隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征和特征函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字(shz)特征和特征函數(shù)特征和特征函數(shù)第一頁(yè)，共17頁(yè)。2統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過(guò)程中所有樣本函數(shù)在時(shí)間統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過(guò)程中所有樣本函數(shù)在時(shí)間t t的所的所有取值進(jìn)行有取值進(jìn)行(jnxng)(jnxng)概率加權(quán)平均，所以又稱為集概率加權(quán)平均，所以又稱為集合平均。它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化合平均。它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化規(guī)律，規(guī)律， 是所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心。是所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心。第1頁(yè)/共17頁(yè)第二頁(yè)，共17頁(yè)。3方差(fn ch)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX均方值和方差(fn ch)都是

2、時(shí)間t的函數(shù)NiiXiXtptmtxt122)()()()(dxtxXftxmtx),(2)()()(2tXEdxtxXfx),(2均方值第2頁(yè)/共17頁(yè)第三頁(yè)，共17頁(yè)。4方差(fn ch)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX222( )( )( )XXE Xttmt 均值與方差的物理均值與方差的物理(wl)(wl)意義：意義：消耗消耗(xioho)(xioho)在單位電阻上的在單位電阻上的總的平均功率總的平均功率平均交流平均交流功率功率平均直流功平均直流功率率-單位電阻上的電壓?jiǎn)挝浑娮枭系碾妷?1-/1-消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率)(tx)(2t

3、x 2 2/1-/1-消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率)()(txmtxE E 2 2/1-/1-消耗在單位電阻上的瞬交流消耗在單位電阻上的瞬交流功率的統(tǒng)計(jì)平均值功率的統(tǒng)計(jì)平均值)()(txmtx第3頁(yè)/共17頁(yè)第四頁(yè)，共17頁(yè)。5第4頁(yè)/共17頁(yè)第五頁(yè)，共17頁(yè)。6自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)(hnsh)(hnsh)（重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 212121212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRXNiNjijjittptxtx112121),()()(描述了整個(gè)隨機(jī)過(guò)程任意兩描述了整個(gè)隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)不同時(shí)刻的內(nèi)在個(gè)不同時(shí)刻的內(nèi)在(nizi)(ni

4、zi)關(guān)系：線性相關(guān)性關(guān)系：線性相關(guān)性若若21tt )(2),(tXEttXR第5頁(yè)/共17頁(yè)第六頁(yè)，共17頁(yè)。7自相關(guān)函數(shù)的物理自相關(guān)函數(shù)的物理(wl)(wl)意義意義)2()1()2,1(tXtXEttXR2 2、反映不同隨機(jī)過(guò)程、反映不同隨機(jī)過(guò)程(guchng)(guchng)的波形的波形變化變化 1 1、自相關(guān)函數(shù)可正可負(fù)，其絕對(duì)值越大，表示相關(guān)、自相關(guān)函數(shù)可正可負(fù)，其絕對(duì)值越大，表示相關(guān)性越強(qiáng)。一般說(shuō)來(lái)，時(shí)間相隔越遠(yuǎn)，相關(guān)性越弱，自性越強(qiáng)。一般說(shuō)來(lái)，時(shí)間相隔越遠(yuǎn)，相關(guān)性越弱，自相關(guān)函數(shù)的絕對(duì)值也越弱，當(dāng)兩個(gè)相關(guān)函數(shù)的絕對(duì)值也越弱，當(dāng)兩個(gè)(lin )(lin )時(shí)刻重時(shí)刻重合時(shí)，其相關(guān)

5、性應(yīng)是最強(qiáng)的，所以合時(shí)，其相關(guān)性應(yīng)是最強(qiáng)的，所以RX(t,t)RX(t,t)最大。最大。)2()1()2,1(tXEtXEttXR不相關(guān)不相關(guān)若：若：第6頁(yè)/共17頁(yè)第七頁(yè)，共17頁(yè)。8自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)(hnsh)2()1()2,1()2()1()2()1()2()2()1()1()2,1(txmtxmttRtxmtxmtXtXEtmtXtmtXEttXCxXNiNjttijptXmtjxtXmtixttXC11)2,1()2()2()1()1()2,1(若若21tt )(2)()(2)(2),(txtXDtxmtXEttXC中心化自相中心化自相關(guān)關(guān)(xinggun)函數(shù)函數(shù)自相關(guān)系數(shù)

