概率統(tǒng)計簡明教程課后習(xí)題答案(工程代數(shù)_同濟大學(xué)版)

1、 習(xí)題一解答1. 用集合的形式寫出下列隨機試驗的樣本空間與隨機事件A：(1) 拋一枚硬幣兩次，觀察出現(xiàn)的面，事件A=兩次出現(xiàn)的面相同；(2) 記錄某 總機一分鐘(1) W=(+,+),(+,-),(-,+),(-,-)， A=(+,+),(-,-).(2) 記X為一分鐘A=XÎ(2000,2500).2. 袋中有10個球，分別編有號碼1至10，從中任取1球，設(shè)A=取得球的號碼是偶數(shù)，B=取得球的號碼是奇數(shù)，C=取得球的號碼小于5，問下列運算表示什么事件：(1)AUB；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；(6)BUC；(7)A-C. 解 (1) AUB=W是必然事件；(2) A

2、B=f是不可能事件；(3) AC=取得球的號碼是2，4；(4) AC=取得球的號碼是1，3，5，6，7，8，9，10；(5) =取得球的號碼為奇數(shù)，且不小于5=取得球的號碼為5，7，9；(6) BUC=I=取得球的號碼是不小于5的偶數(shù)=取得球的號碼為6，8，10；(7) A-C=A=取得球的號碼是不小于5的偶數(shù)=取得球的號碼為6，8，10ì1üì13ü3. 在區(qū)間0,2上任取一數(shù)，記A=íx<x£1ý，B=íx£x£ý，求下列事件的表達(dá)式：2þî2þ

3、î4(1)AUB；(2)B；(3)A；(4)AU.ì13ü解 (1) AUB=íx£x£ý 2þî4ìüì11 (2) B=íx0£x£或1<x£2ýIB=íx£x£2îþî4(3) 因為AÌB，所以A=f； 1üìýUíx<x£2þî3üý 2þ

4、ìüìü13113(4)AU=AUíx0£x<或<x£2ý=íx0£x<或<x£1或<x£2ý 4. 用事件A,B,C42422îþîþ的運算關(guān)系式表示下列事件：(1) A出現(xiàn)，B,C都不出現(xiàn)（記為E1）；(2) A,B都出現(xiàn)，C不出現(xiàn)（記為E2）；(3) 所有三個事件都出現(xiàn)（記為E3）；(4) 三個事件中至少有一個出現(xiàn)（記為E4）；(5) 三個事件都不出現(xiàn)（記為E5）；(6) 不多于一個事件出現(xiàn)

5、（記為E6）；(7) 不多于兩個事件出現(xiàn)（記為E7）；(8) 三個事件中至少有兩個出現(xiàn)（記為E8）。解 (1)E1=A； (2)E2=AB；(3)E3=ABC； (4)E4=AUBUC； (5)E5=； (6)E6=UAUBU；(7)E7=ABC=UU；(8)E8=ABUACUBC.5. 一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三次，每次取一件，設(shè)Ai表示事件“第i次抽到廢品”，i=1,2,3，試用Ai表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；(2) 只有第一次抽到廢品；(3) 三次都抽到廢品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有兩次抽到廢品。解 (1)A1UA2； (

6、2)A1A2A3； (3)A1A2A3； (4)A1UA2UA3； (5)A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3.6. 接連進(jìn)行三次射擊，設(shè)Ai=第i次射擊命中，i=1,2,3，B=三次射擊恰好命中二次，C=三次射擊至少命中二次；試用Ai表示B和C。解 B=A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3C=A1A2UA1A3UA2A3 習(xí)題二解答1從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有1件次品的概率。æ50ö解 這是不放回抽取，樣本點總數(shù)n=çç3÷÷，記求概率的事件為A，則有利于A的樣本點數(shù)è

7、8;æ45öæ5ök=çç2÷÷çç1÷÷. 于是 èøèøæ45öæ5öç÷ç÷ç÷çkè2øè1÷ø=45´44´5´3!=99P(A)= 50n50´49´48´2!392æöç

