達就是：對于區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù) f(x) ，若 f(a) f(b)<0 ，則方程 f(x)=0 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有解 .通常我們把上面的命題稱之為判定定理 . 判定定理中的條件是給出判定一個事物的充分條件 .尋求必要條件也是數(shù)學中一件很重要的事情. 在數(shù)學中， 常常要確定一個對象的某些性質(zhì) . 特別是在引入新的數(shù)學對象后，常常需要研究這個對象具有什么性質(zhì).例如：在

36、引入平行四邊形后，就需要研究平行四邊形所具有的性質(zhì)；對角線互相平分是平行四邊形的一個性質(zhì). 用命題形式表達就是：平行四邊形的對角線互相平分；在引入連續(xù)函數(shù)的概念后， 就需要研究連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等. 有界、取到最大最小值等是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 用命題形式表達就是：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界、取到最大值和最小值 .通常我們把上面的命題稱之為性質(zhì)定理 . 性質(zhì)定理中的性質(zhì)是給出判定一個事物的必要條件，當然，它僅僅是從某些方面反映了事物的特征. 因此，必要條件可用來區(qū)別一個事物與另一個事物 .在數(shù)學上，找到一個“事物”的充分必要條件是特別重要的一件事情，它可以幫助我們從不同的角度，全面地反映同一個“事

37、物”的面貌. 在歷史上有很多非常重要的充分必要條件的結(jié)果.例如:勾股定理.勾股定理中的“是直角三角形的充分必要條件，有了這個條件，我們就可以通過邊的長度之間的關系來研究幾何中的直角三角形兩條直線垂直的充要條件 .兩條直線的方向向量的數(shù)量積等于零是兩條直線垂直的 充分必要條件，有了這個條件，我們就可以利用向量的代數(shù)運算來研究幾何中的垂直問題.一元二次方程有解的充分必要條件.判別式A=i3-4ac>0是一元二次方程d+bx+c =0)有解的充分必要條件，有了這個條件，我們就可以定性地研究一元二次方程的解.一個事物的充分必要條件會給我們討論問題帶來很大的方便，給我們提供了全面刻畫 事物的另外一

38、個角度，甚至可以幫助我們開拓新的研究方向(4)如何認識“通過數(shù)學實例，了解“或”、“且”、“非”的含義”可以從以下五個方面來把握標準的要求：第一，認識邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且"、“非”是構造新命題的邏輯用語，利用邏輯 聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”聯(lián)結(jié)具體命題來構造新命題，通過分析這樣構造出的新命題 的真假，來理解“或”、“且”、“非”的含義 例如：對下列各組命題，利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構造新命題，并判斷新命題的真假.(1) p： 12是3的倍數(shù)，q： 12是4的倍數(shù)；(2) p：兀 >3, q：兀 V 2.分析：由(1 )可得新命題：“ 12是3的倍數(shù)且12也是4的倍數(shù)”；由(2)

39、可得新命題：“兀大于3且兀小于2” .在得出的新命題中，“12是3的倍數(shù)且12也是4的倍數(shù)”是真命題，“兀大于3且兀 小于2”是假命題概括：從上述例子可以看出，可以用“且”聯(lián)結(jié)兩個命題p和q,構成一個新命題“ p且q” .當兩個命題p和q都是真命題時，新命題"p且q”就是真命題；當兩個命題 p和q 之中，至少有一個命題是假命題時，新命題“ p且q”就是假命題.第二，了解在數(shù)學中也可以用邏輯連接詞“且”與“或”聯(lián)結(jié)一些“條件”，形成一 個新的條件.例如：“工:>3”且“表示的是“ 3<i<5" ； “工<0”或表 示的是“或者kO,或者工>5第三

40、，只要求用“或”、“且”把兩個命題合成一個命題，不要求要把一個“復合” 命題進行“分解”.例如：“高一一班全體同學考試合格”，這是一個非常明了的命題，實在沒有必要說 成“高一一班的張三考試合格且李四同學合格、且，”.標準不要求一般的討論“命題的否定”，.標準只要求能正確地對“含有一個量詞第四，“非”的含義就是對“命題的否定” 而要求通過具體的實例體會“命題的否定”的含義 的命題”進行否定例如：所有的正方形都是矩形；該命題的否定是：存在一個正方形不是矩形.顯然原命題是真命題，其否定是假命題 .所有的一元二次方程都有實數(shù)解；該命題的否定是：存在一個一元二次方程沒有實 數(shù)解.顯然原命題是假命題，其否

