隨機(jī)數(shù)的生成方法學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1隨機(jī)數(shù)的生成隨機(jī)數(shù)的生成(shn chn)方法方法第一頁，共26頁。 在一定的統(tǒng)計(jì)意義在一定的統(tǒng)計(jì)意義(yy)下可作為隨機(jī)樣本下可作為隨機(jī)樣本X1，X2，Xn的一組樣本值，稱的一組樣本值，稱r1 , r2 , , rn一組具有與一組具有與X相同分布的隨機(jī)數(shù)相同分布的隨機(jī)數(shù). 例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XB(1, 0.5), 模擬該隨機(jī)變模擬該隨機(jī)變量量X的一組樣本的一組樣本(yngbn)值值. 一種簡單的方法是一種簡單的方法是 拋一枚均勻硬幣，觀察出現(xiàn)正反面的情況，拋一枚均勻硬幣，觀察出現(xiàn)正反面的情況，出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面(zhngmin)記為數(shù)值記為數(shù)值“1”,否則記為否則記為“0”得

2、：得： 0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0， 0，1，1，0，1，0, 可看成可看成總體總體X 的一系列樣本值的一系列樣本值, ,或稱產(chǎn)生了或稱產(chǎn)生了一系列一系列具有兩點(diǎn)分布的隨機(jī)數(shù)具有兩點(diǎn)分布的隨機(jī)數(shù). . 第1頁/共26頁第二頁，共26頁。 需要尋求一種需要尋求一種(y zhn)簡便、經(jīng)濟(jì)、可靠簡便、經(jīng)濟(jì)、可靠, 并能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法并能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法.數(shù)學(xué)軟件有產(chǎn)生常用數(shù)學(xué)軟件有產(chǎn)生常用(chn yn)分布隨機(jī)數(shù)的功能分布隨機(jī)數(shù)的功能對特殊對特殊(tsh)分布分布需要數(shù)據(jù)量很大時(shí)需要數(shù)據(jù)量很大時(shí) 不太有效不太有效第2頁/共26頁第三頁，共26

3、頁。最常用、最基礎(chǔ)的隨最常用、最基礎(chǔ)的隨機(jī)數(shù)是在（機(jī)數(shù)是在（0,10,1）區(qū)間）區(qū)間(q jin)(q jin)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)( (簡記為簡記為RND) RND) 理解理解(lji)為：隨機(jī)變量為：隨機(jī)變量XU(0,1)的一組樣本值的模擬值的一組樣本值的模擬值 一般采用某種數(shù)值計(jì)算方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算來得到一般采用某種數(shù)值計(jì)算方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算來得到.通常是利用遞推公式：通常是利用遞推公式：),(21knnnnf 給定給定k個(gè)初始值個(gè)初始值1,2,k , 利用遞推公式遞推出一系列隨機(jī)數(shù)利用遞推公式遞推出一系列隨機(jī)數(shù)1 1, ,2 2, ,，n

4、 n, ,第3頁/共26頁第四頁，共26頁。乘同余法乘同余法混合混合(hnh)同余法同余法常用常用(chn yn)方法方法具有具有(jyu)較好的較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 1乘同余法乘同余法 遞推公式為遞推公式為 MxrMxxnnnn)(mod1 用用M 除除xn后得到的余數(shù)記為后得到的余數(shù)記為xn+1其中其中是乘因子是乘因子, M為模數(shù)為模數(shù)(modulus),第一式是以第一式是以M為模數(shù)為模數(shù)的的同余式同余式. .給定初值給定初值x0 (稱為稱為種子種子),遞推計(jì)算出遞推計(jì)算出第4頁/共26頁第五頁，共26頁。 r1，r2，即在即在(0, 1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列上均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列(x

5、li).例例2 取取x0=1，=7，M=103，有有x0=71=7 ， x1=7 ， r1x1=77=49 ， x2=49 ， r2x2=749=343 ， x3=343 ，r3x3=7343=2401 , x4=401 , r4x4=7401=2807, x5=807 , r5其余其余(qy)類推類推. 第5頁/共26頁第六頁，共26頁。 MxrMCxxnnnn)(mod1 用模用模 M 去除去除(q ch)xn+C的余數(shù)的余數(shù)其中，其中，C是非是非(shfi)負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù). 例例3 ：選選=97，C=3，M=1000，得遞推公式得遞推公式 1000)1000(mod3971nnnnxrxx

6、取定種子取定種子x0=71，得得97x03=6890， x1=890， r197x13=86333， x2=333， r2第6頁/共26頁第七頁，共26頁。97x23=32304， x3=304， r397x33=29491， x4=491， r497x43=47830， x5=630， r5 余類推，接下來的隨機(jī)數(shù)是：余類推，接下來的隨機(jī)數(shù)是：，0.853有下述問題有下述問題(wnt)：1.數(shù)列(shli)rn是有周期的，周期LM（模數(shù)）； 因因0 xnM，數(shù)列，數(shù)列xn最多有最多有 M個(gè)相異值個(gè)相異值, 從而從而(cng r)rn也同樣如此也同樣如此.第7頁/共26頁第八頁，共26頁。2.