8、31;3÷÷èø2一口袋中有5個紅球及2個白球，從這袋中任取一球，看過它的顏色后放回袋中，然后，再從這袋中任取一球，設(shè)每次取球時袋中各個球被取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到紅球的概率；(2) 第一次取到紅球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球為紅、白各一的概率；(4) 第二次取到紅球的概率。解 本題是有放回抽取模式，樣本點總數(shù)n=72. 記(1)(2)(3)(4)題求概率的事件分別為A,B,C,D.25æ5ö()有利于A的樣本點數(shù)kA=5，故 P(A)=ç÷= 49è7ø

9、5´210() 有利于B的樣本點數(shù)kB=5´2，故 P(B)=2= 49720() 有利于C的樣本點數(shù)kC=2´5´2，故 P(C)= 497´5355() 有利于D的樣本點數(shù)kD=7´5，故 P(D)=2=. 497722 3一個口袋中裝有6只球，分別編上號碼1至6，隨機地從這個口袋中取2只球，試求：(1) 最小號碼是3的概率；(2) 最大號碼是3的概率。解 本題是無放回模式，樣本點總數(shù)n=6´5.() 最小號碼為3，只能從編號為3，4，5，6這四個球中取2只，且有一次抽到3，因而有利2´31樣本點數(shù)為2

10、0;3，所求概率為 =. 6´55() 最大號碼為3，只能從1，2，3號球中取，且有一次取到3，于是有利樣本點數(shù)為2´2，2´22所求概率為 =. 6´5154一個盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣，接連取2次，每次取1只，試求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。解 分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為A,B,C，則æ4öçç2÷÷4´3´22èP(A)=ø= 66

11、80;5´25æöçç2÷÷èøæ4öæ2öçç1÷÷çç1÷÷4´2´28èøèø=P(B)= 66´515æöçç2÷÷èø注意到C=AUB，且A與B互斥，因而由概率的可加性知2814P(C)=P(A)+P(B)=+= 515155擲兩

12、顆骰子，求下列事件的概率：(1) 點數(shù)之和為7；(2) 點數(shù)之和不超過5；(3) 點數(shù)之和為偶數(shù)。解 分別記題(1)、(2)、(3)的事件為A,B,C,樣本點總數(shù)n=62()A含樣本點(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)61P(A)=2= 66()B含樣本點(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)105 P(B)=2= 186()C含樣本點(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),

13、(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18個樣本點。181 P(C)= 3626把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機地分配到5間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住8人，試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率。解 記求概率的事件為A，樣本點總數(shù)為53，而有利A的樣本點數(shù)為5´4´3，所以5´4´312. P(A)=32557總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A：“其中恰有一位精通英語”；(2) 事件B：“其中恰有二位精通英語”；(3) 事件C：“其中有人精通英語”。æ5

14、46;解 樣本點總數(shù)為çç3÷÷ èøæ2öæ3öçç1÷÷çç2÷÷2´3´3!63èøèø=； (1) P(A)=55´4´3105æöç÷ç3÷èøæ2öæ3öçç2÷÷&#

15、231;ç1÷÷èøèø=3´3!=3(2) P(B)=； 55´4´310æöçç3÷÷èø(3) 因C=AUB，且A與B互斥，因而339 P(C)=P(A)+P(B)=+=. 510108設(shè)一質(zhì)點一定落在xOy平面記求概率的事件為A，則SA為圖中陰影部分，而|W|=1/2，11æ2ö155|SA|=-ç÷=´= 22è3ø2918最后由幾何概型

16、的概率計算公式可得|S|5/185P(A)=A=. |W|1/29圖2.3 9（見前面問答題2. 3）10已知AÌB，P(A)=0.4，P(B)=0.6，求 2(1)P(),P()；(2)P(AUB)；(3)P(AB)；(4)P(),P()；(5)P(B).解 (1)P()=1-P(A)=1-0.4=0.6，P()=1-P(B)=1-0.6=0.4；(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)=P(B)=0.6；(3)P(AB)=P(A)=0.4；(4)P(A)=P(A-B)=P(f)=0, P()=P(AUB)=1-P(AUB)=1-0.6=0.