41、定是真命題 .1至少存在一個銳角 a使得sin fl! = 2 ;該命題的否定是：每一個銳角 4都使得1sin A * 2 .顯然原命題是真命題，其否定是假命題.第五，通過一些具體的實例來理解命題否定的作用命題的否定常?？梢詭椭覀冏C明一些結(jié)論例如：在中，為了說明原命題是假命題，只需要找到一個無實數(shù)解的一元二次方程即可 . 這就幫助我們證明了原來的命題是錯誤的 . 這是數(shù)學中常用的一種思考和解決問題的方式 .( 5 )如何理解新增內(nèi)容“量詞”的要求第一，結(jié)合具體命題來理解全稱量詞、存例量詞的意義，了解全稱量詞和存例量詞例日常生活和數(shù)學中的各種表達形式.例如：可以結(jié)合下面的具體命題來理解全稱量詞

42、的意義 .(1) 所有正方形都是矩形；(2) 每一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式；(3) 一切三角形的內(nèi)角和都等于1800(4) 有些三角形是直角三角形；(5) 如果兩個數(shù)的和為正數(shù)，那么這兩個數(shù)中至少有一個是正數(shù)；(6)存在一個實數(shù)x,使得x2+x-1=0例以上命題的條件中，“所有”、“每一個”、“一切”等都是例指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這些詞都是全稱量詞; “有些”、“至少有一個”“存例”等都表示個別或一部分的含義，這些詞都是存例量詞.通常，全程量詞的表達形式有“所有”、“每一個”、“一切”“任何一個”“任意一個”等，存例量詞的表達形式有“有些”、 “至少有一個” “存例” “有一個”

43、、 “至少” 等.第二，通過生活和數(shù)學中的豐富實例，體會“量詞”例數(shù)學中和日常生活中的作用 .全稱量詞、 存例量詞是數(shù)學中和日常生活中使用頻率很高的一種邏輯用語 . 大量的數(shù)學命題都要使用這樣的邏輯用語.例如，每一個等腰三角形的兩個底角相等，過直線外一點存例唯一的一條直線與該直 線平行，就使用了全稱量詞和存例量詞在大學的學習中， 對數(shù)列極限的概念的刻畫，就需要多次使用全稱量詞和存在量詞 于每一個數(shù)列儀J ,如果存在一個常數(shù) A ,對于任意（所有）的 ,存在一個N ,對 任意（所有）的n （n>N）,都有%一$<£ ,則稱A為數(shù)列4）的極限.在日常生活中， 這樣的例子也很多

44、.第三，標準只要求理解和掌握含有一個量詞的命題.不要求理解和掌握含有兩個或兩個以上量詞的命題.對于命題的否定，只要求對含有一個量詞的命題進行否定例如，對于北京市任何一所高中，都至少有一個學生能跳過1米5的高度.在這個命題中，有兩個量詞“任何一所”、“至少有一個”，對于這樣的命題，不要 求學生理解和掌握，也不要求對這樣的命題進行否定（三）例題分析例1給出下列命題：“若上。，則關于?+2x-t = 0的方程有實根”的逆命題；“若a>b,則2a>2b1”的否命題；“若 = B,則 AqB 的逆否命題；命題“訴R，若1二 °,則I，J全為0”的否命題其中真命題的序號是_思路分析：

45、首先寫出相應命題：若關于x的方程一+2工一上工。有實根，則上>0若心冽2y 2”-1；若乂C瓦則NUE.wR,若/ + y' 二 °,則見了不全為0分別判斷知：若關于 X的方程? +2x-i0有實根，則上:一1 ,故命題為假；a = Ofb=取2 ,命題不成立；由互為逆否命題同真同假，故可直接判斷原命題，知命題為真；由實數(shù)性質(zhì)知，命題不成立 .綜上知真命題序號為.點撥：（1）互為逆否命題同真同假，故可直接判斷原命題，此種等價性常被認為是 反證法理論基礎，盡管此說法不完全對.（2）“若9則g ”形式命題它的否定形式不等于否命題.否定形式是對命題結(jié)論的否定;否命題是將命題題

