數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別(共14頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上班級(jí)：數(shù)學(xué)091 姓名：韓海飛數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別摘要：文章對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，得到一般的解題思路.關(guān)鍵詞： 判別方法 歸納總結(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 斂散性 解題思路引言： 在講解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法時(shí)，每講一種判別方法，學(xué)生按照指定的判別方法進(jìn)行解題，一般都能很容易求得結(jié)果，而當(dāng)把多種判別方法講完，再讓學(xué)生作綜合判別時(shí)， 學(xué)生要么束手無(wú)策，要么選擇判別方法時(shí)帶有盲目性 ，拿作判別方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性解題，只要求得結(jié)果，不問(wèn)方法的簡(jiǎn)單與繁瑣，而不是先從簡(jiǎn)單方法入手，往往用一種簡(jiǎn)單的方法就可以輕松解題，卻用較繁瑣方法費(fèi)了九牛二虎之力，結(jié)果還不一定正確，造成這種情

2、況的主要原因主要是學(xué)生對(duì)所學(xué)的判別方法的使用條件及特點(diǎn)不太熟悉，解題思路比較亂 .所以在講解完常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法之后，非常有必要?dú)w納總結(jié)一下.一、定義定義1：設(shè)有數(shù)列 表達(dá)式 （1）稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可記為 ，其中 稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的第n項(xiàng)或一般項(xiàng)。定義2： 稱為級(jí)數(shù)（1）的第n個(gè)部分和，數(shù)列 稱為它的部分和數(shù)列。定義3：設(shè) 是級(jí)數(shù)（1）的部分和數(shù)列，若則說(shuō)級(jí)數(shù)（1）的和是S，這時(shí)也說(shuō)級(jí)數(shù)（1）是收斂（于S）的。記為： 。若 是發(fā)散數(shù)列，則稱級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。余項(xiàng)： 定義4：絕對(duì)收斂：若收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 條件收斂：若發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂二、性質(zhì)定理定理12.2 若級(jí)數(shù)與都收斂，則對(duì)任

3、意常數(shù)，級(jí)數(shù)也收斂.定理12.3 去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性.定理12.4 在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào),既不改變級(jí)數(shù)的收斂性,也不改變它的和.三、分類1、等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）:2、級(jí)數(shù)：3、正項(xiàng)級(jí)數(shù): 若，則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)4、一般級(jí)數(shù)：任意 ，則稱為一般級(jí)數(shù)三、等比級(jí)數(shù)收斂性的判別法等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)） ， 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散四、級(jí)數(shù)收斂性判別法：級(jí)數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂例：為p-級(jí)數(shù)，p=2>1，顯然此級(jí)數(shù)是收斂的.五、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法（1）比較原則：設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若（1） 當(dāng)時(shí)，兩級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（2） 當(dāng)且級(jí)數(shù)收

4、斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂；（3） 當(dāng)且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散；例： 判別級(jí)數(shù)的斂散性解：由于 ，根據(jù)比較原則，及調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)也發(fā)散.（2）比式判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則 (1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂；(2)當(dāng)時(shí)，或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；注：當(dāng)時(shí)，）比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷，因?yàn)樗赡苁鞘諗康?，也可能是發(fā)散的.例如，級(jí)數(shù)與，它們的比式極限都是 但是收斂的，而是發(fā)散的.（3）根式判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：當(dāng)時(shí)，根式不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷例如，級(jí)數(shù)與，二者都有，但是收斂的，而是發(fā)散的.但是收斂的，而是發(fā)散的.例：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：

5、由于 故用比式判別法無(wú)法判定此級(jí)數(shù)的斂散性，現(xiàn)在用根式判別法來(lái)考察這個(gè)級(jí)數(shù)，由于 所以 由根式判別法知原級(jí)數(shù)收斂.（4）積分判別法：設(shè)是上非負(fù)遞減函數(shù)那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與非正常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；例：討論級(jí)數(shù)的斂散性 解：研究非正常積分，由于當(dāng)時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散，由積分判別法級(jí)數(shù)在時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散（5）拉貝判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在，則(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)拉貝判別法無(wú)法判斷.例：討論級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性解：無(wú)論哪一個(gè)值，級(jí)數(shù)的比式極限都有所以用比式判別法都無(wú)法判別此級(jí)數(shù)的斂散性，現(xiàn)在應(yīng)用拉貝判別法來(lái)討論，當(dāng)時(shí)，由于所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時(shí)，由于這時(shí)，拉貝判別法也

6、無(wú)法對(duì)此級(jí)數(shù)作出判斷，當(dāng)時(shí)，由于所以級(jí)數(shù)收斂.六、一般級(jí)數(shù)收斂性的判別法（1）級(jí)數(shù)若，則此級(jí)數(shù)發(fā)散. 例：判斷級(jí)數(shù)的斂散性解：由于 ，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散（2）（基本判別法）如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列具有上界,則此級(jí)數(shù)收斂. 例：判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. 分析：本題無(wú)法直接使用定義、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法,或比較判別法以及其他的判別法進(jìn)行判斷,因此可選用基本定理進(jìn)行判斷.解 記,則級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和所以原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界,于是原級(jí)數(shù)收斂. （3）柯西收斂準(zhǔn)則級(jí)數(shù)收斂的充要條件：當(dāng)時(shí)，有： 例：證明級(jí)數(shù)的收斂證明：由于=<=<因此，對(duì)任給正數(shù) ，取，使得當(dāng)m>N 及任意自然數(shù)p，由上

