隨機變量的數(shù)字特征方差學習教案

1、會計學1隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征(tzhng)方差方差第一頁，共22頁。2又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊(shj)10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：5甲炮射擊(shj)結(jié)果乙炮射擊(shj)結(jié)果乙炮 NoImage中心中心第2頁/共22頁第二頁，共22頁。3我們需要引進(ynjn)一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度)(XEX 偏離(pinl)的度量：平均(pngjn)偏離：()EXE X絕對值（不好研究）第3頁/共22頁第三頁，共22頁。4但是，絕對值（大 ） 平方（大)所以我們研究2()E XE X方差 定義(dngy) 設(shè)X是一隨機變量，

2、 2()()D XE XE X)()(XDX 稱稱為標準差或均方差(fn ch)。2()E XE X若若存在(cnzi)，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即方差實際上是一個特殊的函數(shù) g(X) =(X-E(X)2 的期望第4頁/共22頁第四頁，共22頁。() 1,2,kkP Xxpk其分布律為：21()()kkkD XxE Xp( ),f x其概率密度為2 ()()D XEXE X事實上，2()()( )D XxE Xf x dx22()() ()D XE XE X222() ()E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X

3、對于(duy)連續(xù)型隨機變量X，此外，利用數(shù)學(shxu)期望的性質(zhì)，可得方差得計算公式(常用)：第5頁/共22頁第五頁，共22頁。()E X*()0()1E XD XXX證明：，稱為 的標準化變量*1()()E XE X證：2*()0XD XX方差，記1 ()0E X2*2 ()() ()D XE XE X221() E X2() XE221第6頁/共22頁第六頁，共22頁。(0)1(1)()P XpP XpD X 。，求()E X0 (1) 1pp p2()E X220(1) 1ppp()D X所以 22() ()E XE X2pp(1)pp第7頁/共22頁第七頁，共22頁。() 1,2,

4、 0!keXP Xkkk的分布律為：()E X由上節(jié)例5已算得2 ()E X而22 ()() ()D XE XE X所以即泊松分布的均值與方差相等，都等于參數(shù)(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。設(shè)，求 第8頁/共22頁第八頁，共22頁。( , )() XU a bD X。設(shè)，求22()( )E Xx f x dx22()() ()D XE XE X1 ( )0 axbbaf x其他()2abE X上節(jié)例6已算得：21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：

5、X的概率密度為：第9頁/共22頁第九頁，共22頁。1 0( ) 0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()( )E Xxf x dx解：即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方(pngfng)，而均值恰為參數(shù)01xxedx00|xxxeedx 22()( )E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx22()() ()D XE XE X于是 2222第10頁/共22頁第十頁，共22頁。22, ,()()( )X Ya b cD aXbYca D Xb D Y綜合上述三項，設(shè)相互獨立，是常數(shù)，則( )0CD C 1. 設(shè) 是常數(shù)，則2()()XCD CXC D

6、X2. 設(shè) 是隨機變量， 是常數(shù)，則有,()()( )2()( ),()()( )X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XD Y3. 設(shè)是兩個隨機變量， 則有 特別，若相互獨立，則有4. ()0()1 ()D XP XCCE X且第11頁/共22頁第十一頁，共22頁。21. ( )( )0D CECE C22222222222. ()() ()() () () ()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223. ()()()()( ) ()( )2()( ) ()( )2()( )D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEY

7、E YEXE XYE YD XD YEXE XYE Y4. 證略。,()( )()( )() ( )0()()( )X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y當相互獨立時，與相互獨立故所以第12頁/共22頁第十二頁，共22頁。13E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)D(X-2Y)=D(X)+(-2)2D(Y) =3-2*2=-1=1+4*3=13第13頁/共22頁第十三頁，共22頁。( , )(),()Xb n pE XD X。設(shè)，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次試驗發(fā)生在第 次試驗不發(fā)生Xkpk011-pp12 nXXXX易知：11()()

8、()nniiiiE XEXE Xnp故知：()()(1)E XnpD Xnpp即，11()()()(1)nniiiiD XDXD XnppXnAp。解：隨機變量 是 重伯努利試驗中事件 發(fā)生的次數(shù)，設(shè)P(A)= 引入隨機變量：12,0 1nXXX于是相互獨立，服從同一分布：,0 1n pnp以為參數(shù)的二項分布變量，可分解為 個相互獨立且都服從以 為參數(shù)的分布的隨機變量之和。第14頁/共22頁第十四頁，共22頁。2( ,)(),()XNE XD X 。設(shè)，求XZ先求標準正態(tài)變量的數(shù)學期望和方差221( )2tZte的概率密度為：221( )02tE Ztedt于是 22()(),()()( )X

9、ZE XEZD XDZD Z因為，故2( )()D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2, 即正態(tài)分布的兩個參數(shù)分別是該分布的數(shù)學期望和方差。第15頁/共22頁第十五頁，共22頁。012121222222220111122(,) 1,2, ,(,)nnnnnniiinCC XC XC XN CXNinCCCCCCCC若且它們相互則它們的線性組合獨立是不全：為0的常數(shù) (1,3)(2,4),23( 4,48)XNYNX YZXYN如:，且相互獨立，則n獨立的 個正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布：第16頁/共22頁第十六頁，共22頁。2(22.40,0.03 ),X

10、N2(22.50,0.04 ),YN()(0)P XYP XY解：按題意需求2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.9772第17頁/共22頁第十七頁，共22頁。數(shù)學(shxu)期望 方差 分布率或 密度(md)函數(shù) 分布01分布分布 p p(1-p)二項分布二項分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布U(a,b)指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )EP,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 2第18頁/共22頁第十八頁，共22頁。19幾個與期望及方差(fn ch)有關(guān)的練習題1、設(shè)X的數(shù)學(shxu)期望E(X)=2,方差D(X)=4,則E(X2)= ；2、設(shè)X B(n,p),已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,則 n= ; P= ;3、