橢圓、雙曲線拋物線典型例題整理

1、橢圓典型例題一、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1 :已知橢圓的焦點(diǎn)是 Fi（0， 1）、F2（0,1） , P是橢圓上一點(diǎn)，并且 PF + PF2= 2F1F2，求橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由 PF + PF= 2FiF2 = 2X 2= 4,得 2a = 4.又 c = 1,所以 b2= 3.2 2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是y4+£ = 1.2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為解：由橢圓定義知 c= 1,F1（ 1,0） , F2（1,0），且2a = 10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.25+ 24 b=詁5 1 =24.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 A

2、 2,0，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解：（1）當(dāng)A 2,0為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a 2 , b 1,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1;41（2）當(dāng)A 2,0為短軸端點(diǎn)時(shí)，b 2 , a 4,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1;416三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2 2求過(guò)點(diǎn)（一3,2）且與橢圓X + 7 = 1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.94X2y29因?yàn)閏2= 9 4= 5,所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為= 1.由點(diǎn)（一3,2）在橢圓上知 二+a a 5a22x y+ = 115+ 10例.解:¥5= 1，所以a2 = 15.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a 5四、與

3、直線相結(jié)合的問(wèn)題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例:已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線x y 10交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中OM的斜率為，橢圓的短軸長(zhǎng)為2,求橢圓的方程.y2 1，xy 10由x22得 1 a 2x2y21axMX21a222，yMa解：由題意，設(shè)橢圓方程為2a2x 0,1 xM11a2koM血 Jy 1a2xma42 y21為所求.4五、求橢圓的離心率問(wèn)題。例1 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.2解:2c ac-213- 3c22a , e.1. 3.33 '221例2已知橢圓xy1的離心率e求k的值.k 892由e 1，得k 4解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸

4、上時(shí)，a2 k8,2 2b 9，得 c k 1 .2當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，2 a9 , b2k8，得 c21 k .亠 1 1k1剛5由e，得，即4k294滿足條件的k 4或k54六、由橢圓內(nèi)的三角形周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題例：1.若厶ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) A 4,0) , B(4,0) , ABC勺周長(zhǎng)為18,求頂點(diǎn)C的軌跡方程。解：頂點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A, B的距離之和為定值10,且大于兩定點(diǎn)間的距離，因此頂 點(diǎn)C的軌跡為橢圓，并且2a= 10,所以a= 5,2c = 8,所以c = 4,所以b2= a2 c2 = 9,故 2 2頂點(diǎn)C的軌跡方程為2x5 + 9二1.又A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，

5、所以 滬0.所以頂點(diǎn)C的軌 2 2 2 2x yx y跡方程為2_+ 9二1(y工0)答案：2_+舌二1(y工0)2 22.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 爲(wèi)+ y = 1(a>5),它的兩焦點(diǎn)分別是 R, F2,且F1F2 = 8,弦AB過(guò)點(diǎn)R，求 ABF a 25的周長(zhǎng)._4a= 4 41.2 23設(shè)F1、Fa是橢圓令+ y = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)， 且PF : PF2= 2 : 1,求厶PFF2的面積.941 1 PF1F2的面積為 PF PF2 =2X 4= 4.七、直線與橢圓的位置問(wèn)題2x例已知橢圓y21 11，求過(guò)點(diǎn)P 1 ,丄 且被P平分的弦所在的直線方程.2 211解法一

6、：設(shè)所求直線的斜率為 k，則直線方程為y k x.代入橢圓方程，并整理得222 21 2k x由韋達(dá)定理得x1x222kdi1 P是弦中點(diǎn)， x1 x2 1 .故得k2所以所求直線方程為 2x 4y 30 .1 1解法二：設(shè)過(guò)P 的直線與橢圓交于 Axj,力、B x2, y2 ,則由題意得2 22xl2y11,222y21,2%X21,*y21.2 2一得x x?2 2y1y20 .2將、代入得y1 y21丄，即直線的斜率為1捲X222所求直線方程為2x 4y 30 .八、橢圓中的最值問(wèn)題2 2例橢圓 1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A13，點(diǎn)M在橢圓上，當(dāng) AM 2MF為最小值16 12時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)

7、.1解：由已知：a 4 c 2 .所以e，右準(zhǔn)線I: x 8.2過(guò)A作AQ I 垂足為Q 交橢圓于M，故MQ 2MF 顯然AM 2MF的最小值為 AQ -即M為所求點(diǎn)，因此yM- 3，且M在橢圓上.故xM 2 3 .所以M 2 3八3 .雙曲線典型例題、根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷圓錐曲線的類型。討論25x21表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.解：(1)當(dāng)k9 時(shí)，25 k0 9k2 2 . 2cab16 這些橢圓有共冋的焦點(diǎn)(-(2 )當(dāng)9 k25時(shí)，25k 0 ,90，所給方程表示橢圓，此時(shí)a225 k b29 k 4 0) (4 0).k 0 ,所給方程表示雙曲線，此時(shí)，a2 25 k b29