7、式就有<<由柯西收斂準(zhǔn)則推得級(jí)數(shù)是收斂的.（4）絕對(duì)收斂定義法：若級(jí)數(shù)各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂； 例：的各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)是應(yīng)用比式判別法，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有=0因此，所考察的級(jí)數(shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都絕對(duì)收斂.（5）萊布尼茲判別法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下述兩個(gè)條件：(1)數(shù)列單調(diào)遞減；(2)則級(jí)數(shù)收斂.例：考察級(jí)數(shù) 的斂散性.解：因?yàn)榘l(fā)散，不滿足絕對(duì)收斂定義，而此級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨條件，故收斂.（6）阿貝耳判別法：設(shè)級(jí)數(shù)若為單調(diào)有界數(shù)列，且級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù)收斂.例：討論級(jí)數(shù) (x>0)的斂散性.解：對(duì)于數(shù)列 來(lái)說(shuō)，當(dāng)x>0時(shí)，0<<=1又即數(shù)列 是單調(diào)有

8、界的，又 收斂，由阿貝爾判別法知道級(jí)數(shù)收斂.（7）狄利克雷判別法：設(shè)級(jí)數(shù)若單調(diào)遞減，且又級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級(jí)數(shù)收斂.例： 證明：若數(shù)列 具有性質(zhì)： ,則級(jí)數(shù) 對(duì)任何x都收斂.證明：因?yàn)?當(dāng)x時(shí),故有： 所以級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列當(dāng)x時(shí)有界，由狄利克雷判別法得級(jí)數(shù)收斂.以上方法是常見(jiàn)的方法，接下來(lái)我們來(lái)看由比較原則衍生出的幾種不常見(jiàn)的方法。1. 不等式的利用 在此我們常用到的不等式有以下幾種：（1）;（2）;（3）;（4） 個(gè)人認(rèn)為,前三個(gè)不等式大家都用得比較熟練,最后一個(gè)不等式不太能在做題時(shí)想到.對(duì)于些題目看似很復(fù)雜,但利用不等式后就會(huì)豁然開(kāi)朗.此處是將原數(shù)放大,主要運(yùn)用比較準(zhǔn)則.例： ,且

9、收斂,證明絕對(duì)收斂?(此題正是利用了不等式,輕松地證明了此題.)解：又 、收斂,則收斂,故絕對(duì)收斂.例： 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：利用不等式 有因?yàn)槭諗?故收斂.2. 等價(jià)量法 等價(jià)量法實(shí)際上應(yīng)用的就是無(wú)窮小或大的等價(jià)代換,方法簡(jiǎn)單易掌握,同樣也是一種放大縮小的應(yīng)用.例：判別級(jí)數(shù)的斂散性.可利用等價(jià)代換,但這里先將原式前項(xiàng)改寫(xiě)為的形式.解：當(dāng)時(shí)，=. 而收斂,故由比較原則知原級(jí)數(shù)收斂.3. Taylor展開(kāi)式 Taylor展開(kāi)式看似與級(jí)數(shù)完全不沾邊,但在以前的學(xué)習(xí)中,Taylor公式還用于計(jì)算函數(shù)近似值的問(wèn)題,正是這個(gè)橋梁連接了兩者.常用函數(shù)的Maclaurin公式是在解題中最常用.如下例:例：

10、判別級(jí)數(shù)的斂散性.解： 原級(jí)數(shù)發(fā)散4. 對(duì)數(shù)判別法 此方法對(duì)判別“冪指型”或含“”級(jí)數(shù)很有效.首先介紹一下這個(gè)定理：定理（對(duì)數(shù)判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若有，使當(dāng)時(shí), (5) 則收斂;若時(shí), (6) 則發(fā)散.證明如下:若時(shí),不等式(5)成立,則. 由于級(jí)數(shù)收斂,所以收斂.同理可證當(dāng)不等式(6)成立時(shí), 發(fā)散. 例：判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：.對(duì),必存在,使當(dāng)時(shí), , 故原級(jí)數(shù)收斂.例：判別級(jí)數(shù)的斂散性.解： 由L'Hospital法則知, . 故對(duì),存在,使當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)收斂.5. 拆項(xiàng)法 有一種應(yīng)用廣泛,形式多變,方便靈活的方法,即將一般項(xiàng)通過(guò)等價(jià)變換、有理化、三角函數(shù)基本公式等拆成幾項(xiàng)之

11、差,大大降低了難度,解決了無(wú)從下手的窘境.這也是一種常見(jiàn)的方法,容易掌握.例：判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：而 收斂;而對(duì)于,當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散. 綜上可知,原級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散. 例：判斷級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?解： ,得到一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 則易知級(jí)數(shù)收斂,但其絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散. 故原級(jí)數(shù)條件收斂.總結(jié)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法和解題思路后，我們就能更好地掌握如何先則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，做到避繁就簡(jiǎn)，思路清晰，起到事半功倍的效果. 參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（第三版）北京大學(xué)高等教育出版社，19912數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析下冊(cè)，陜西師范大學(xué)出版社，19933 劉羽.正

12、項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法研究J.網(wǎng)絡(luò)財(cái)富,2009.23(23):98-101.4 斯琴.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法J. 河套大學(xué)學(xué)報(bào),2009.6(2): 18-22.5 楊鐘玄.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法及其聯(lián)系J.天水師專學(xué)報(bào),1999,19(3):80-83.6費(fèi)定暉,周學(xué)圣,郭大鈞,等.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(四) M. 2版. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 1999:2- 3,38- 41. The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series and the Analysis of Thinks of Solution Abstract: The article