橢圓、雙曲線拋物線典型例題整理

1、橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例1 :已知橢圓的焦點是 Fi（0， 1）、F2（0,1） , P是橢圓上一點，并且 PF + PF2= 2F1F2，求橢圓的 標準方程。解：由 PF + PF= 2FiF2 = 2X 2= 4,得 2a = 4.又 c = 1,所以 b2= 3.2 2所以橢圓的標準方程是y4+£ = 1.2已知橢圓的兩個焦點為解：由橢圓定義知 c= 1,F1（ 1,0） , F2（1,0），且2a = 10,求橢圓的標準方程.25+ 24 b=詁5 1 =24.橢圓的標準方程為、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例：1.橢圓的一個頂點為 A

2、 2,0，其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標準方程. 解：（1）當A 2,0為長軸端點時，a 2 , b 1,2 2橢圓的標準方程為：1;41（2）當A 2,0為短軸端點時，b 2 , a 4,2 2橢圓的標準方程為：1;416三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。2 2求過點（一3,2）且與橢圓X + 7 = 1有相同焦點的橢圓的標準方程.94X2y29因為c2= 9 4= 5,所以設所求橢圓的標準方程為= 1.由點（一3,2）在橢圓上知 二+a a 5a22x y+ = 115+ 10例.解:¥5= 1，所以a2 = 15.所以所求橢圓的標準方程為a 5四、與

3、直線相結合的問題，求橢圓的標準方程。例:已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線x y 10交于A、B兩點，M為AB中OM的斜率為，橢圓的短軸長為2,求橢圓的方程.y2 1，xy 10由x22得 1 a 2x2y21axMX21a222，yMa解：由題意，設橢圓方程為2a2x 0,1 xM11a2koM血 Jy 1a2xma42 y21為所求.4五、求橢圓的離心率問題。例1 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.2解:2c ac-213- 3c22a , e.1. 3.33 '221例2已知橢圓xy1的離心率e求k的值.k 892由e 1，得k 4解：當橢圓的焦點在x軸

4、上時，a2 k8,2 2b 9，得 c k 1 .2當橢圓的焦點在y軸上時，2 a9 , b2k8，得 c21 k .亠 1 1k1剛5由e，得，即4k294滿足條件的k 4或k54六、由橢圓內的三角形周長、面積有關的問題例：1.若厶ABC的兩個頂點坐標 A 4,0) , B(4,0) , ABC勺周長為18,求頂點C的軌跡方程。解：頂點C到兩個定點A, B的距離之和為定值10,且大于兩定點間的距離，因此頂 點C的軌跡為橢圓，并且2a= 10,所以a= 5,2c = 8,所以c = 4,所以b2= a2 c2 = 9,故 2 2頂點C的軌跡方程為2x5 + 9二1.又A、B、C三點構成三角形，

5、所以 滬0.所以頂點C的軌 2 2 2 2x yx y跡方程為2_+ 9二1(y工0)答案：2_+舌二1(y工0)2 22.已知橢圓的標準方程是 爲+ y = 1(a>5),它的兩焦點分別是 R, F2,且F1F2 = 8,弦AB過點R，求 ABF a 25的周長._4a= 4 41.2 23設F1、Fa是橢圓令+ y = 1的兩個焦點，P是橢圓上的點， 且PF : PF2= 2 : 1,求厶PFF2的面積.941 1 PF1F2的面積為 PF PF2 =2X 4= 4.七、直線與橢圓的位置問題2x例已知橢圓y21 11，求過點P 1 ,丄 且被P平分的弦所在的直線方程.2 211解法一

6、：設所求直線的斜率為 k，則直線方程為y k x.代入橢圓方程，并整理得222 21 2k x由韋達定理得x1x222kdi1 P是弦中點， x1 x2 1 .故得k2所以所求直線方程為 2x 4y 30 .1 1解法二：設過P 的直線與橢圓交于 Axj,力、B x2, y2 ,則由題意得2 22xl2y11,222y21,2%X21,*y21.2 2一得x x?2 2y1y20 .2將、代入得y1 y21丄，即直線的斜率為1捲X222所求直線方程為2x 4y 30 .八、橢圓中的最值問題2 2例橢圓 1的右焦點為F，過點A13，點M在橢圓上，當 AM 2MF為最小值16 12時，求點M的坐標

7、.1解：由已知：a 4 c 2 .所以e，右準線I: x 8.2過A作AQ I 垂足為Q 交橢圓于M，故MQ 2MF 顯然AM 2MF的最小值為 AQ -即M為所求點，因此yM- 3，且M在橢圓上.故xM 2 3 .所以M 2 3八3 .雙曲線典型例題、根據方程的特點判斷圓錐曲線的類型。討論25x21表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.解：(1)當k9 時，25 k0 9k2 2 . 2cab16 這些橢圓有共冋的焦點(-(2 )當9 k25時，25k 0 ,90，所給方程表示橢圓，此時a225 k b29 k 4 0) (4 0).k 0 ,所給方程表示雙曲線，此時，a2 25 k b29

