拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例

1、從拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)案例握”降為“了解”，但是“了解”并不是不考，在今年的高考，考題仍然集中在橢圓和拋物線上，而拋物線主要又客觀題的形式出現(xiàn)，比如今年廣東省的文科第11題理科的11題，所以在教學(xué)中仍然要充足的重視，并不能放松這部分的教學(xué),這是其一；其二，雖然拋物線的要求有所降低，但是它的功能仍然不能小看，由于它的解題思路方法與其它的圓錐曲線是相通的，它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的形成和計算水平的培養(yǎng)，有著不可替代的作用。這種觀點，在雙曲線教學(xué)方面，同樣體現(xiàn)出來。由于學(xué)生對于橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經(jīng)熟悉了，所以在本節(jié)對拋物線的教學(xué)，能夠適當(dāng)增大學(xué)生自主學(xué)習(xí)的份量。2.教學(xué)背景:我校是

2、屬于廣州市第E類學(xué)校，我上課的班級是我們高二（一）班政治班，在學(xué)校同年紀(jì)十個班中，上學(xué)期數(shù)學(xué)排名第七。學(xué)生知識基礎(chǔ)十分薄弱，體現(xiàn)在對初中的數(shù)學(xué)知識，比如簡單的整式運算、解不等式和方程、函數(shù)等，都沒有掌握。上課時間:2007年10月21日上午第四節(jié)。 二、 教學(xué)目標(biāo):1.知識目標(biāo): 了解拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，進一步掌握坐標(biāo)法。2.水平目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的探究水平，合理猜想水平，數(shù)與式的計算水平，描點作圖水平，自學(xué)閱讀水平。 三、原教學(xué)過程設(shè)計:1.  用多媒體演示拋物線的形成。2.  學(xué)生從演示中找出不變量，并求出軌跡方程，教

3、師巡視指導(dǎo)。3.  教師總結(jié)求軌跡方程中存有的問題。4.  學(xué)生自學(xué)焦點準(zhǔn)線，例1，完成P59的相對應(yīng)練習(xí)。5. 教師總結(jié)練習(xí)中的問題。6. 布置作業(yè):猜測其它四種形式的方程，并推導(dǎo)其中一種，或幾種。 四、教學(xué)實錄: 1溫故知新，提出問題:教師打開多媒體，準(zhǔn)備用幾何畫板演示拋物線軌跡的形成，然后再讓學(xué)生求軌跡方程。結(jié)果，發(fā)現(xiàn)多媒體用不了。 開始:若在此處使用多媒體，其目的是通過試驗，演示拋物線的形成，引起學(xué)生探究的興趣，讓學(xué)生從中找出等量關(guān)系，求出方程，這是常規(guī)的做法。精心計較的教學(xué)計劃被打亂，一陣短暫的猶豫之后，教師作了如下調(diào)整:（

4、改變1:原來計劃是通過演示引起學(xué)生探索軌跡的興趣，由他們自己找到不變量，找列方程，現(xiàn)在只能從另外一個角度引人）師:前面我學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線，請問，橢圓和雙曲線除了用到定點距離的和或差是常數(shù)(注意條件)定義外，還能夠怎么樣得到？（由于沒有提“第二定義”）。生:橢圓和雙曲線也能夠看作是到定點和定直線的距離的比是常數(shù)的點軌跡，師:何時是橢圓，何時是雙曲線？生:這個比大于零小于1，是橢圓；大于1是雙曲線；師:好。那么等于1，會怎么樣？有學(xué)生說拋物線，由于我在前面講課時，有提，部分學(xué)生有預(yù)習(xí)。師:好，這個多媒體用不了，我們下節(jié)再演示，我們來看:假設(shè)到定點的距離和定直線的距離相等，也就是說這個距離的比是常

5、數(shù)1，它的軌跡會什么樣子？    教師畫圖，將上述文字板書在黑板上。（通過橢圓雙曲線對比引入拋物線，加強了知識的橫向聯(lián)系，同樣達到了激發(fā)學(xué)生探究興趣的目的。） 2自主學(xué)習(xí)，探求方程師:好！我們大家能不能把它的軌跡求出來呢？就步驟是什么？生:建立坐標(biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)，找等量關(guān)系，師:好，看看怎么建立坐標(biāo)系？（學(xué)生有用定直線作y軸的，有用定點做原點的。）師:回憶一下橢圓雙曲線的方程建立過程看看？教師在黑板上演示二者建立坐標(biāo)系的過程。（這對于基礎(chǔ)差的學(xué)生來說，是必要的。）生:用過定點和定直線的垂線作x軸，定點和垂足之間的中點作原點，建立坐標(biāo)系。師:好，

