（整理版）高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之一

1、-高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之一第一章 集合與簡易邏輯一、根底知識定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合a中，稱屬于a，記為，否那么稱不屬于a，記作。例如，通常用n，z，q，b，q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集

2、和正實數(shù)集。定義2 子集：對于兩個集合a與b，如果集合a中的任何一個元素都是集合b中的元素，那么a叫做b的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果a是b的子集，b也是a的子集，那么稱a與b相等。如果a是b的子集，而且b中存在元素不屬于a，那么a叫b的真子集。定義3 交集，定義4 并集，定義5 補集，假設(shè)稱為a在i中的補集。定義6 差集，。定義7 集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，r記作定理1 集合的性質(zhì)：對任意集合a，b，c，有：1 2；3 4【證明】這里僅證1、3，其余由讀者自己完成。1假設(shè)，那么，且或，所以或，即；反之，那么或，即且或，即且，即3假設(shè)，那么或，所以或，所以，又，所以，

3、即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有類方法，第一類方法中有種不同的方法，第二類方法中有種不同的方法，第類方法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。定理3 乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。例1 設(shè)，求證：1；2；3假設(shè)，那么證明1因為，且，所以2假設(shè)，那么存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以3設(shè)，那么因為。2利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，那么a=b。例2 設(shè)a，b是兩個集

4、合，又設(shè)集合m滿足，求集合m用a，b表示。【解】先證，假設(shè)，因為，所以，所以； 再證，假設(shè)，那么1假設(shè)，那么；2假設(shè)，那么。所以綜上，3分類討論思想的應用。例3 ，假設(shè)，求【解】依題設(shè)，再由解得或，因為，所以，所以，所以或2，所以或3。因為，所以，假設(shè)，那么，即，假設(shè)，那么或，解得綜上所述，或；或。4計數(shù)原理的應用。例4 集合a，b，c是i=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，1假設(shè)，求有序集合對a，b的個數(shù)；2求i的非空真子集的個數(shù)。【解】1集合i可劃分為三個不相交的子集；ab，ba，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所

5、以集合對有310個。2i的子集分三類：空集，非空真子集，集合i本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。5配對方法。例5 給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加i的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值?！窘狻繉的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子集中出現(xiàn)，否那么，假設(shè)有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為c1a與a，并設(shè)，那么，從而可以在個子集中再添加，與矛盾，所以。綜上，。6競賽常用方

6、法與例問題。定理4 容斥原理；用表示集合a的元素個數(shù)，那么，需要xy此結(jié)論可以推廣到個集合的情況，即定義8 集合的劃分：假設(shè)，且，那么這些子集的全集叫i的一個-劃分。定理5 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6 抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)。【解】 記，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個。例7 s是集合1，2，的子集，s中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問s中最多含有多少個元素？【解】將任意連續(xù)的

7、11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于s，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數(shù)，假設(shè)s含有這11個數(shù)中至少6個，那么必有兩個數(shù)在同一組，與矛盾，所以s至多含有其中5個數(shù)。又因為=182×11+2，所以s一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當時，恰有，且s滿足題目條件，所以最少含有912個元素。例8 求所有自然數(shù)，使得存在實數(shù)滿足：【解】 當時，；當時，；當時， 。下證當時，不存在滿足條件。令，那么所以必存在某兩個下標，使得，所以或，即，所以或，。假設(shè)，考慮，有或，即，設(shè)，那么，導致矛盾，故只有考慮，有或，

8、即，設(shè)，那么，推出矛盾，設(shè)，那么，又推出矛盾， 所以故當時，不存在滿足條件的實數(shù)。假設(shè)，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當時，不存在滿足條件的實數(shù)。例9 設(shè)a=1，2，3，4，5，6，b=7，8，9，n，在a中取三個數(shù)，b中取兩個數(shù)組成五個元素的集合，求的最小值?！窘狻?設(shè)b中每個數(shù)在所有中最多重復出現(xiàn)次，那么必有。假設(shè)不然，數(shù)出現(xiàn)次，那么在出現(xiàn)的所有中，至少有一個a中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合1，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數(shù)，這不可能，所以20個中，b中的數(shù)有40個

9、，因此至少是10個不同的，所以。當時，如下20個集合滿足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以劃分成個互不相交的三元集

10、合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)【解】 設(shè)其中第個三元集為那么1+2+所以。當為偶數(shù)時，有，所以，當為奇數(shù)時，有，所以，當時，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為5。三、根底訓練題1給定三元集合，那么實數(shù)的取值范圍是_。2假設(shè)集合中只有一個元素，那么=_。3集合的非空真子集有_個。4集合，假設(shè)，那么由滿足條件的實數(shù)組成的集合p=_。5，且，那么常數(shù)的取值范圍是_。6假設(shè)非空集合s滿足，且假設(shè)，那么，那么符合要求的集合s有_個。7集合之間的關(guān)系是_。8假設(shè)集合，其中，且，假設(shè)，那么a中元素之和是_。9集合，且，那么滿足條件的值構(gòu)成的集

11、合為_。10集合，那么_。11s是由實數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1假設(shè)，那么。如果，s中至少含有多少個元素？說明理由。12，又c為單元素集合，求實數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓練題1集合，且a=b，那么_，_。2，那么_。3集合，當時，實數(shù)的取值范圍是_。4假設(shè)實數(shù)為常數(shù)，且_。5集合，假設(shè)，那么_。6集合，那么中的最小元素是_。7集合，且a=b，那么_。8集合，且，那么的取值范圍是_。9設(shè)集合，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。10集合a和b各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足以下條件的集合c的個數(shù)：1且c中含有3個元素；2。a，b是平面上兩個點集，假設(shè)對任何，都有，那么必有，證明你的結(jié)論

12、。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1集合，那么實數(shù)的取值范圍是_。2集合的子集b滿足：對任意的，那么集合b中元素個數(shù)的最大值是_。3集合，其中，且，假設(shè)p=q，那么實數(shù)_。4集合，假設(shè)是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，那么_。5集合，集合，那么集合m與n的關(guān)系是_。6設(shè)集合，集合a滿足：，且當時，那么a中元素最多有_個。7非空集合，那么使成立的所有的集合是_。8集合a，b，ac不必相異的并集, 那么滿足條件的有序三元組a，b，c個數(shù)是_。9集合，問：當取何值時，為恰有2個元素的集合？說明理由，假設(shè)改為3個元素集合，結(jié)論如何？10求集合b和c，使得，并且c的元素乘積等于b的元素和。11s是q的子集且滿足

13、：假設(shè)，那么恰有一個成立，并且假設(shè)，那么，試確定集合s。12集合s=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的假設(shè)干個五元子集滿足：s中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？六、聯(lián)賽二試水平訓練題1是三個非空整數(shù)集，對于1，2，3的任意一個排列，如果，那么。求證：中必有兩個相等。2求證：集合1，2，1989可以劃分為117個互不相交的子集，使得1每個恰有17個元素；2每個中各元素之和相同。3某人寫了封信，同時寫了個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？4設(shè)是20個兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個不同的元素，求集合中不同元素個數(shù)的最小可能值。5設(shè)s是由個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個