武漢理工大學(xué)數(shù)值分析報(bào)告考試試題

1、武漢理工大學(xué) 考試試題紙(A 卷)題號(hào)一一一二三四五六七八九十總分題分10101010101010101010100課程名稱數(shù)值分析專業(yè)班級(jí)信息專業(yè)備注：學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題 )1、已知 f(1)=2, f (1>1, f (2)=1，求 f (x)的 Lagra nge 插值多項(xiàng)式。2、已知列表函數(shù)y=f(x):x1234y0-5-63試求滿足上述插值條件的3次Newton插值多項(xiàng)式p3(x)3、已知函數(shù)y = f (x)的數(shù)值表x0123y ：121764試分別求出f (x)的三次Newt on向前和向后插值公式；并分別計(jì)算x =0.5和x =2.5時(shí)，f

2、 (x)的近似值。(1 1)4設(shè)A=，計(jì)算A的各種范數(shù)。1-3 3'23)5、計(jì)算矩陣A=的條件數(shù)Cond(Ah丘3.0001丿6、分別寫(xiě)出方程組10x1 _ x _ 2x3 7.2« -冶 +10x2 2x3 =8.3 的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式。一捲x2 +5x3 =4.27、 用Newton迭代法求方程f (x) =x3+2x-5 =0的根，要求| Xk出一 xk |< 10° .h8、 試確定求積公式f (x)dx肚A°f (0) +A f (h) +A2廠(0)使其具有盡可能高的代數(shù)精度。1 sin x

3、9、設(shè)I = fdx，利用復(fù)化梯形公式0 xTn計(jì)算I的近似值，要使|lTn|蘭尹10，n應(yīng)取多少?并計(jì)算Tn .10、確定xi,X2,A,A2，使下面公式成為Gauss型求積公式1 f(x)0dx ： A f (為)A2 f(X2)1、設(shè)焉-1,X= 1,x2=2,y0= 2,yi= 1,y2= 1，則lo(X)glr+Hz 2)li(x)(X-Xo)(X-X2)(xi - X0)(X1- X2)(X 1)(x-2)(1 1)(1-2)=(x2 x 2),故所求插值多項(xiàng)式為1 2P2(x)二y°l°(x) Wx) y2(x) =-3x 8).2、造差商表X0 =1y0 =

4、 0x<)= 2% = -5f X0,X1 = -5x2 =3y2 = -6f X1,X2 =-1口心捲必=2X3 =4y3= 3fX2,X3 =9f X1,X2,X3】=5fX0,X1,X2,X3=1則所求3次Newt on插值多項(xiàng)式為P3(x) = f(Xo) fXo,Xj(X -Xo) fXo,X!,X2(X -Xo)(X-X1)fX0,X1,X2,Xs(X X°)(X Xj(X X2)=0-5(x-1) 2(x-1)(x-2) 1 (x-1)(x-2)(x-3)32=x -4x 3P3(x)二 y° 點(diǎn) y。t=1 11!3、造向前和向后差分表怡=0y

5、6; t心y0 (可y* =-5X1 =1y1 =2也2y° W)=14紉1®2)=15也3y° 30)=18x2 =2y2 =1722也 y1 (帝 y2)=32也y2 (內(nèi)3)=47X3 3y3 = 64則所求三次Newt on向前插值公式為2!3!t(t -1)t(t-1)(t-2)14182!3!=1 -2t2 3t3f (0.5) ： P3(0.5) =0.875.x =0.5 = X。 th, h =1 = t = 0.5，所求三次Newt on向后插值公式為、 八廠Q(t+1)存 t(t+1)(t+2)護(hù)P3 (x) = y3y3y3y31!2!3!