6、下面，我們大家動手其軌跡方程。當(dāng)然，這里的已知量是動點和定直線，所以我們要設(shè)一個參數(shù)，我們用p來代表定點和定直線的距離。教師要求學(xué)生說出焦點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程。師:下面大家動手做，時間5到8分鐘。要求學(xué)生把書合上，實在不會做，才看書，做完的同學(xué)能夠?qū)φ諘镜倪^程，發(fā)現(xiàn)自己的問題。教師巡視，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生不會求，教師盡量給以指點。發(fā)現(xiàn)的問題具體有:1）小部分同學(xué)仍然不記得兩點間距離公式，不知道用公式。2）小部分不會表示點到直線的距離公式，個別學(xué)生問:y+怎么平方？3）計算錯誤很普遍。 3提綱摯領(lǐng)，師生小結(jié)。求軌跡方程中存有的問題，特別把y+得來的方式與學(xué)生實行討論，大家能說出三種方式得到

7、y+，其中大部分同學(xué)能用兩點式，有少數(shù)同學(xué)說到了點到直線的距離公式，但是只有個別的學(xué)生會用，由于準(zhǔn)線方程是比較特殊，至于用坐標(biāo)相減的方法，基本上沒有學(xué)生想到，經(jīng)老師引導(dǎo)才得出。實際上這個過程，我們用了十五分鐘，發(fā)現(xiàn)小部分學(xué)生做到了標(biāo)準(zhǔn)方程，教師在黑板上再實行了演算，并叫兩個做錯的學(xué)生，說出自己的錯誤原因，并要求做錯的學(xué)生，課外再做一遍。（雖然在前面的橢圓和雙曲線里都遇到過上述這些問題，教師也在教學(xué)中很重視，但是學(xué)生并沒有掌握，這對于普通中學(xué)的學(xué)生來說，是司空見慣的形象，所以教師必須真正的掌握學(xué)生的實際狀態(tài)，有計劃的提高學(xué)生的運算能力。） 4描點作圖，探求軌跡（改變2：原來設(shè)想用可以直

8、接多媒體演示，現(xiàn)在不能，又不能把答案直接告訴學(xué)生，只好采取描點作圖了），師：大家看，這樣的點的軌跡，會是什么？生：拋物線，師：怎么知道是拋物線？生：（無人回答）。 中間：若在此處運用多媒體，其作用是演示所求的軌跡方程的形狀，效果不比開始用多媒體差。（學(xué)生預(yù)習(xí)了，有些是看了書，當(dāng)然知道是拋物線）師：知道方程 ，怎么得到圖像？生:（停頓一片刻 ），有人回答 ：描點。師:就象畫拋物線，我們可以用描點法作圖，下面假設(shè)P=1,我們來描點作圖。由學(xué)生完成下面的列表描點作圖，讓一個學(xué)生上臺板演：x01234y0±1.4±2±2.2±2.8學(xué)生在黑板上畫出的是一條拋物線

9、，開口向著x軸正半軸。（教師在巡視過程中，指出一些描點中存在的問題，然后在小結(jié)中一一指出）。 結(jié)尾：若在此處運用多媒體，其作用是印證所畫的圖像是否正確，本節(jié)課，這種教學(xué)效果最佳。 5師生共同總結(jié)拋物線的性質(zhì)（改變3：原計劃是學(xué)生自學(xué)例一完成相關(guān)的練習(xí)，目的是鞏固焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并猜想拋物線的另外四種形式；通過上面的列表描點，讓我發(fā)現(xiàn)，在此處如果把拋物線的性質(zhì)引出，已經(jīng)是水到渠成的事情，而鞏固練習(xí)完全可以放到課外讓學(xué)生自己完成。）師：為什么不取負(fù)數(shù)？生：因為左邊是平方，P是大于零的，所以x不取負(fù)數(shù)，否則沒有意義。（經(jīng)引導(dǎo)說出）師：對了，大家看，我們這里描了多少個點？生：九個點。師：