17、4;(5)P(B)=P(B-A)=0.6-0.4=0.2.11設(shè)A,B是兩個事件，已知P(A)=0.5，P(B)=0.7，P(AUB)=0.8，試求P(A-B)及P(B-A). 解 注意到 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)，因而P(AB)=P(A)+P(B) -P(AUB)=0.5+0.7-0.8=0.4. 于是，P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =0.5-0.4=0.1；P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3. 習(xí)題三解答1已知隨機事件A的概率P(A)=0.5，隨機事件B的概率P(B)=0.6，條件概率P(B|A)=0.8，試

18、求P(AB)及P().解 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5´0.8=0.4 P()=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-0.5-0.6+0.4=0.32一批零件共100個，次品率為10%，從中不放回取三次（每次取一個），求第三次才取得正品的概率。10´9´90819解 p=. =100´99´9899´9810783某人有一筆資金，他投入基金的概率為0.58，購買股票的概率為0.28，兩項投資都做的概率為0.19(1) 已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？(2) 已知他已購買股票，再投

19、入基金的概率是多少？解 記A=基金，B=股票，則P(A)=0.58,P(B)=0.28,P(AB)=0.19P(AB)0.19(1) P(B|A)=0.327. P(A)0.58P(AB)0.19(2) P(A|B)=0.678. P(B)0.284給定P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.15，驗證下面四個等式：P(A|B)=P(A),P(A|)=P(A), P(B|A)=P(B)，P(B|)=P(B).P(AB)0.151解 P(A|B)=P(A) P(B)0.32P(A)P(A)-P(AB)0.5-0.150.35 P(A|)=0.5=P(A) P()1-P(B)0.70.

20、7P(AB)0.15 P(B|A)=0.3=P(B) P(A)0.5P(B)P(B)-P(AB)0.3-0.150.15=P(B) P()1-P(A)0.50.55有朋自遠(yuǎn)方來，他坐火車、船、汽車和飛機的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火車，遲到的概率是0.25，若坐船，遲到的概率是0.3，若坐汽車，遲到的概率是0.1，若坐飛機則不會遲到。求他最后可能遲到的概率。 P(B|)=解 B=遲到，A1=坐火車，A2=坐船，A3=坐汽車，A4=乘飛機，則 B=UBAi，i=14且按題意P(B|A1)=0.25，P(B|A2)=0.3，P(B|A3)=0.1，P(B|A4)=0.由全概率公

21、式有：P(B)=åP(Ai)P(B|Ai)=0.3´0.25+0.2´0.3+0.1´0.1=0.145i=146已知甲袋中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球。求下列事件的概率：(1) 隨機取一只袋，再從該袋中隨機取一球，該球是紅球；(2) 合并兩只袋，從中隨機取一球，該球是紅球。解 (1) 記B=該球是紅球，A1=取自甲袋，A2=取自乙袋，已知P(B|A1)=6/10，P(B|A2)=8/14，所以161841 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=´+´=21021470147(2) P(B)

22、= 2412 7某工廠有甲、乙、丙三個車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%，35%，40%，各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%，4%，2%，求該廠產(chǎn)品的次品率。解 0.25´0.05´+0.35´0.04+0.4´0.02=0.0125+0.0140+0.008=0.0345=3.45%8發(fā)報臺分別以概率0.6，0.4發(fā)出&quot;·&quot;和&quot;-&quot;，由于通信受到干擾，當(dāng)發(fā)出&quot;·&quot;時，分別以概率0.8和0.2收到&quot;

23、·&quot;和&quot;-&quot;，同樣，當(dāng)發(fā)出信號&quot;-&quot;時，分別以0.9和0.1的概率收到&quot;-&quot;和&quot;·&quot;。求(1) 收到信號&quot;·&quot;的概率；(2) 當(dāng)收到&quot;·&quot;時，發(fā)出&quot;·&quot;的概率。解 記 B=收到信號&quot;·&quot;，A=發(fā)出信號&quot;·&

24、amp;quot; (1) P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.6´0.8+0.4´0.1=0.48+0.04=0.52 P(A)P(B|A)0.6´0.812(2) P(A|B)=. P(B)0.52139設(shè)某工廠有A,B,C三個車間，生產(chǎn)同一螺釘，各個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%，35%，40%，各個車間成品中次品的百分比分別為5%，4%，2%，如從該廠產(chǎn)品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是車間A,B,C生產(chǎn)的概率。解 為方便計，記事件A,B,C為A,B,C車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，事件D=次品，因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|

25、B)+P(C)P(D|C)=0.25´0.05+0.35´0.04+0.4´0.02=0.0125+0.014+0.008=0.0345P(A)P(D|A)0.25´0.05P(A|D)=0.362 P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35´0.04P(B|D)=0.406 P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4´0.02P(C|D)=0.232 P(D)0.034510設(shè)A與B獨立，且P(A)=p,P(B)=q，求下列事件的概率：P(AUB)，P(AU)，P(U). 解 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(