6、t ” t(t+1) ” t(t+1)(t+2) “=644732181!2!3!23=64 _69t 25t 3tx =2.5 二怡 th, h =1 二 t = -0.5 , f (2.5) ： P3(2.5) =35.375.4、A“ =max1-3, 1 3=4; A 二= max1 1, -3 3 =6 ;A E =12 12-32 3212 二、20 =2、5;T'1 -3Y 11) ”0 8)AtA=|J 3人Y 3丿J8 10丿T10-人-8222ATA&l =(k10)2 82 =九220 九+ 36=(丸一18)(& 2)-810-九得ata的兩個(gè)特

7、征值1=18,2=2.，m=max ,2 = max18, 2 = 18 ,故A2A-3 Ag 3.0001*3.0001 -3_ 1*3.0001 -3f 30001-30000'1一22_ 0.00011一221-2000020000 ，A1= max2 + 2, 3+|3.0001 = 6.0001 ；"AA41 =max30001 | +|20000 , 30000 + 20000 =50001 ；Cond(Ah 討汕卜亂=6.000仆50001 =300011.0001 .6、 從方程組(4.5)中分離出,x2,x3 :x1 = 0.1x20.2x30.72x2 =

8、0.1為 0.2 x30.83x3 二 0.2x1 0.2 x2 0.84宀=0.1x2k)+O.2x3k)+0.72據(jù)此建立 Jacobi 迭代公式 x2k Q =0.1x(k八 0.2x3k) 0.83?3宀=0.2x(k)+O.2x2k)+0.84=0.1x2k)+O.2x3k)+0.72及 Gauss-Seidel 迭代公式 * x2k4r)=0.1x：k+) +O.2x3k)+0.83 卅十)=0.2x3)+0.2x2宀)+0.84Newt on迭代公式Xk 1 = xkf (xk)f (xk)xkX； 2xk -53xk 2k =0,1；f (x) =X3 2x -5 =0 f (

9、x) = 3x3 2，據(jù)此建立取Xo =1.5迭代結(jié)果列于下表中。kxXk 人01.511.342857140.15714321.328384140.01447331.328268860.00011541.328268867.2616210-由表結(jié)果知 =1.32826886是x*的滿足條件的近似值& 這里有三個(gè)待定常數(shù) Ao,Ai,A2，將f(x)=1, X, X2代入，得h2h3A, AhA2, Ah2,232hh2解得A0 h, y書(shū).于hhf (x)dx 4f (0) 2f (h) hf (0).06直接驗(yàn)證，當(dāng)f(x)=x3時(shí),1 1(2.6)的左邊h4，右邊 h4.故求積公

10、式的最咼代數(shù)精度3d =2.sin x9、因?yàn)?f (x)：10cos(xt)dt，所以(k)/ 、f (x)1 dkdxk (COs(xt)dt 二10tk cos(xt1f (k)(x)蘭tk cos(xt +)dt <ftkdt0(1) a = 0，b =1，要使Tn滿足誤差要求,只需R(f,Tn)二f -Tn =-(11：02)3fr)12n2由式(4.2)，112n21 12 136n2-1022b a 1即n _55.55556，亦即n 一 7.45356，故應(yīng)取n =8 .則步長(zhǎng)h，相應(yīng)地取n 89個(gè)節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)表xf(x)xf(x)01.00000005/80.9361556

11、1/80.99739786/80.90885162/80.98961587/80.87719253/80.976726710.84147094/80.9588510用復(fù)化梯形公式得T81 0.8414709 2 (0.9973978 0.98961582 80.97672670.95885100.93615560.90885160.8771925) = 0.9456909 .10、因?yàn)閮牲c(diǎn)Gauss型求積公式具有2n -1=2 2-1=3次代數(shù)精度，所以 當(dāng)f(x) =1, x, x2, x3時(shí)，上述兩點(diǎn) Gauss型求積公式應(yīng)準(zhǔn)確成立，由此得:2x3 2102 -x1A，x2,32x52解得22AA2x2,5233AmA2x2,解法二 因?yàn)樯鲜鰞牲c(diǎn)Gauss型求積公式的Gauss點(diǎn)x1,x2是0, 1上以?(x 1 , x為權(quán)函數(shù)的某2次正交多項(xiàng)式p2(x)的零點(diǎn)，不妨設(shè) P2(x) =(x-xj(x-X2).于是1 (x _xj(xx2) d x =0