排列組合典型例題(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上典型例題一例1 用0到9這10 個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 分析：這一問題的限制條件是：沒有重復(fù)數(shù)字；數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；個位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下： 如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）由此解法一與二 如果從千位數(shù)入手四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三 如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四 解法1：當個位數(shù)上排“0”時，千位，百位

2、，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有個； 當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有（個） 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個 解法2：當個位數(shù)上排“0”時，同解一有個；當個位數(shù)上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：個 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個 解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有 個干位上從2、4、6、8中任選一個

3、，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有個 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個 解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個其中四位奇數(shù)有個 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認真體會每種解法的實質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運用典型例題二例2 三個女生和五個男生排成一排 （1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？ （3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （

4、4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有種不同排法對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有對種不同的排法，因此共有種不同的排法 （2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有種

5、方法，因此共有種不同的排法 （3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法 解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又

6、都有種不同的排法，所以共有種不同的排法，（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種不同的排法解法2：3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有種不同的排法 說明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處

7、理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素 間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快 捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認真搞清在什么條件下使用典型例題三例3 排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 （1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ （2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，

8、在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。 說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有，再排舞蹈節(jié)目有，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。典型例題四例4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：

9、體育排在第一書有種排法，如圖中；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是： （種） 分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況： （1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有種； （2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法種； （3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法種； （4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法 這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有： （種） 分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況： （1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)

10、，有種排法； （2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法； （3）體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法； （4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法 上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數(shù)為（種） 下面再提出一個問題，請予解答 問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法 請讀者完成此題 說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法典型例題五例5現(xiàn)有輛公交車、位司機和位售票員，每輛車上需配位司機和位售票員問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排

11、了順序的三個空：，然后把名司機和名售票員分別填入因此可認為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題解：分兩步完成第一步，把名司機安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法故搭配方案共有種說明：許多復(fù)雜的排列問題，不可能一步就能完成而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，?yīng)用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點院校，每所院校有個專業(yè)是你較為滿意的選擇若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方

12、法？分析：填寫學(xué)校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)因此這是一個排列問題解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業(yè)中選出個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：種說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時題中并未直接點明，需要根據(jù)實際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點尤其重要“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求

13、）的是組合另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮典型例題七例5名同學(xué)排隊照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下的人排在后排，有種排法，故一共有種排法事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是，相當于個人的全排列(2)優(yōu)先安排甲、乙(3)用“捆綁法”

14、(4)用“插空法”解：(1) 種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元

15、素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進行全排列(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間典型例題八例8從五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“”，當它位于個位時，即形如的數(shù)共有個（從四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空），當這些數(shù)相加時，由“”所產(chǎn)生的和是當位于十位時，即形如的數(shù)也有，那么當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是當位于面位時，可同理分析然后再依次分析的情況解：形如的數(shù)共有個，當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個，當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和是

16、；形如的數(shù)也有個，當這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是這樣在所有三位數(shù)的和中，由“”產(chǎn)生的和是同理由產(chǎn)生的和分別是，因此所有三位數(shù)的和是說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決如“由四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為，求數(shù)”本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了次，故有，得典型例題九例9計算下列各題：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (5) 解：(1) ；(2) ;(3)原式；(4)原式；(5)，說明：準確掌握好排列公式是順利進行計算的關(guān)鍵本題計算中靈活地用到下列各式：；使問題解得簡單、快捷典

17、型例題十例10六人排一列縱隊，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對這個題目，、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由解：中很顯然，“在前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與“在前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和這表明：的算式正確中把六人排隊這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當占據(jù)第一個位置時，占位方法數(shù)是；當占據(jù)第2個位置時，占位的方法數(shù)是；當占據(jù)第5個位置時，占位的方法數(shù)是，當，占

18、位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的中可理解為從6個位置中選4個位置讓占據(jù)，這時，剩下的兩個位置依前后順序應(yīng)是的因此的算式也正確中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)，這兩個位置讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時，再排其余四人，又有種排法，可見的算式是對的說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)的解法典型例題十一例11八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況應(yīng)當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下

19、”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法”這個數(shù)目是其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)典型例題十二例12 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、

20、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）ABCD解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求所以共有種陳列方式應(yīng)選D說明：關(guān)于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進行全排列本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）A210B300C464D

21、600解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個解法2：（間接法）：取個數(shù)字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個)應(yīng)選B說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應(yīng)考慮能否用間接法來解(2)“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法典型例題十四例14 用，這五

22、個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24個B30個C40個D60個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷解法1：分類計算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2作個位數(shù)，共有個，另一類是4作個位數(shù)，也有個因此符合條件的偶數(shù)共有個解法2：分步計算先排個位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個解法3：按概率算用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個，其中偶點其中的因此三位偶數(shù)共有個解法4：利用選擇項判斷用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此

23、偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于個，四個選擇項所提供的答案中，只有符合條件應(yīng)選典型例題十五例15(1)計算(2)求()的個位數(shù)字分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項的特點以及排列數(shù)公式的特點兩方面考慮在(1)中，項可抽象為，(2)中，項為，當時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運算中可不考慮解：(1)由原式(2)當時，的個位數(shù)為0，()的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同而，的個位數(shù)字為3說明：對排列數(shù)公式特點的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證：，我們首先可抓等式右邊的，左邊右邊典型例題十六例16用共六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個位用或者不用數(shù)字，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用或者用進行分類一個自然數(shù)