6、自相關(guān)系數(shù))()(),(),(),(),(),(212122112121ttttCttCttCttCttXXXXXXX第7頁(yè)/共17頁(yè)第八頁(yè)，共17頁(yè)。9隨機(jī)隨機(jī)(su j)過(guò)程的不相關(guān)和獨(dú)立以及正交的過(guò)程的不相關(guān)和獨(dú)立以及正交的關(guān)系關(guān)系)2()1()2,1()2,1(txmtxmttRttXC如果如果0)2,1(ttXC)1(tX和和)(2tX是不相關(guān)的。是不相關(guān)的。，則稱，則稱，則稱，則稱0)2,1(ttXR)(1tX和和)(2tX是相互正交的。是相互正交的。),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX1t2t時(shí)刻時(shí)刻(shk)的狀態(tài)是相互獨(dú)立的。的狀態(tài)是相互獨(dú)立的。和和

7、正交正交獨(dú)立獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)充分條件充分條件正態(tài)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)隨機(jī)過(guò)程第8頁(yè)/共17頁(yè)第九頁(yè)，共17頁(yè)。10若21tt 若均值與方差（總功率存在）存在，稱為二階矩過(guò)程(guchng)，相關(guān)理論)2()1()2,1()2,1(txmtxmttRttXC均值和自相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程均值和自相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程(guchng)最基本最基本的特征的特征)2()1()2,1()2,1(txmtxmttXCttR)(2)()(22tmttXEX第9頁(yè)/共17頁(yè)第十頁(yè)，共17頁(yè)。11021)cos()cos()()(2000dtAtAEtXEtmX例例 隨機(jī)隨機(jī)(su j)(su j)相相位信號(hào)位信號(hào)0( )co

8、s()X tAt 12120 10 2201201222201201202012( , )( )( ) cos()cos()1cos()cos()2 2111cos()cos()2 2221cos()2XRt tE X t X tE AtAtA EttttAttAttdAtt 22221)(),()(AtmttRtXXX自相關(guān)自相關(guān)(xinggun)(xinggun)函函數(shù)和方差數(shù)和方差第10頁(yè)/共17頁(yè)第十一頁(yè)，共17頁(yè)。12x1(t)x2(t)x3(t)x4(t) t1 t2 654321)(1tx)(2tx)(3tx)(5tx)(1tX)(2tX12635421),()()()()(),

9、(212414112121ttptjxtxtXtXEttRijijiX41)2,1()2()1(ittiiptixtix)()(/)()()()()()(),()(),(112211221121txtXPtxtXPtxtXPtxtXtxtXPttpiiiiiii例例2.1 一個(gè)隨機(jī)過(guò)程由四條樣本函數(shù)構(gòu)成，每條樣本函一個(gè)隨機(jī)過(guò)程由四條樣本函數(shù)構(gòu)成，每條樣本函數(shù)等概，時(shí)刻數(shù)等概，時(shí)刻t1，t2上各條樣本函數(shù)的取值給定，求上各條樣本函數(shù)的取值給定，求),(21ttRX第11頁(yè)/共17頁(yè)第十二頁(yè)，共17頁(yè)。13互相互相(h xing)關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)3 3）兩個(gè)隨機(jī)）兩個(gè)隨機(jī)(su j)(su j)過(guò)程的

10、相關(guān)特性過(guò)程的相關(guān)特性 dydxttyxxyftYtXEttXYRXY)2,1;,()2()1()2,1(描述兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻描述兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻(shk)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)性之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)性t1t2第12頁(yè)/共17頁(yè)第十三頁(yè)，共17頁(yè)。14互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)(hnsh)：)()2()()1()2,1(21tmtYtmtXEttXYCYX)2()1()2,1(tmtxmttRYXY中心化互中心化互相相(h xing)關(guān)關(guān)函數(shù)函數(shù)t1t2描述兩個(gè)隨機(jī)描述兩個(gè)隨機(jī)(su j)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)性過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)性第13頁(yè)/共17頁(yè)第十四頁(yè)，共17頁(yè)。15

11、兩個(gè)兩個(gè)(lin )隨機(jī)過(guò)程的獨(dú)立，不隨機(jī)過(guò)程的獨(dú)立，不相關(guān)和正交相關(guān)和正交)2()1()2,1()2,1(tmtxmttRttXYCYXY0)2,1(ttXYC)2()1()2,1(tmtxmttRYXY不相關(guān)不相關(guān)(xinggun)0)()()2,1(21tYtXEttRXY正交正交第14頁(yè)/共17頁(yè)第十五頁(yè)，共17頁(yè)。16N N維隨機(jī)矢量維隨機(jī)矢量(shling)(shling)的的期望期望 （ 維隨機(jī)變量的相關(guān)性）nNN維隨機(jī)變量用矢量維隨機(jī)變量用矢量(shling)(shling)表示表示TnXXXX,2,1XMmmnXEXEEX11N N維隨機(jī)維隨機(jī)(su j)(su j)矢量的協(xié)矢量的協(xié)方差方差)(TEXXEXXEDX2121221112nXDXDXDDXnnnn隨機(jī)序列的相關(guān)特征N