26、B)=p+q-pqP(AU)=P(A)+P()-P(A)P()=p+1-q-p(1-q)=1-q+pqP(U)=P(AB)=1-P(A)P(B)=1-pq11已知A,B獨立，且P()=1/9,P(A)=P(B)，求P(A),P(B).解 因P(A)=P(B)，由獨立性有P(A)P()=P()P(B)從而 P(A)-P(A)P(B)=P(B)-P(A)P(B) 導(dǎo)致 P(A)=P(B)再由 P()=1/9，有 1/9=P()P()=(1-P(A)(1-P(B)=(1-P(A)2所以 1-P(A)=1/3。最后得到 P(B)=P(A)=2/3.12甲、乙、丙三人同時獨立地向同一目標(biāo)各射擊一次，命中

27、率分別為1/3，1/2，2/3，求目標(biāo)被命中的概率。解 記 B=命中目標(biāo)，A1=甲命中，A2=乙命中，A3=丙命中，則 B=UAi，因i=13而æ3ö21118÷P(B)=1-PçA=1-P(A)P(A)P(A)=1-´´=1-= 123çIi÷32399.èi=1ø13設(shè)六個相同的元件，如下圖所示那樣安置在線路中，設(shè)每個元件不通達(dá)的概率為p，求這 解 記 A=通達(dá)，Ai=元件i通達(dá)，i=1,2,3,4,5,6則 A=A1A2UA3A4UA5A6， 所以P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)+

28、P(A5A6) -P(A1A2A3A4)-P(A3A4A5A6)-1256123456=3(1-p)2-3(1-p)4+(1-p)614假設(shè)一部機器在一天p=çç3÷èø15燈泡耐用時間在1000小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率。æ3öæ3ö3ç÷÷´0.8´(0.2)2=0.008+0.096=0.104. 解 p=ç÷(0.2)+çç÷è3

29、8;è2ø16設(shè)在三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，求事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率P(A).解 記Ai=A在第i次試驗中出現(xiàn)，i=1,2,3. p=P(A)æ3ö193÷=PçA=1-P(AAA)=1-(1-p)依假設(shè) Ui123ç÷27èi=1ø8所以， (1-p)3=， 此即 p=1/3. 2717加工一零件共需經(jīng)過3道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為2%、3%、5%. 假設(shè)各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率。解 注意到，加工

30、零件為次品，當(dāng)且僅當(dāng)1-3道工序中至少有一道出現(xiàn)次品。記 Ai=第i道工序為次品，i=1,2,3. 則次品率æ3öp=PçAçUi÷÷=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-0.98´0.97´0.95=1-0.90307»0.097 èi=1ø18三個人獨立破譯一密碼，他們能獨立譯出的概率分別為0.25，0.35，0.4. 求此密碼被譯出的概率。解 記 A=譯出密碼， Ai=第i人譯出，i=1,2,3. 則æ3öP(A)=PçAçUi

31、7;÷=1-P(A1)P(A2)P(A3) èi=1ø=1-0.75´0.65´0.6=1-0.2925=0.707519將一枚均勻硬幣連續(xù)獨立拋擲10次，恰有5次出現(xiàn)正面的概率是多少？有4次至6次出現(xiàn)正面的概率是多少？10æ10öæ1ö63÷=解 (1) ç ； ç÷ç5÷2256èøèøæ10öæ1ö(2) åççk÷

32、47;ç2÷.k=4èøèø20某賓館大樓有4部電梯，通過調(diào)查，知道在某時刻T，各電梯正在運行的概率均為0.75，求： 610 (1) 在此時刻至少有1臺電梯在運行的概率；(2) 在此時刻恰好有一半電梯在運行的概率；(3) 在此時刻所有電梯都在運行的概率。255解 (1) 1-(1-0.75)4=1-(0.25)4= 25622æ4ö27æ3öæ1ö22÷(0.75)(0.25)=6´´=(2) ç ç÷ç

