（整理版）高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之拋物線及其性質(zhì)

1、高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之拋物線及其性質(zhì)1不要把拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和二次函數(shù)的一般形式混為一談；拋物線的焦點(diǎn)位置取決于哪個(gè)變量是一次的及其系數(shù)的正負(fù)；拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的“表示焦準(zhǔn)距。舉例1 拋物線的準(zhǔn)線方程為，那么的值為a b c d解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其準(zhǔn)線方程為：y= -,a=，應(yīng)選b。舉例2假設(shè)橢圓(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，線段f1f2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成53的兩段，那么此橢圓的離心率為 ： (a) (b) (c) (d)解析：拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)為f，0，f將線段f1f2分成53的兩段，+c：c -=53c=2be=,選d。穩(wěn)固1點(diǎn)m(5,3)到拋物線y=ax

2、2的準(zhǔn)線的距離等于6,那么拋物線的方程是( ) (a)y=12x2 (b)y=x2或y=-x2 (c)y=-36x2 (d)y=12x2或y=-36x2穩(wěn)固2 假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，那么的值為a b c d2.涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)準(zhǔn)線的距離問(wèn)題常用定義；有時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到與準(zhǔn)線平行的直線的距離需轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。舉例1a3，1，拋物線上一點(diǎn)px,y，那么|pa|+y的最小值為 。解析：拋物線的準(zhǔn)線為：y= -1，焦點(diǎn)f0，1，記p在直線y= -1上的射影為q，那么y=|pq|-1=|pf|-1，|pa|+y=|pa|+|pf|-1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求|pa|+|pf|的最小值

3、，易見(jiàn)：|pa|+|pf|af|=3，當(dāng)且既當(dāng)f、p、a共線時(shí)等號(hào)成立，故：|pa|+y的最小值為2。xyf1f2mpoq舉例2橢圓e的離心率為e，兩焦點(diǎn)為f1，f2，拋物線c以f1為頂點(diǎn)，f2為焦點(diǎn)，p為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，假設(shè)=e，那么e的值為：a b c d解析：記拋物線的準(zhǔn)線交x軸于m，p在上的射影為q，那么|f1m|=|f1f2|=2c，即的方程為x= -3c，|pf2|=|pq|，又=e，即=e，f1是橢圓的左焦點(diǎn)，|pq|為p到橢圓左準(zhǔn)線的距離，即為橢圓的左準(zhǔn)線，于是有：-3c= -e=，選a。穩(wěn)固1 一動(dòng)圓圓心在拋物線上，過(guò)點(diǎn)(0 , 1)且與定直線相切，那么的方程為 a.b.

4、c.d.穩(wěn)固2 橢圓c1：的左準(zhǔn)線為，左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，拋物線c2的準(zhǔn)線也為，焦點(diǎn)為f2，記c1與c2的一個(gè)交點(diǎn)為p，那么= a b1 c2 d與a,b的取值有關(guān)3過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)直線與拋物線y2=2px交于a(x1,y1)、b(x2,y2)兩點(diǎn)，記住并會(huì)證明：，|ab|=(其中為弦ab的傾角，=900時(shí)的弦ab即為拋物線的通經(jīng))，證明該結(jié)論時(shí)為防止討論斜率不存在情形，可設(shè)直線方程為：x=my+(其中m為ab的斜率的倒數(shù))；拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題常用定義，如：以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。舉例1拋物線y2=2px上弦長(zhǎng)為aa2p的弦的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的最小值為： 。解析：拋物線的

5、準(zhǔn)線的方程為：x= -,焦點(diǎn)f，0，記弦的兩端點(diǎn)為a、b，ab的中點(diǎn)為m，它們?cè)谏系纳溆胺謩e是a1，b1，m1；于是有：|af|=|aa1|，|bf|=|bb1|，m到y(tǒng)軸的距離d=|mm1|-=(|aa1|+|bb1|-=(|af|+|bf|-|ab|-=,當(dāng)且僅當(dāng)a，b，f共線時(shí)等號(hào)成立。注：過(guò)焦點(diǎn)的弦最短是通經(jīng)，長(zhǎng)為2p，當(dāng)a<2p時(shí)，a，b，f不可能共線。舉例2 給定拋物線c：y24x，f是c的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f的直線l與c相交于a、b兩點(diǎn)設(shè)l的斜率為1，那么與夾角為 ；解析：拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)，直線的方程為：x=y+1；將其代入拋物線方程得：y2-4y-4=0設(shè)a(x1,y1

6、),b(x2,y2)，那么有y1+y2=4,y1y2= -4，又x1=y12, x2=y22,x1 x2=(y1 y2)2=1.=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.=,cos<>=故與夾角為-arccos.注：在研究形如y2=2px的拋物線與直線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，設(shè)直線方程為x=my+b的形式，不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算，有時(shí)還可以防止對(duì)直線斜率是否存在的討論。穩(wěn)固1ab是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，|ab|=4，那么ab中點(diǎn)c的橫坐標(biāo)是 a2bcd穩(wěn)固2過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，且oabo為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積為，那么m6+m4= 4直線與圓錐曲線的公共