46、設、結(jié)論分別否定.例2若命題“，或g ”是真命題，命題“衣且?！笔羌倜}，則（）a.命題p是假命題b.命題q是假命題c.命題p與命題q真值相同d.命題p與命題“非q ”真值相同思路分析：要分清命題的構成，準確了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義? p或q為真，.二p或g中至少有一個為真.又？ “p且?！睘榧?，z. p，q中一真一假.綜上可知，答案為d.例3.寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假.（1） p: ¥ x e R, x2-x+ 4 > 0(2) q(3) r :R, x2+2x+2W0(4) s：至少有一個實數(shù) x,使x3+1=0.E-F：立、口，e 人 g靠1

47、£ R,P 7+1(.與之口思路分析：(1)4 ,這是假命題，因為42恒成立.(2)->。：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題.-iF Fx E R,X'+2l +2 >0,是真命題，這是由于予XER,/+2x+2n(x+l)'+l" > 。成立.(4) -iS：VxeR, +10,是假命題，這是由于 x=-1 時，x3+1=0.例4分別寫出由下列命題p和。構成的命題：“ p或q ”， “p且?！奔啊胺莗”， 并判斷其真假.P:矩形的對角線互相垂直；q ：函數(shù))二cos1的圖象是中心對稱圖形.思路分析：“ P或9” ：“矩形的對角線互相垂

48、直或函數(shù) y二cos1的圖象是中心對稱圖形”，此為真命題，因為 °為真命題.“p且q ” “矩形的對角線互相垂直且函數(shù)y二co$工的圖象是中心對稱圖形”，此為假命題，因為 P為假命題.“非P” “存在一個矩形，它的對角線不互相垂直”，此為真命題 可以看出：先確定p和。的真假，再確定“ p或q ”,(p且g ”及“非p ”，的真假.、學習目標的檢測（一）基本要求突出實例，淡化形式例如，對于一個具體命題，理解它的否定命題的真假并不難 . 但是，對于一般形式的命題“若 p 則 q ”，認識這個命題否定的含義就比較困難，因此不要求形式的討論這類問題.注重聯(lián)系，強調(diào)數(shù)學本質(zhì)在這部分內(nèi)容的檢測中

49、，應以學生已經(jīng)學過的數(shù)學內(nèi)容為載體，幫助學生學會正確的使用邏輯用語，加深對已學過的數(shù)學知識之間的邏輯聯(lián)系和數(shù)學本質(zhì)的認識 .例如，在充要條件的檢測中，可以勾股定理和直線斜率的刻畫為具體實例.勾股定理反映了三角形三邊之間的一種特殊關系 . 這種特殊關系是刻畫直角三角形的一個充分必要條件， 有了這個條件， 我們就可以通過邊的長度之間的關系來研究幾何中的直角三角形 .兩條直線的方向向量的數(shù)量積等于零是刻畫兩條直線垂直的充分必要條件，有了這個條件，我們就可以利用向量的代數(shù)運算來研究幾何中的垂直問題 .重視使用在今后教學過程中，要結(jié)合具體數(shù)學內(nèi)容不斷的使用常用邏輯用語，加深對相關數(shù)學內(nèi)容的認識 .例如，

50、在用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時，有這樣的結(jié)果：一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，如果每一點的導數(shù)都大于零, 則該函數(shù)為增函數(shù) .由上述結(jié)論可以知道“每一點導數(shù)大于零”是“函數(shù)為增函數(shù)”的一個充分條件. 所以上述結(jié)論可以作為一個判定函數(shù)單調(diào)性的定理. 那么，“每一點導數(shù)大于零”是否是“函數(shù)為增函數(shù)”的必要條件？以函數(shù)y=x3為例.我們知道函數(shù)y=x3是增函數(shù)，是否能保證“每一點導數(shù)大于零”？這是一個含有全稱量詞的命題.但是，我們知道y=x3在x=0處的導數(shù)等于零.這說明“函數(shù)為增函數(shù)”無法保證“每一點導數(shù)大于零” . 即“每一點導數(shù)大于零”只是“函數(shù)為增函數(shù)”的充分條件，而不是必要條件. 這個例子也說明了，如何對

51、含有全稱量詞的命題進行否定.（二）某些具體內(nèi)容的檢測要求命題及其關系的檢測第一、對于“命題以及命題的逆命題、否命題、逆否命題”的檢測要從具體實例出發(fā)， 不要形式化的討論.例如：已知命題“若 m>0,則關于x的方程x2+x-m =0有實數(shù)根”,試寫出它的逆命題、 否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假.第二、這部分檢測的重點應放在“充分條件、必要條件、充要條件的理解”上，對于 “充分條件、必要條件、充要條件”的檢測要求應該參照前面的具體要求與深廣度分析中的 相關部分.例如，J 的一個充分不必要條件是 ?A QJ B、»”口 C、工7 D、例如，下列“若p,則q”形式的命題中，p是