33、÷ç2÷128è4øè4øèø81æ3ö(3) (0.75)=ç÷= 256è4ø44 習(xí)題四解答1. 下列給出的數(shù)列，哪些是隨機變量的分布律，并說明理由。i（1）pi=,i=0,1,2,3,4,5； 15(5-i2),i=0,1,2,3； （2）pi=61（3）pi=,i=2,3,4,5； 4i+1（4）pi=,i=1,2,3,4,5。 25解 要說明題中給出的數(shù)列，是否是隨機變量的分布律，只要驗證pi是否滿足下列二個條件：其一條件為pi

34、79;0,i=1,2,L，其二條件為åpi=1。i依據(jù)上面的說明可得（1）中的數(shù)列為隨機變量的分布律；（2）中的數(shù)列不是隨機變量的分布律，5-94因為p3=（3）中的數(shù)列為隨機變量的分布律；（4）中的數(shù)列不是隨機變量的分布律，=-<0；66520¹1。 這是因為åpi=25i=1c2. 試確定常數(shù)c，使P(X=i)=i,(i=0,1,2,3,4)成為某個隨機變量X的分布律，并求：P(X£2)；25öæ1Pç<X<÷。 2øè24cc16解 要使i成為某個隨機變量的分布律，必須有

35、åi=1，由此解得c=； 3122i=0（2） P(X£2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)16æ11ö28 =ç1+÷= 31è24ø315ö16æ11ö12æ1（3）Pç<X<÷=P(X=1)+P(X=2)=ç+÷=。 22312431èøèø3. 一口袋中有6個球，在這6個球上分別標(biāo)有-3，-3，1，1，1，2這樣的數(shù)字。從這袋中任取一球，設(shè)各個球被取到的可能性相同，求

36、取得的球上標(biāo)明的數(shù)字X的分布律與分布函數(shù)。111解 X可能取的值為-3，1，2，且P(X=-3)=,P(X=1)=,P(X=2)=，即X的分布律為 326X -3 1 2 概率1 31 21 6X的分布函數(shù) 0 x<-31F(x)=P(X£x)= -3£x<1351£x<261 x³24. 一袋中有51，2，3，4，5，從中隨機地取3個，以X表示取出的3個球中最大號碼，寫出X的分布律和分布函數(shù)。解 依題意X可能取到的值為3，4，5，事件X=3表示隨機取出的3個球的最大號碼為3，11=；事件X=4表示隨機取出的3個球的最大æ5&

37、#246;10çç3÷÷èøæ3ö1´çç2÷÷èø=3號碼為4，因此另外2個球可在1、2、3號球中任選，此時P(X=4)=；同理可得510æöçç3÷÷èøæ4ö1´çç2÷÷èø=6P(X=5)=。10æ5öçç3÷÷

38、;èø則另兩個球的只能為1號，2號，即P(X=3)=X的分布律為X的分布函數(shù)為0 x<313£x<4 1044£x<5101 x³5F(x)=5. 5次射擊，每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為0.6，求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律。解 依題意X服從參數(shù)n=5,p=0.6的二項分布，因此，其分布律æ5ök5-kP(X=k)=ççk÷÷0.60.4,k=0,1,L,5，èø6. 從一批含有到的可能性相等。在下列三種情形下，分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律

39、。（1） 每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品； （2） 每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中； （3） 每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品。解 （1）設(shè)事件Ai,i=1,2,L表示第i次抽到的產(chǎn)品為正品，依題意，A1,L,An,L相互獨立，且P(Ai)=10,i=1,2,L而 13P(X=k)=P1Lk-1Ak=P1LPk-1()()()æ3öP(Ak)=ç÷è13øk-110,k=1,2,L 13即X服從參數(shù)p=P(X=1)=10的幾何分布。 13（2）由于每次取出的產(chǎn)品不再放回，因此，X可能取到的值為1，2，3，4，103

40、´105,P(X=2)=,1313´1226 3´2´1053´2´1´101P(X=3)=,P(X=4)=.13´12´1114313´12´11´10286X的分布律為P(X=1)=（3）X可能取到的值為1103´1133,P(X=2)=,1313´13169 3´2´12723´2´16P(X=3)=,P(X=4)=.13´13´13219713´13´132197所求X

