求不定積分的方法及技巧小匯總

1、求不定積分的方法及技巧小匯總1. 利用基本公式。(這就不多說(shuō)了 )2. 第一類換元法。(湊微分) “湊”設(shè)f(卩)具有原函數(shù)F(卩)。貝Uf (x) '(x)dx f (x)d (x) F (x) C其中(X)可微用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容， 同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中 拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2:【解】(ln(x 1) ln x)'1x(x 1)ln(x 1) In xx(x 1)dx(ln(x 1) In x)d(ln(x 1) In x)丄(1 n(x 1

2、) In x)2 C2例1:In(x 1) In xdxx(x 1)例2:1 In x ,2 dx (xln x)2【解】(xlnx)' 1 Inx1 In xx(x 1)2dxdxln x(xln x)21xln x在第一類換元積分中，有以下幾種常見(jiàn)形式：.2k 1nn2k 11. sin xcos x或sin xcos x型，對(duì)于此類被積函數(shù)，分別作 變換 尸cosx以及 尸sinx。2k 1nn2k 1一2sinxcos x或sin xcosx 型， 禾I用三角恒等式：21 、 2 1sin x (1 cos2x)或cos x (1 cos2x)，將被積函數(shù)化為cos2x的多項(xiàng)式

3、，然后再依據(jù)1型進(jìn)行求解。3. tannxsec2k x或 tan2k 1 xsecn x 型，依次作變換；JFtanx 和 尸secx進(jìn)行求解。3. 第二類換元法：“變”設(shè)x (t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且 (t)0又設(shè)f (t) '(t)具有原函數(shù),則有換元公式f(x)dx f (t) '(t)dt第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無(wú)理根式。常見(jiàn)的變換形式需要熟記會(huì) 用。主要有以下幾種：(1) .a22x : xa si nt ； xa costx22a : xata nt； xa cot t ；x ashtx22a : xa sect ； xacsct ；x acht(4)

4、n axb： axb taxb axb .(5)n cxd cx tdA當(dāng)被積函數(shù)含有x m ax2bx c,有時(shí)倒代換x -也奏效在第二類換元積分中，有以下幾種常見(jiàn)形式:1.a22 x型,可以作代換Xasi nt化去根式。2.x22 a型,可以作代換Xatant化去根式。3.x22 a型,可以作代換Xasect化去根式4. 有時(shí)候，在分母形式為積分變量的幕形式時(shí)，可以考慮進(jìn)行倒代換，也1即x 1的代換。t4. 分部積分法.“分”公式： dd分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取 、 時(shí)，通常基于以下兩點(diǎn)考慮:(1) 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)(2) 簡(jiǎn)

5、化被積函數(shù)的類型選卩的原則是，對(duì)其求有限次的導(dǎo)，可簡(jiǎn)化被積函數(shù)的形式 舉兩個(gè)例子吧!例3:3x arccosx _ dx1 x2【解】觀察被積函數(shù)，選取變換t arccosx ,則3xarccosxdx,1 x2泌t( sint)dtsi ntt cos3 tdt2I3t(s in t 1)d si nt td(s in t si nt) 33 t sin3tsin t(sin313si n t)dt1. 31 . 2t sintsin t(sint1)d cost3313t sintsin t2cost1cos31 C3391 3 21 2 2x x (x 2)、1 x arccosx C9

6、33例 4:arcs in2 xdx解arcsin2 xdx.2 xsin x1x2 arcs in xdx4T7xarcs inx2 arcs in xd、1 x2xarcs inx 2 1 x2 arcsinx22dxxarcs inx 2 1 x2 arcsinx2x C上面的例3,降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類型 有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在 dd中，、的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律:(1) Pm(x)，eax,sin ax,cosax(2) ln x,arctanx,arcsin x，Pm(x)(3) e ， cos x, sin x(3) 會(huì)出現(xiàn)循環(huán)，注意

7、，選取的函數(shù)不能改變。 將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：(In arcsinx)xPm( x)(aAxsinx)但是，當(dāng) ln x， arcsinx時(shí)，是無(wú)法求解的對(duì)于(3)情況，有兩個(gè)通用公式:Il1 2eaxsin bx dxeax cosbx dxaxe2 (asin bx bcosbx) Ca baxe 2a b(a cosbxbsinbx) C5.幾種特殊類型函數(shù)的積分。(1)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)先化為多項(xiàng)式和真分式 旦兇 之和,Q(x)Q(x)再把P*兇分解為若干Q(x)個(gè)部分分式之和。(對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)Indx(a x )時(shí)，記得用遞推公式:x222、n 12a

8、 (n 1)(x a )2n 322a (n 1)Ini)例5:x6 3x； 2 I 2dxx (x 1)In解642x x 4x 23/27T2x (x 1)4x3 .22x (x 1)x64x2 2x3(x2 1)2x 4x2 2x2 1 x3(x2 1)2x .二 dx x2 14x2 22-l n(x221) C4x22X3X 1)2 dx齊廠嚴(yán)血1)21(1)2)d2x21x4(x21)2,八22(1)2(1)211dC1dx2x2x2(J2 1) C故不定積分求得。 在此部分有以下小技巧:1.Vax b或J ax b，可以令這個(gè)簡(jiǎn)單根式為，去掉根式cx d(2)三角函數(shù)有理式的積分x2ta n sin x萬(wàn)能公式:2tan2 蘭cosxtan2?22P(sin x,可用變換t tan X化為有理函數(shù) 的積分，但由于計(jì)算較煩，Q(sin x, cos x)2應(yīng)盡量避免。對(duì)于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成或cosx。再用待定系數(shù)cosx sin xAQcosx bsinx) B(acos'x bsin'x)來(lái)做。(注：沒(méi)舉例題并不代表不重要) a cosx bsin x(3)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 一般用