7、點(diǎn)問(wèn)題一般用方程組的解研究。直線與曲線有幾個(gè)公共點(diǎn)，方程組就有幾組解；直線與圓錐曲線相切表達(dá)為：在解方程組的過(guò)程中，“消元后得到的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即=0；拋物線的切線還可以用導(dǎo)數(shù)研究視拋物線方程為二次函數(shù)。舉例1設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)q，假設(shè)過(guò)點(diǎn)q的直線與拋物線有公共點(diǎn)，那么直線的斜率的取值范圍是： a-， b2，2c1，1d4，4解析：q-2，0，顯然直線 斜率存在，記為k，那么的方程為：y=k(x+2),代入拋物線方程得：k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,當(dāng)k=0時(shí)，方程有解；當(dāng)k0時(shí)，=64(1-k2)0即-1k<0或0<k,應(yīng)選c。舉例2如

8、圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，動(dòng)點(diǎn)p在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)p作拋物線c的兩條切線pa、pb，且與拋物線c分別相切于a、b兩點(diǎn).那么apb的重心g的軌跡方程為 .解析：設(shè)切點(diǎn)a、b坐標(biāo)分別為，y/=2x，兩切線斜率分別為：2x0和2x1,于是：切線ap的方程為： 切線bp的方程為：解得p點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以apb的重心g的坐標(biāo)為 ，結(jié)合=代入點(diǎn)p所在在直線方程，得到重心g的軌跡方程為：注：上述求軌跡的方法稱為“代入法，問(wèn)題的根本結(jié)構(gòu)是：動(dòng)點(diǎn)n在曲線c0上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)m隨之移動(dòng)伴隨點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程；一般解法是：尋找被動(dòng)點(diǎn)m的坐標(biāo) (x,y)與主動(dòng)點(diǎn)n的坐標(biāo)(x0,y0)之間的關(guān)系，并用x,y表示x0,y0，再

9、代入曲線c0的方程即可；此法為“參數(shù)法的一種，借助m、n兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系及曲線c0的方程消去兩個(gè)參數(shù)x0,y0。穩(wěn)固1 直線與拋物線相切，那么穩(wěn)固2對(duì)于拋物線c：y24x，我們稱滿足y024x0的點(diǎn)m(x0，y0m(x0，y0)在拋物線內(nèi)部，那么直線l：y0y=2(x+ x0)與曲線c 遷移直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1的兩支分別交于a、b兩點(diǎn)，那么a的取值范圍是 。5.解決直線與二次曲線相交弦的問(wèn)題，?！霸O(shè)而不求，即將直線方程與二次曲線方程聯(lián)立方程組，利用代入消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程，將題中所給的幾何量用韋達(dá)定理、刻劃出來(lái)；如：弦長(zhǎng)|ab|=，其中k為直線ab的斜

10、率，或|ab|=。涉及斜率及其弦中點(diǎn)的問(wèn)題常用“點(diǎn)差法，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次曲線方程作差，此后略作變化別離出弦的斜率，即可得到弦的斜率與弦中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。舉例1 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足如下圖那么得重心即三角形三條中線的交點(diǎn)的軌跡方程為 ；解析：顯然直線ab的斜率存在，記為k，ab的方程記為：y=kx+b,(b0), a(x1,y1),b(x2,y2),將直線方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,那么有：=k2+4b>0 ,x1+x2=k , x1x2= -b ，又y1=x12，y2=x22y1y2=b2；而 x1x2+ y

11、1y2=0，得：-b+ b2=0且b0，b=1，代入驗(yàn)證，滿足；故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2；設(shè)aob的重心為g(x,y)，那么x= ,y= ,由兩式消去參數(shù)k得：g的軌跡方程為。xyf1f2cabo注：上述求軌跡的方法稱為“參數(shù)法，一般先設(shè)法將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用“參數(shù)表示，再消參數(shù)。舉例2過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)f2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為b，橢圓上不同的兩點(diǎn)a(x1,y1),c(x2,y2)滿足條件：|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數(shù)列，那么弦ac的中垂線在y軸上的截距的范圍是 。解析：對(duì)|f2a|+|f2c|=使用焦半徑公式得：5-x1+5-x2=x1+x2=8.此后，可以設(shè)ac的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達(dá)定理；也可以用“點(diǎn)差：記ac中點(diǎn)m4，y0, 將a、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差得：，,于是有：ac的中垂線的方程為：，當(dāng)x=0時(shí)：=-，此即ac的中垂線在y軸上的截距，注意到：m4，y0在橢圓“內(nèi)，得-<<,-<-<。穩(wěn)固1拋物線y2=4x,過(guò)點(diǎn)p(4,0)的直線