10、這些點有什么關(guān)系？生：關(guān)于x軸對稱，師：為什么會有這個結(jié)果？生：（無人回答）。師：大家看橢圓和雙曲線的對稱性就明白了。生：（無人回答）。師：我們說橢圓和雙曲線的對稱性的討論，就是用點的坐標(biāo)去進行觀察得到的。所以我們這里大家把x和y的符號改變后，代入，發(fā)現(xiàn)什么？生：用-x 和y 代進去，方程不變，關(guān)于x軸對稱的。（由曲線方程探求曲線的性質(zhì)，這是解析幾何特點之一）。師：對了！能夠想到，很不錯！下面大家看實際上，我在知道了拋物線的一些性質(zhì)，下面我們總結(jié)一下。師生共同把拋物線的范圍，對稱性、頂點、離心率等總結(jié)出來，等于把下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容提前學(xué)完了而有關(guān)焦點準(zhǔn)線的練習(xí)，在已經(jīng)明白其意義的情況下，完全可

11、以另外安排時間練習(xí)。師：下次，我們再用幾何畫板把它的圖像給演示出來。（其實，演示的意義已經(jīng)不大，不過，在對圓錐曲線進行總結(jié)時，可以一并演示，加以對比，加深印象）這節(jié)課恰好到了時間，取得了意想不到的教學(xué)效果。 6課外自學(xué)，練習(xí)鞏固。布置學(xué)生課外自學(xué)例1，完成P59的相應(yīng)練習(xí)，并猜測拋物線的另外四種形式，推導(dǎo)一種或幾種。（把課堂延伸到了課外，由于本班學(xué)生學(xué)習(xí)較自覺，所以基本上能夠做到，教師只要加強檢查，下節(jié)課進行小結(jié)即可。）（本節(jié)課有大部分時間是讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，由于我剛剛接手這個班，所以重點在于培養(yǎng)學(xué)生的好的學(xué)習(xí)習(xí)慣：其中動手做是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，討論，猜想，閱讀，反思，都是學(xué)好數(shù)學(xué)不可缺

12、少的品質(zhì)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該著力加以培養(yǎng)。） 五  教學(xué)反思 1多媒體不能替代傳統(tǒng)教學(xué)現(xiàn)在，多媒體在學(xué)校中越來越普及，新課標(biāo)指出：“高中數(shù)學(xué)應(yīng)提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。數(shù)學(xué)課課堂教學(xué)中，正確的運用多媒體，有它獨特的作用，在函數(shù)、立體幾何與解析幾何的教學(xué)中，我經(jīng)常運用幾何畫板來輔助教學(xué)，尤其是在解析幾何的演示軌跡的形成中，能生動的說明軌跡形成的過程，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索熱情，加深他們對軌跡的深刻認(rèn)識。新課標(biāo)還指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容”，所以，對多媒體的運用

13、，要根據(jù)教材的實際需要，絕不可濫用，甚至，我認(rèn)為，在數(shù)學(xué)課中，不能什么都用多媒體，象我的這節(jié)課，如果直接用幾何畫板把拋物線的圖像畫出來，就沒有了后來對性質(zhì)的深入研究，如果后面再用一節(jié)課來講性質(zhì)，則只能從圖像上觀察，而不能象描點作圖那樣，對它的的性質(zhì)有這樣深刻的理解。雖然用描點作圖的方法，費時費力，但是順理成章的得出了拋物線的幾何性質(zhì)，且留有深刻的印象，不易忘記。而且描點作圖，也是大綱中規(guī)定學(xué)生必須掌握的基本方法之一。有些教師，什么都用多媒體，甚至在公開課中，連解答的過程都用多媒體寫好，直接呈現(xiàn)出來，這是對多媒體的典型的濫用，省去了動手做的過程，這與數(shù)學(xué)“從做中學(xué)”的原則是背道而馳的，其教學(xué)效果必然大打折扣。總之，數(shù)學(xué)教師離不開粉筆這種傳統(tǒng)工具，多媒體只是一種輔助教學(xué)的工具，那種期望多媒體一統(tǒng)天下的想法是不可行的。 2多媒體運用的最佳時機這節(jié)課實際上有三個時間可以展示多媒體。第一個時機：課的開始。其目的是動態(tài)演示圖像生成的過程，引起學(xué)生的興趣，從而去探索它的軌跡。第二個時機是在課的中間，就是得出了拋物線的方程后，目的是用幾何畫板來說明方程表示的圖像。第三個時機是：通過用手工作圖把圖像做出之后，其作用是驗證。每個不同時間使用幾何畫板的作用都不同，其效果當(dāng)然不同。在這節(jié)課中，應(yīng)該是第三種情況，就是我的這種情況是最佳的。教材上