第10講 開集的可測性

1、目的：熟悉一些常見的可測集，了解Borel 集類與Lebesgue集類的差別。重點與難點：基本內(nèi)容：一Borel集問題問題1：按按Lebesgue可測集的定義，我們所可測集的定義，我們所 熟悉的哪些集合是可測的？熟悉的哪些集合是可測的？問題問題2 2：由：由LebesgueLebesgue測度的性質(zhì)以及上面測度的性質(zhì)以及上面所熟悉的可測集，還能構(gòu)造出哪些可測所熟悉的可測集，還能構(gòu)造出哪些可測集？所有這些可測集構(gòu)成什么樣的集類？集？所有這些可測集構(gòu)成什么樣的集類？（1）開集與閉集的可測性命題1 Rn中任意開長方體都是可測的，且 。證明：我們在前一節(jié)已經(jīng)證明對任意開長方體I，有 ，所以只需證明I是

2、可測的就行了，又由關于可測集定義的討論，我們只要證明對任意開長方體J，有 | ImI |*IIm )(*)(*cIJmIJmJm 注意到 仍是個長方體， 故不難得知 （這與證明 類似）因此 從而I可測。證畢。IJ )(IJJIJc |,|)(*IJIJm |)(*IJJIJmc |*IIm |*IJJIJJJm )(*)(|*cIJmIJm 定義1 Rn中的集合 稱為左開右閉長方體。 與直線上開集的構(gòu)造有所不同，Rn中的開集未必可以表示成互不相交的開長方體的并，但可以表示成互不相交的左開右閉長方體之并，即, 1|),(1nidxcRXxGiiinn 引理1 Rn中的非空開集G都可表示成最多可數(shù)

3、個互不相交的左開右閉的長方體之并，即 是左開右閉長方體。證明：對每一正整數(shù)K,Rn可以分解成可數(shù)個形如 mi是正整數(shù)）的互不相交的左開右閉長方體之并。假設K=1時上述長方體中完全包含在G內(nèi)的那些為 iiiJJG, ,2/ )(2/| )(1kiikinkkmxmxxB , 1ni , 2 , 1)1( iIi（有限或可數(shù)個）。對于k1，用 表示上述那些完全被G包含但與任何 不相交的長方體。這樣就得到可數(shù)多個左開右閉的長方體 且它們互不相交，并滿足 。如果 ，則存在 ，使 注意到 故當k充分大時，含x的形如Bk的長方體一定完全包含在 中，從而也包含在G ，所以 一定在某個 中，即 )(kiI)

4、1()( klIki iIki1)(GIukiki )(,G 0 GO ),(02/1| knkB),(O)(kiI)(,kikiI 于是，（2）G型集、F型集、Borel集定理1 Rn中的任意開集、閉集、F型集、 G型集均為可測集。證明：由命題1知任一左開右閉長方體J 可測且mJ=|J|，從而由引理1知任意開集可測，進一步閉集、F 型集、G 型集均可測。證畢。,)(kikiIG 注：從定理1可知，可數(shù)個F6型集或G8型集的并或交仍是可測的。事實上，由開集經(jīng)過可數(shù)次的交、并、差運算后，所得的集合仍然是可測集。于是，由Rn中所有開集經(jīng)過上述運算而得的域就是一個可測集類。我們將這個集類記作B（Rn

5、）或B，稱為Rn中的Borel集類。B中元稱為Rn中的Borel集。因此我們又可以將剛才的結(jié)論敘述為：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可測集。 二Borel集類與Lebesgue集類的比較問題問題3 3：根據(jù)：根據(jù)LebesgueLebesgue外測度及可測集的外測度及可測集的定義，你認為定義，你認為LebesgueLebesgue可測集與可測集與BorelBorel集差別有多大？集差別有多大？問題問題4 4：對任意集合：對任意集合E E，能否找到包含，能否找到包含E E的的BorelBorel集集GG，使得它們有相同的外測度？，使得它們有相同的外測度？問題問題5 5：對上述：對上述

6、E E，能否找到包含在，能否找到包含在E E中的中的BorelBorel集集F F，使得它們具有相同的外測度？，使得它們具有相同的外測度？如果如果E E是可測集，情形又如何？是可測集，情形又如何？ Lebesgue可測集的結(jié)構(gòu) Borel集類已包含了我們經(jīng)常見到的Rn中的大多數(shù)集合，然而，的確仍有不少集合不是Borel集，如本章第一節(jié)中構(gòu)造的不可測集顯然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可測但卻不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我們已經(jīng)看到，如果一個集合的外測度為0，則它一定可測，但是外測度為0的集合卻未 必是Borel集，要證明這件事并不困難，比如，可以證明直線上B

7、orel集全體的勢為2c。事實上，Lebesgue可測集的全體顯然有不大于2c的勢，只需證明其勢不小于2c就可以了，我們已經(jīng)知道Cantor集是一個零測集，且有勢c，因而它的一切子集也是零測集，且其子集全體有勢2c。由此立知，Lebesgue可測集全體 遠比Borel集全體的勢力，上面的證明同時告訴我們，Cantor的一切子集中，確有很多不是Borel集，但它們都是Lebesgue可測集。 現(xiàn)在我們來看看，Lebesgue可測集與Borel集差別有多少，假設E是一個可測集，且不妨設 ，則對任意，存在可數(shù)個開長方體 ，使 mE), 2 , 1( ,)( iIni,)(1EInii 且由此易知事實