41、的分布律為7. 設(shè)隨機變量XB(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5)，求p與P(X=2)的值。k6-k解 由于XB(6,p)，因此P(X=6)=çç÷÷p(1-p),k=0,1,L,6。æ6öèkø由此可算得 P(X=1)=6p(1-p)5,P(X=5)=6p5(1-p), 即 6p(1-p)5=6p5(1-p), 解得p=；æ6öæ1öæ1öç()PX=2=此時，ç2÷÷ç2÷ç2

42、÷èøèøèø26-2126´5æ1ö15=´ç÷=。 2!è2ø6468. 擲一枚均勻的硬幣4次，設(shè)隨機變量X表示出現(xiàn)國徽的次數(shù)，求X的分布函數(shù)。解 一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國徽的概率為，因此X服從n=4,p=的二項分布，即æ4öæ1öæ1öP(X=k)=ççk÷÷ç÷ç÷èø

43、32;2øè2øk4-k1212,k=0,1,2,3,4由此可得X的分布函數(shù)0， x<01， 0£x<1 165F(x)= ， 1£x<216 11， 2£x<3 1615 ， 3£x<4 161， x³49. 某商店出售某種物品，根據(jù)以往的經(jīng)驗，每月銷售量X服從參數(shù)l=4的泊松分布，問在月初進(jìn)貨時，要進(jìn)多少才能以99%的概率充分滿足顧客的需要？解 設(shè)至少要進(jìn)n件物品，由題意n應(yīng)滿足P(X£n-1)<0.99,P(X£n)³0.99,即 P(X

44、63;n-1)=åP(X£n)=åk!n-14kk=0n4kk!e-4<0.99 e-4³0.99k=0查泊松分布表可求得 n=9。10. 有一汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為0.0001，在某天該段時間設(shè)X為1000輛汽車中出事故的次數(shù)，依題意，X服從n=1000,p=0.0001的二項分布，即XB(1000,0.0001)，由于n較大，p較小，因此也可以近似地認(rèn)為X服從l=np=1000´0.0001=0.1的泊松分布，即XP(0.1)，所求概率為P(X³2)=1-P(X=0)-P(X=1)0.10

45、-0.10.11-0.1 »1-e-e0!1!=1-0.904837-0.090484=0.004679.11. 某試驗的成功概率為0.75，失敗概率為0.25，若以X表示試驗者獲得首次成功所進(jìn)行的試驗次數(shù)，寫出X的分布律。解 設(shè)事件Ai表示第i次試驗成功，則P(Ai)=0.75，且A1,L,An,L相互獨立。隨機變量X取k意味著前k-1次試驗未成功，但第k次試驗成功，因此有P(X=k)=P(A1LAk-1Ak)=P(A1)LP(Ak-1)P(Ak)=0.25k-10.7512. f(x)= 2x， 0<x<A0， 其他，試求：（1A；（2）X的分布函數(shù)。解 （1）f(x

46、)成為某個隨機變量的密度函數(shù)必須滿足二個條件，其一為f(x)³0；其二為+¥Aò-¥f(x)dx=1，因此有ò02xdx=1，解得A=±1，其中A=-1舍去，即取A=1。（2）分布函數(shù)F(x)=P(X£x)=ò-¥f(x)dx xò-¥0dx= ò-¥0dx+ò02xdx00xxx<0 0£x<1 xò-¥0dx+ò02xdx+ò10dx1x³1 01x<0 = x2 0

47、3;x<1 x³113. X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-x,-¥<x<+¥，求：（1）系數(shù)A；（2）P(0<X<1)；（3）X的分布函數(shù)。+¥解 （1）系數(shù)A必須滿足ò-¥Ae-xdx=1，由于e-x為偶函數(shù)，所以ò-¥Ae解得A=； 1211+¥-xdx=2ò0Ae+¥-xdx=2ò0Ae-xdx=1 +¥（2）P(0<X<1)=ò0e-xdx=ò0e-xdx=（3）F(x)=ò-¥

48、x112f(x)dxx211-e-1； 2()1-xx<0ò-¥2edx=01-xx1-xx³0ò-¥2edx+ò02edx1xx<0ò-¥2edx= 01x1x-xx³0edx+eò-¥2ò02dxx1xx<0e= 2 11+1-e-xx³0221xx<0e= 2 1-x1-ex³02()14. 證明：函數(shù)xf(x)= ce0-x22cx³0 x<0 （c為正的常數(shù)）為某個隨機變量證 由于f(x)³0，且