8、k，c2a2b216，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)（一4，0）,）（4，0）.（3） k 25，k 9，k 25時(shí)，所給方程沒(méi)有軌跡.二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 過(guò)點(diǎn)P 3,15，Q 16,5且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.43C J6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一5, 2）,焦點(diǎn)在x軸上.2與雙曲線Z16(1)(2)(3)解: (1)設(shè)雙曲線方程為m2仝 1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)3 2,242x2y- 1nQ兩點(diǎn)在雙曲線上,22516nm256251解得162x169m n2所求雙曲線方程為y- 19說(shuō)明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.（2）v焦點(diǎn)在x

9、軸上，設(shè)所求雙曲線方程為:雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一21 (其中0625丄165或30所求雙曲線方程是（舍去）2x 2牙y說(shuō)明：以上簡(jiǎn)單易行的方法給我們以明快、2X16J816（3）設(shè)所求雙曲線方程為:雙曲線過(guò)點(diǎn) 3、2,2 ,14 （舍）2所求雙曲線方程為 122y_8三、求與雙曲線有關(guān)的角度問(wèn)題。2 2例3已知雙曲線L916簡(jiǎn)捷的感覺(jué).2y 1 04紅11的右焦點(diǎn)分別為16F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上的左支上且PFPF232，求 F1PF2的大小.解：點(diǎn)P在雙曲線的左支上- PF1 PF2622PF1PF2 2PFPF2 3622PF1PF2100F1F2 2 4c2 4 a2 b12 100- F1

10、PF290(2)題目的“點(diǎn) 為“點(diǎn)P在雙曲線上” 四、求與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問(wèn)題。2 y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)4P在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵, 結(jié)論如何改變呢？請(qǐng)讀者試探索.應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改例4已知F1、F2是雙曲線P在雙曲線上且滿足f1PF2 90，求F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及2X解：/ P為雙曲線4F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面積.1上的一個(gè)點(diǎn)且F1、F2為焦點(diǎn).-円 PF2II 2a4, F1F2 2c 2.5F1PF290在 Rt PF1F2中，PF12PF2PF1 PF2I 2PF12PF220 2PFJPF216PF1 PF221

11、S F1PF2二PF1PF2122F1F22202PFJ PF216五、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例5已知兩點(diǎn)F1 5,0、F2 5,0，求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡.解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線./ c 5 , a 3- b2 c2522y_162x642x解：在雙曲線64所求方程2a2x93242161為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.2.y_362' 1 中,36由P是雙曲線上一點(diǎn)，得|卩戸 PF21 或 PF233.又 PF2 c a 2，得 PF2六、求與圓有關(guān)的雙曲線方程。例 P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1 17 ,

12、求PF2的值.a 8, b 6，故 c 10.PF216.例6求下列動(dòng)圓圓心M2(1 )與0 C : X 2 2的軌跡方程：y22內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A 2,0(2) 與0 C1： x2 y 1 2 1 和O C2: x2 y 1 2 4 都外切.(3) 與0 C1： x 3 2 y29外切，且與O C2: x 3 2 y21 內(nèi)切.解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r(1)0 C1與O M內(nèi)切，點(diǎn)A在O C外 MC r 罷,MA r , MA MC| 罷點(diǎn)M的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且有：雙曲線方程為2x2(2)vO M 與O MC1mc2 mc1 1的軌跡是以C2、點(diǎn) M1a27G、o C2都外切m

13、c2G為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且有:23a4所求的雙曲線的方程為：34G外切，且與0 C2內(nèi)切1, MC1 MC22 4x24y "T(3)vO M MC1點(diǎn)M的軌跡是以2a 2, c 3, b所求雙曲線方程為:2x2y1 x 25mc2C1、2cC2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有:a25拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(1) x2 4y (2) x ay2(a解：(1) p 2，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(例1指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.0)0, 1),準(zhǔn)線方程是:211(2)原拋物線方程為：y x ,2 p-ppa間p 1 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向右，2 4a、 一 1 1焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)

14、，準(zhǔn)線方程是：x .4a4ap 1 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向左，2 4a14a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線方程是：x4a綜合上述，當(dāng)a 0時(shí)，拋物線x14a21ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一,0），準(zhǔn)線方程是：x4a二、求直線與拋物線相結(jié)合的問(wèn)題例2若直線y kx 2與拋物線y2解法一:設(shè)Ad，%）、8x交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求此直線方程.kx直線與拋物線相交, AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為:解得：k 2或k故所求直線方程為:解法二：設(shè)A（x1,兩式作差解:(yiB(X2, y2),則由：¥2y8x2可得：k2x2 (4k 8)xx1x284 y1k故k4k 4則所求直線方程為：k 0且0