8、上,由于故由及, |1|1)(1)( iniiniImEnInEImnii1)()(1 mEImmEImniinii )()()(1)(1 1)()(1|)(ininiiIIm nImEImininii1|)(1)()(1 易得記 則Gn是開集，從而是G型集，而且 ，由立知 是Borel集與一個Lebesgue零測集之差。類似的辦法可以證明，能找到Borel集 ，使 ，即E也 nEImmii/1)()(1 )(1miinIG niGG 1EG nEGEGmn/1)()( )(EGm EF 0)( FEm 是Borel集與一個Lebesgue零測集之并。換言之，對任一Lebesgue可測集E，都

9、可以找到包含于其中的Borel集，使它們有相同的測度，也可以找到包含E的Borel集，使它們也有相同的測度。因此，Borel集與Lebesgue可測集的差別在于零測集上。問題問題6：問題：問題4中能否使中能否使G-E的外測度為零？的外測度為零？為什么？舉例說明。為什么？舉例說明。 即使 不是可測集，我們也可以找到Borel集，使它們有相同的外測度。這就是下面的 定理2 設 ，則存在Rn中的G8型集G，使 且 。證明：若 ，則顯然可找到這樣的G，（比如Rn本身就是其中一個）。故不妨設 ，此時 類假剛才的討論， 可nRE nRE ,EG EmmG* Em* Em*以找到開集Gn，使且令，令G即為所

10、求。證畢。 應該指出的是，如果E是不可測集，雖然可以找到Borel集 ，使 ，但的外測度不可能等于0，否則E=G-（G-E）將是可測集。EGn nEmmGn/10* nnGG 1EG EmmG* EG 定理3 若 是可測集，則有Rn中的 Borel集F，使 且證明：若E無界，則可作一列長方體 ，使 且 ，于是 是一列有界可測集列，且 ，從而 nRE EF 0)(, FEmmEmFnI1 nnIIEInn 1EIEnn 1 nnEE)()(1EImEmnn 若對每一En，可找到Borel集 ，使且則令，則，于是)(1EImnn )(limEImnn nnEF ,nnmEmF , 0)( nnFE

11、mnnnnmFmEmE limlimnnFF 1EF nnnnmFmFmFmE limlim進而 ；另一方面，由于故 。因此，我們只需就E是有界可測集情形證明就可以了。若E是有界的，則存在長方體 ，記 ，則S也是可測集，且由定理2知存在Borel集G，使 ，且 mEmF nnnnnFEFE 11)( 110)()(nnnnnFEmFEmEI EIS ,|mEImS SG ，令，則F仍是Borel集，且 ，顯然注意故。證畢。0)(, SGmmSmGIGFc EF 。mEmF mSmImGmIGImmF )(mEmEmImI )(0)(, FEmmFmE習題二1、證明有理數(shù)全體是R1中可測集，且測

12、 度為0。2、證明若E是Rn中有界集，則3、至少含有一個內(nèi)點的集合之外測度能否 為零？4、在a,b上能否作一個測度為ba但又 異開a,b的閉集？。 Em*5、若將1定理6中條件 去掉，等式是否仍成立？6、設E1、E2、是0，1中具有下述性 質(zhì)的可測集列：對任意 ，從這個 序列中可找到這樣的集Ek，使 證明，這些集合之并的測度等于1。7、證明對任意可測集A，B，下式恒成立。 ”“ )(0nknEm nnnnmEEm lim)lim(0 。 1kmE8、設A1、A2是0，1中兩個可測集且滿足， 證明：9、設A1、A2、A3 是0，1中三個可測集 且滿足 ,證明： 。mBmABAmBAm )()(1

13、21 mAmA。0)(21 AAm2321 mAmAmA。0)(321 AAAm10、證明存在開集G，使11、設E是R1中的不可測集，A是R1中的 零測集，證明： 不可測。12、若E是0，1中的零測集，其閉包 是否也為零測集？13、證明：若E是可測集，則對任意 存在 型集 ，使 。mGGm CAE E0 G6,FEG 14、證明：位于0 x軸上的任何集E（甚至 它在直線上為不可測集）在0 xy平面 上可測且其測度為零。15、證明有界集E可測當且僅當對任意 ， 存在開集 ，閉集 ，使。 )(,)(FGmFEm0 EG EF 。 )(FGm16、證明；若 是單調(diào)遞增集列（不 一定可測），則17、證

14、明Rn中的Borel集類B有連續(xù)勢。18、證明對任意閉集F，都可找到完備集 ，使19、證明只要 ，就一定可以找到 使對任意 都有nmRE 。mmmmEmEm*1lim)(* FF 1。mFmF 10 mE，E 0 。0),(0( Em （提示：利于閉集套定理）20、如果 可測， ，記 證明 也可測，且21、設 是零測集，證明 是零測集。nRE 0 a),( | ),(11ExxaxaxaEnn aE.)(mEaaEmn 12,)(RExxf | )()(ExxfEf 22、設 可測， 是含x0的任 一開區(qū)間，若下列極限存在 ，則稱d是E 在點x0的密度，顯然 ，如果 稱x0 是E的全密點。 （i）點a是否是 的有密度的點？ （即d0）1RE ),( ,baExo )/(),(lim0),(abEbamdxba 10 d1 d,baE (ii)作一集合E，使它在給定點x0具有 密度，且密度等于事先給定