49、ò-¥f(x)dx=ò-¥e+¥+¥x-cx22cdx=-ò0e+¥-x2æ2cdç-çè-xö÷=-e2c2c÷ø2x2+¥=1， 0因此f(x)滿足密度函數(shù)的二個條件，由此可得f(x)為某個隨機變量的密度函數(shù)。15. 求出與密度函數(shù)0.5ex0x£0x>2xf(x)= 0.25 0<x£2 F(x)的表達(dá)式。 解 當(dāng)x£0時，F(xiàn)(x)=ò-¥f(x)dx=

50、42;-¥0.5exdx=0.5ex x當(dāng)0<x£2時，F(xiàn)(x)=ò-¥f(x)dx=ò-¥0.5exdx+ò00.25dx=0.5+0.25x x0x 當(dāng)x>2時，F(xiàn)(x)=ò-¥0.5exdx+ò00.25dx+ò20dx=0.5+0.5=1 02x綜合有0.5ex,1,x£0;x³2.F(x)= 0.5+0.25x, 0£x£2;16. 設(shè)隨機變量X在(1,6)上服從均勻分布，求方程t2+Xt+1=0有實根的概率。 解 X的密度

51、函數(shù)為1, 1<x<6； 50, 其他. f(x)方程t2+Xt+1=0有實根的充分必要條件為X2-4³0，即X2³4，因此所求得概率為461PX2³4=P(X£-2或X³2)=P(X£-2)+P(X³2)=0+ò2dx=。 55()17. 設(shè)某藥品的有效期X以天計，其概率密度為f(x)= 20000x+1003, x>0;0， 其他.求：(1) X(2) 至少有200天有效期的概率。,x<0;x解 (1) F(x)=ò-¥f(x)dx= x20000 dx,ò

52、0x+1003x³0.0,x<0;10000 = 1-,x+1002x³0.æ100001-(2)P(X>200)=1-P(X£200)=1-F(200)=1-çç200+1002èö1÷= 。 ÷9ø18. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)= 0,1-(1+x)e-x, x£0x>0求XP(X£1)和P(X>2)。解 由分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的關(guān)系，可得在f(x)的一切連續(xù)點處有f(x)=F¢(x)，因此f(x)= -

53、x,0, x>0其他所求概率P(X£1)=)=1-(1+1)e-1=1-2e-1；19. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx,-¥<x<+¥，求(1) 常數(shù)A,B；(2)PX<1)；(3) 隨機變量X的密度函數(shù)。解：(1)要使F(x)成為隨機變量X的分布函數(shù)，必須滿足limF(x)=0,limF(x)=1，即 x®-¥x®+¥P(X>2)=1-P(X£2)=1-F(2)=1-1-(1+2)e-2=3e-2。 ()lim(A+Barctanx)=0lim(A+Barc

54、tax)n=1x®-¥x®+¥ A-p2B=0計算后得A+B=121A=2 解得 1B=p p1111時，F(xiàn)(x)=+arctanx也滿足分布函數(shù)其余的幾條性質(zhì)。 2p2p（2） P(X<1)=P(-1<X<1)=F(1)-F(-1) 另外，可驗證當(dāng)A=,B=11é11ù+arctan1-ê+arctan(-1)ú 2pë2pû1p1æpöp=×-×ç-÷= p4pè4ø21,-¥<

55、x<+¥。 p1+x2（3）X的密度函數(shù) f(x)=F¢(x)= 20. min）服從l=的指數(shù)分布，其密度函數(shù)xx>1-5為f(x)= 5e, 10min，他就離開。其他015（1）設(shè)某顧客某天去銀行，求他未等到服務(wù)就離開的概率；（2）設(shè)某顧客一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)的概率。 解 （1）設(shè)隨機變量X表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間，依題意X服從l=的指數(shù)分布，且顧客等待時間超過10min就離開，因此，顧客未等到服務(wù)就離開的概率為P(X³10)=ò10+¥151-5edx=e-2； 5x（2）設(shè)Y表示某

56、顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù)，則Y服從n=5,p=e-2的二項分布，所求概率為P(Y£1)=P(Y=0)+P(Y=1)æ5ö-2=çç0÷÷eèø()(1-e)0-25æ5ö-2-2÷+çe1-eç1÷èø()4=1+4e-21-e-2()()421. 設(shè)X服從N(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：（1）P(X<2.2)；（2）P(X>176)；（3）P(X<-0.78)；（4）P(X<1