15、,則k X1X24k 822k21 （舍去）.y 2x 2.)、Bgy)，則有2y18x1y2)(y1 y2)8(X1X2)，即-y2kx1 :2 kx22k(x12或k1（舍去）2y2y2X2X2)8X2 .8yi y24 4k 4,三、求直線中的參數(shù)問(wèn)題例3 （1）設(shè)拋物線y2 4x被直線y 2x k截得的弦長(zhǎng)為（2）以（1）中的弦為底邊，以 x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為 坐標(biāo).3 5，求k值.9時(shí)，求P點(diǎn)y2 4xoo解：(1)由得：4x (4k 4)x k 0y 2x k設(shè)直線與拋物線交于 A（x1,y1）與B（x2, y2）兩點(diǎn).則有:x1x21 k, x-i x2A

16、B,(1 22)(為 X2)2.5(X1X2)24x1x2、5(1 k)2 k2.5(12k)AB 3賦 J5（1 2k） 3*5，即 k 4（2）S 9，底邊長(zhǎng)為3/5 ,三角形高h(yuǎn) （=3/55T點(diǎn)P在X軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（xo,o）則點(diǎn)P到直線y 2x 4的距離就等于h,即l2Xo 0 4 乞5<22 125x01或x0 5，即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是（1, 0 ）或（5, 0）.四、與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例4 定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2 x上移動(dòng)，求 AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的 最小值，并求出此時(shí) AB中點(diǎn)的坐標(biāo).AC、BD，又 M到準(zhǔn)線的解：如圖，設(shè)F是y2 x的焦點(diǎn)，A、

17、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是 垂線為MN , C、D和N是垂足，則MN1( AC21BD) 2(AF設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為1BF) 2ABMN321x4等式成立的條件是5時(shí)，4P2(yiy2)22yi2y22y22xyiy2所以M （5,），此時(shí)M到y(tǒng)軸的距離的最小值為42例 已知點(diǎn)M（3,2）, F為拋物線y2 2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)，當(dāng)PM 小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.解：如圖，1 由定義知 PF PE，故 PM PF PF PM ME MN 3.2取等號(hào)時(shí)，M、P、E三點(diǎn)共線， P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入方程，求出其橫坐標(biāo)為 2, 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）.橢圓典型例題一、已知橢圓焦點(diǎn)的

18、位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1 :已知橢圓的焦點(diǎn)是 F（0，- 1）、F2（0,1） , P是橢圓上一點(diǎn)，并且 PF1 + PF2= 2F1F2, 標(biāo)準(zhǔn)方程。、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。PF取最求橢圓的例：1.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 A 2,0，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2 2x y例.求過(guò)點(diǎn)(一3,2)且與橢圓r= 1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.94四、與直線相結(jié)合的問(wèn)題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓與直線 x y 1 0交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，0M的斜率為，橢圓的短軸長(zhǎng)為 2,

19、求橢圓的方程.五、求橢圓的離心率問(wèn)題。例一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.六、由橢圓內(nèi)的三角形周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題例：1.若厶ABC勺兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) A 4,0) , B(4,0) , ABC勺周長(zhǎng)為18,求頂點(diǎn)C的軌跡方程。2 2x y2.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 二+ 25=心5),它的兩焦點(diǎn)分別是 F1, F2,且F1F2 = 8,弦AB過(guò)點(diǎn)R，求 ABFa 25的周長(zhǎng).2 23設(shè)F1、F2是橢圓9 +才=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)， 且PF : PF2= 2 : 1,求厶PFF2的面積.七、直線與橢圓的位置問(wèn)題x例已知橢圓y21 11，求過(guò)點(diǎn)P丄，丄 且被P平分的弦所在

20、的直線方程.2 2八、橢圓中的最值問(wèn)題2 2例橢圓 1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A1,J3，點(diǎn)M在橢圓上，當(dāng) AM 2MF為最小值 16 12時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).雙曲線典型例題、根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷圓錐曲線的類型。討論25 k1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)15過(guò)點(diǎn) P 3,15，Q416,53且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.(2) c J6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一5，2)，焦點(diǎn)在x軸上.2 2(3) 與雙曲線 L 1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 3 2,2164、求與雙曲線有關(guān)的角度問(wèn)題。2 2F2，點(diǎn)P在雙曲線上的左支上且例3已知雙曲線 y 1的右焦點(diǎn)分別為F1、916PF1 PF232，求 FfF?的大小.題目的“點(diǎn)P在雙曲線的左支上” 這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn)P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢?四、求與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問(wèn)題。2例4已知F1、F2是雙曲線 y2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在雙曲線上且滿足F1PF2 90，求4F1PF2的面