8、k，c2a2b216，這些雙曲線也有共同的焦點（一4，0）,）（4，0）.（3） k 25，k 9，k 25時，所給方程沒有軌跡.二、根據已知條件，求雙曲線的標準方程。例2根據下列條件，求雙曲線的標準方程. 過點P 3,15，Q 16,5且焦點在坐標軸上.43C J6，經過點（一5, 2）,焦點在x軸上.2與雙曲線Z16(1)(2)(3)解: (1)設雙曲線方程為m2仝 1有相同焦點，且經過點3 2,242x2y- 1nQ兩點在雙曲線上,22516nm256251解得162x169m n2所求雙曲線方程為y- 19說明：采取以上“巧設”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.（2）v焦點在x

9、軸上，設所求雙曲線方程為:雙曲線經過點（一21 (其中0625丄165或30所求雙曲線方程是（舍去）2x 2牙y說明：以上簡單易行的方法給我們以明快、2X16J816（3）設所求雙曲線方程為:雙曲線過點 3、2,2 ,14 （舍）2所求雙曲線方程為 122y_8三、求與雙曲線有關的角度問題。2 2例3已知雙曲線L916簡捷的感覺.2y 1 04紅11的右焦點分別為16F1、F2，點P在雙曲線上的左支上且PFPF232，求 F1PF2的大小.解：點P在雙曲線的左支上- PF1 PF2622PF1PF2 2PFPF2 3622PF1PF2100F1F2 2 4c2 4 a2 b12 100- F1

10、PF290(2)題目的“點 為“點P在雙曲線上” 四、求與雙曲線有關的三角形的面積問題。2 y21的兩個焦點，點4P在雙曲線的左支上”這個條件非常關鍵, 結論如何改變呢？請讀者試探索.應引起我們的重視，若將這一條件改例4已知F1、F2是雙曲線P在雙曲線上且滿足f1PF2 90，求F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及2X解：/ P為雙曲線4F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面積.1上的一個點且F1、F2為焦點.-円 PF2II 2a4, F1F2 2c 2.5F1PF290在 Rt PF1F2中，PF12PF2PF1 PF2I 2PF12PF220 2PFJPF216PF1 PF221

11、S F1PF2二PF1PF2122F1F22202PFJ PF216五、根據雙曲線的定義求其標準方程。例5已知兩點F1 5,0、F2 5,0，求與它們的距離差的絕對值是6的點的軌跡.解：根據雙曲線定義，可知所求點的軌跡是雙曲線./ c 5 , a 3- b2 c2522y_162x642x解：在雙曲線64所求方程2a2x93242161為動點的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.2.y_362' 1 中,36由P是雙曲線上一點，得|卩戸 PF21 或 PF233.又 PF2 c a 2，得 PF2六、求與圓有關的雙曲線方程。例 P是雙曲線1上一點，F1、F2是雙曲線的兩個焦點，且PF1 17 ,

12、求PF2的值.a 8, b 6，故 c 10.PF216.例6求下列動圓圓心M2(1 )與0 C : X 2 2的軌跡方程：y22內切，且過點A 2,0(2) 與0 C1： x2 y 1 2 1 和O C2: x2 y 1 2 4 都外切.(3) 與0 C1： x 3 2 y29外切，且與O C2: x 3 2 y21 內切.解：設動圓M的半徑為r(1)0 C1與O M內切，點A在O C外 MC r 罷,MA r , MA MC| 罷點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支，且有：雙曲線方程為2x2(2)vO M 與O MC1mc2 mc1 1的軌跡是以C2、點 M1a27G、o C2都外切m

13、c2G為焦點的雙曲線的上支，且有:23a4所求的雙曲線的方程為：34G外切，且與0 C2內切1, MC1 MC22 4x24y "T(3)vO M MC1點M的軌跡是以2a 2, c 3, b所求雙曲線方程為:2x2y1 x 25mc2C1、2cC2為焦點的雙曲線的右支，且有:a25拋物線典型例題一、求拋物線的標準方程。(1) x2 4y (2) x ay2(a解：(1) p 2，焦點坐標是(例1指出拋物線的焦點坐標、準線方程.0)0, 1),準線方程是:211(2)原拋物線方程為：y x ,2 p-ppa間p 1 當a 0時，拋物線開口向右，2 4a、 一 1 1焦點坐標是(,0)

14、，準線方程是：x .4a4ap 1 當a 0時，拋物線開口向左，2 4a14a1焦點坐標是(,0)，準線方程是：x4a綜合上述，當a 0時，拋物線x14a21ay的焦點坐標為（一,0），準線方程是：x4a二、求直線與拋物線相結合的問題例2若直線y kx 2與拋物線y2解法一:設Ad，%）、8x交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2,求此直線方程.kx直線與拋物線相交, AB中點橫坐標為:解得：k 2或k故所求直線方程為:解法二：設A（x1,兩式作差解:(yiB(X2, y2),則由：¥2y8x2可得：k2x2 (4k 8)xx1x284 y1k故k4k 4則所求直線方程為：k 0且0