57、.55)；（5）P(X>2.5)。解 查正態(tài)分布表可得（1）P(X<2.2)=F(2.2)=0.9861；（2）P(X>1.76)=1-P(X£1.76)=1-F(1.76)=1-0.9608=0.0392；（3）P(X<-0.78)=F(-0.78)=1-F(0.78)=1-0.7823=0.2177；（4）P(X<1.55)=P(-1.55<X<1.55)=F(1.55)-F(-1.55)=F(1.55)-(1-F(1.55)=2F(1.55)-1=2´0.9394-1=0.8788PX>2.5)=1-PX£2.

58、5)=1-2F(2.5)-1（5）=2-2F(2.5)=2(1-0.9938)=0.0124。22. 設(shè)X服從N(-1,16)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：（1）（2）P(X<2.44)；P(X>-1.5)；（3）P(X<-2.8)；（4）P(X<4)；（5）P(-5<X<2)；（6）P(X-1>1)。解 當(dāng)XN(m,s2)時，P(a£X£b)=Fç數(shù)表可求得æ2.44+1ö÷=F(0.86)=0.8051； 4èøæ-1.5+1ö（2）P(X&

59、gt;-1.5)=1-Fç÷=1-F(-0.125) 4èø=1-(1-F(0.125)=F(0.125)=0.5498； æb-möæa-mö÷-Fç÷，借助于該性質(zhì)，再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函ssèøèø（1）P(X<2.44)=Fçæ-2.8+1ö÷=F(-0.45)=1-F(0.45)=1-0.6736=0.3264； 4èøæ4+1öæ-4+1

60、46;（4）P(X<4)=Fç÷-Fç÷=F(1.25)-F(-0.75) 44èøèø=F(1.25)-1+F(0.75)=0.8944-1+0.7734=0.6678； （3）P(X<-2.8)=Fç（5）P(-5<X<2)=Fç=F(0.75)-F(1)+1=0.7734-0.8413+1=0.9321； æ2+1öæ-5+1ö÷-Fç÷=F(0.75)-F(-1) è4ø&#

61、232;4ø（6）P(X->1)=1-PX-1£1)=1-P(0£X£2)=1-êFçéæ2+1öæ0+1öù÷-Fç÷ú è4øûëè4ø=1-F(0.75)+F(0.25)=1-0.7724+0.5987=0.8253。23. 某廠生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布N(2.05,0.01)，合格品的規(guī)格規(guī)定為2±0.2，求該廠滾珠的合格率。解 所求得概率為æ

62、;2.2-2.05öæ1.8-2.05öP(2-0.2£X£2+0.2)=Fç÷-Fç÷0.1ø0.1øèè=F(1.5)-F(-2.5)=F(1.5)-1+F(2.5)=0.9332-1+0.9938=0.92724. 某人上班所需的時間XN(30,100)（單位：min）已知上班時間為8：30，他每天7：50出門，求：（1）某天遲到的概率；（2）一周（以5天計）最多遲到一次的概率。解 （1）由題意知某人路上所花時間超過40分鐘，他就遲到了，因此所求概率為

63、0;40-30öP(X>40)=1-Fç÷=1-F(1)=1-0.8413=0.1587； 10èø（2）記Y為5天中某人遲到的次數(shù)，則Y服從n=5,p=0.1587的二項分布，5天中最多遲到一次的概率為æ5öæ5ö054÷ç÷()()()P(Y£1)=ç0.1587´0.8413+0.1587´0.8413=0.8192。 ç1÷ç1÷èøèø 習(xí)題

64、五解答1. 二維隨機變量(X,Y)只能取下列數(shù)組中的值：(0,0),(-1,1),ç-1,÷,(2,0)，且取這些組值的概率依次為,æè1ö3ø1115,，求這二維隨機變量的分布律。 631212解 由題意可得(X,Y)的聯(lián)合分布律為 2. 1,2,2,3中任取一球。設(shè)每次取球時，袋中每個球被取到的可能性相同。以X、Y分別記第一、二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(X,Y)的分布律及P(X=Y)。解 X可能的取值為1,2,3，Y可能的取值為1,2,3，相應(yīng)的，其概率為1´211´11=,P(X=1,Y=3)=,4´364