52、q的什么條件？若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等；若如二口，則4 = 口 ；若力二口，則函數(shù)是偶函數(shù)；若1=2,貝U F-3二57.在檢測中，應該注意在討論“充分條件、必要條件、充要條件”時，首先應該考慮命題是否是真命題.上述例子中，“若ab = 口，則口 = 0 "不是真命題，這時，我們需要判斷 “若 c=0,則曲二0”是不是真命題.由于它是真命題，所以 加二口是口 =0的必要條件.因此我 們不要去形式的討論“若 p則q”這種命題的充分條件和必要條件.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞的檢測第一、對于簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的教學，也要通過具體實例， 幫助學生了解它們的含義.例

53、如:a）尸：或是無理數(shù)，q： 0大于1,寫出“ P且?1 ”，“闞”，“非尸”的 形式，并判斷他們的真假.>0<0b）用p：工之一1-2表示實數(shù)滿足的條件，用 q：工口一工-2表示實數(shù)滿足的另一個條件.“非p”是否等于q?顯然，x=2不滿足條件p,也不滿足條件q.由于x=2不滿足條件p,所以x=2滿足條件 “非p” .因此，“非p”不等于q.這個例子有助于理解“條件”（命題）的“非”.在對“非”的學習中，最基本的性質(zhì)是“條件”（命題）和“條件”（命題）的“非”，不能同時成立.在檢測中，要注意一個條件（命題）和這個條件（命題）所確定的集合是不同的概念第二、檢測中只要求用這些邏輯聯(lián)結(jié)詞

54、作“合成”，不要求對復合命題“分解”.全稱量詞與存在量詞的檢測第一、量詞的檢測也需要通過實例，幫助學生理解全稱量詞與存在量詞的意義第二、檢測中只要求理解和掌握含有一個量詞的命題，對于含有量詞的命題的否定， 也只要求對含有一個量詞的命題進行否定.例如：對于給定命題“所有能被 3整除的整數(shù)都是奇數(shù)”，寫出它的否定命題.學生有如下的解答：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).有些能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).有些能被3整除的整數(shù)是偶數(shù).所有能被3整除的數(shù)不都是奇數(shù).并非所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù).這些解答都是正確的、 本質(zhì)上是一致的.有的老師在教學中， 要求學生寫出幾種不同的 解答形式，這是不必要的.也有

55、同學解答為：所有能被 3 整除的數(shù)都不是奇數(shù) . 這個解答是錯誤的互動對話【參與人員】張 鶴：北京市海淀區(qū)教師進修學校關 ?。罕本┦泻５韰^(qū)教師進修學校薛鐘?。罕本┦泻５韰^(qū)教師進修學校【互動話題】1在“集合”的教學中如何解決好初高中數(shù)學的銜接問題？提要：集合教學是高中數(shù)學的第一節(jié)內(nèi)容，不僅從知識上看，集合作為數(shù)學語言，是學生學習數(shù)學的基礎和工具， 而且從學習數(shù)學的角度看， 如何思考數(shù)學問題、 如何解決數(shù)學 問題，也是這部分內(nèi)容教學的重要議題，它為學生打好整個高中數(shù)學的學習基礎至關重要2在教學中如何落實“集合是作為一種數(shù)學語言來學習的”？提要：根據(jù)標準的要求，高中數(shù)學課程只將集合作為一種語言來學習。因此，學習集合初步知識的目的主要在于能使用最基本的集合語言表示有關數(shù)學對象， 發(fā)展運用數(shù)學語言進行交流的能力。 在教學中，可以將集合語言與自然語言及圖形語言進行比較， 并注意創(chuàng)設讓學生使用集合語言進行表達和交流的豐富情境和機會， 特別是在學習集合間的關系和運算時，要重視使用Venn 圖，以便學生在實際使用中逐漸熟悉自然語言、集合語言、圖形語言的各自特點，并能根據(jù)實際需要進行相互轉(zhuǎn)換，從中感受集合語言的意義和作用。3在集合的教學中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力？提要：研究集