15、,則k X1X24k 822k21 （舍去）.y 2x 2.)、Bgy)，則有2y18x1y2)(y1 y2)8(X1X2)，即-y2kx1 :2 kx22k(x12或k1（舍去）2y2y2X2X2)8X2 .8yi y24 4k 4,三、求直線中的參數問題例3 （1）設拋物線y2 4x被直線y 2x k截得的弦長為（2）以（1）中的弦為底邊，以 x軸上的點P為頂點作三角形，當三角形的面積為 坐標.3 5，求k值.9時，求P點y2 4xoo解：(1)由得：4x (4k 4)x k 0y 2x k設直線與拋物線交于 A（x1,y1）與B（x2, y2）兩點.則有:x1x21 k, x-i x2A

16、B,(1 22)(為 X2)2.5(X1X2)24x1x2、5(1 k)2 k2.5(12k)AB 3賦 J5（1 2k） 3*5，即 k 4（2）S 9，底邊長為3/5 ,三角形高h （=3/55T點P在X軸上，設P點坐標是（xo,o）則點P到直線y 2x 4的距離就等于h,即l2Xo 0 4 乞5<22 125x01或x0 5，即所求P點坐標是（1, 0 ）或（5, 0）.四、與拋物線有關的最值問題例4 定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2 x上移動，求 AB的中點到y(tǒng)軸的距離的 最小值，并求出此時 AB中點的坐標.AC、BD，又 M到準線的解：如圖，設F是y2 x的焦點，A、

17、B兩點到準線的垂線分別是 垂線為MN , C、D和N是垂足，則MN1( AC21BD) 2(AF設M點的橫坐標為x，縱坐標為1BF) 2ABMN321x4等式成立的條件是5時，4P2(yiy2)22yi2y22y22xyiy2所以M （5,），此時M到y(tǒng)軸的距離的最小值為42例 已知點M（3,2）, F為拋物線y2 2x的焦點，點P在該拋物線上移動，當PM 小值時，點P的坐標為.解：如圖，1 由定義知 PF PE，故 PM PF PF PM ME MN 3.2取等號時，M、P、E三點共線， P點縱坐標為2，代入方程，求出其橫坐標為 2, 所以P點坐標為（2,2）.橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的

18、位置，求橢圓的標準方程。例1 :已知橢圓的焦點是 F（0，- 1）、F2（0,1） , P是橢圓上一點，并且 PF1 + PF2= 2F1F2, 標準方程。、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。PF取最求橢圓的例：1.橢圓的一個頂點為 A 2,0，其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標準方程.三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。2 2x y例.求過點(一3,2)且與橢圓r= 1有相同焦點的橢圓的標準方程.94四、與直線相結合的問題，求橢圓的標準方程。例：已知中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓與直線 x y 1 0交于A、B兩點，M為AB中點，0M的斜率為，橢圓的短軸長為 2,

19、求橢圓的方程.五、求橢圓的離心率問題。例一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.六、由橢圓內的三角形周長、面積有關的問題例：1.若厶ABC勺兩個頂點坐標 A 4,0) , B(4,0) , ABC勺周長為18,求頂點C的軌跡方程。2 2x y2.已知橢圓的標準方程是 二+ 25=心5),它的兩焦點分別是 F1, F2,且F1F2 = 8,弦AB過點R，求 ABFa 25的周長.2 23設F1、F2是橢圓9 +才=1的兩個焦點，P是橢圓上的點， 且PF : PF2= 2 : 1,求厶PFF2的面積.七、直線與橢圓的位置問題x例已知橢圓y21 11，求過點P丄，丄 且被P平分的弦所在

20、的直線方程.2 2八、橢圓中的最值問題2 2例橢圓 1的右焦點為F，過點A1,J3，點M在橢圓上，當 AM 2MF為最小值 16 12時，求點M的坐標.雙曲線典型例題、根據方程的特點判斷圓錐曲線的類型。討論25 k1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.、根據已知條件，求雙曲線的標準方程。例2根據下列條件，求雙曲線的標準方程.(1)15過點 P 3,15，Q416,53且焦點在坐標軸上.(2) c J6，經過點(一5，2)，焦點在x軸上.2 2(3) 與雙曲線 L 1有相同焦點，且經過點 3 2,2164、求與雙曲線有關的角度問題。2 2F2，點P在雙曲線上的左支上且例3已知雙曲線 y 1的右焦點分別為F1、916PF1 PF232，求 FfF?的大小.題目的“點P在雙曲線的左支上” 這個條件非常關鍵，應引起我們的重視，若將這一條件改為“點P在雙曲線上”結論如何改變呢?四、求與雙曲線有關的三角形的面積問題。2例4已知F1、F2是雙曲線 y2 1的兩個焦點，點 P在雙曲線上且滿足F1PF2 90，求4F1PF2的面