7、 數(shù)列(shli)rn本質(zhì)上是實(shí)數(shù)列(shli), 給定初始值由遞推 公式計(jì)算出的一串確定的數(shù)列(shli).不能簡單等同于真正不能簡單等同于真正(zhnzhng)意義的隨機(jī)數(shù)意義的隨機(jī)數(shù).解決方法解決方法(fngf)與思路：與思路：1. 選擇模擬參數(shù)選擇模擬參數(shù)2. 對數(shù)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)對數(shù)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 從計(jì)算機(jī)中直接調(diào)用從計(jì)算機(jī)中直接調(diào)用某種分布的隨機(jī)數(shù)同樣存在類似問題某種分布的隨機(jī)數(shù)同樣存在類似問題.第8頁/共26頁第九頁，共26頁。x。=1，=513，M=236 （L=23421010）1） 周期的長度取決于參數(shù)周期的長度取決于參數(shù)(cnsh)x0, 入入, M的選擇；的選擇； 2）

8、通過適當(dāng)選取通過適當(dāng)選取(xunq)參數(shù)可以改善隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)可以改善隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)性質(zhì). 幾組供參考的參數(shù)值：幾組供參考的參數(shù)值： x。=1，=7，M=1010 （L=5107）1. 選擇選擇(xunz)模擬參數(shù)模擬參數(shù) 在計(jì)算機(jī)上編程產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)還應(yīng)注意在計(jì)算機(jī)上編程產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)還應(yīng)注意浮點(diǎn)運(yùn)算對周期的影響浮點(diǎn)運(yùn)算對周期的影響x。=1，=517，M=212 （L=2401012）第9頁/共26頁第十頁，共26頁。2. 對數(shù)列對數(shù)列(shli)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 無論用哪一種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無論用哪一種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列 (實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)(shsh)列列) RND, 都存在問題：都存在

9、問題： 能否能否(nn fu)將其看著是在將其看著是在(0,1)上均勻分布的連續(xù)型隨機(jī)變量上均勻分布的連續(xù)型隨機(jī)變量X 的獨(dú)立樣本值？的獨(dú)立樣本值？ 對應(yīng)的樣本是否可以看成對應(yīng)的樣本是否可以看成X的簡單隨機(jī)樣本：的簡單隨機(jī)樣本：1）X1，X2，Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立； 2）Xi U(0, 1) , (i=1, 2，n) 需判斷是否具有較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：需判斷是否具有較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：獨(dú)立性獨(dú)立性 均勻性均勻性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 第10頁/共26頁第十一頁，共26頁。設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin(su j bin lin)X )X 的分布律為的分布律為 , 2 , 1, 01)

10、()0( nniipPPn令令將將P( n)作為區(qū)間作為區(qū)間(0, 1)的分點(diǎn)的分點(diǎn):P(0)P(1)P(2)P(3)01), 2 , 1(, ipxXPii第11頁/共26頁第十二頁，共26頁。 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量(su j bin lin) RU(0,1),有有產(chǎn)生產(chǎn)生X X的隨機(jī)數(shù)的算法的隨機(jī)數(shù)的算法(sun f)(sun f)步驟步驟 ：(1) 產(chǎn)生一個(gè)產(chǎn)生一個(gè)(y )(0, 1)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)r(RND); (2) 若若 P(n1)rP(n) ，則令則令X 取值為取值為xn.例例3 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X的分布律如下的分布律如下 X=x P(x)

11、0 1 2 0.3 0.3 0.4 ), 2 , 1(,)1()()()1( npPPPRPPnnnnn)()1(nnnxXPRP 令令), 2 , 1(, npxXPnn有有第12頁/共26頁第十三頁，共26頁。 設(shè)設(shè)r1，r2，rN是是RND隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)，令令 iiiirrrx6 . 0, 26 . 03 . 0, 13 . 00, 0 x1，x2，xN 即具有即具有(jyu)X 的分布律的隨機(jī)數(shù)的分布律的隨機(jī)數(shù). 從理論上講從理論上講, 已解決了產(chǎn)生具有任何已解決了產(chǎn)生具有任何(rnh)離散型分布的隨機(jī)數(shù)的問題離散型分布的隨機(jī)數(shù)的問題. 具體執(zhí)行仍有困難具體執(zhí)行仍有困難,如如X的取值是無

12、窮多個(gè)的取值是無窮多個(gè)(du )的的情況情況. 可利用分布的自身特點(diǎn)可利用分布的自身特點(diǎn),采用其他的模擬方法采用其他的模擬方法.第13頁/共26頁第十四頁，共26頁。 例例4 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)XB(n,p)，其分布律為，其分布律為 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X是是 n n 次獨(dú)立貝努里試驗(yàn)中次獨(dú)立貝努里試驗(yàn)中, , 事件事件(shjin)A(shjin)A發(fā)生的總次數(shù)發(fā)生的總次數(shù), , 其中其中p=P(A). p=P(A). 在計(jì)算機(jī)上模擬在計(jì)算機(jī)上模擬 n 重貝重貝努里試驗(yàn)努里試驗(yàn)(shyn)來產(chǎn)生二項(xiàng)分布來產(chǎn)生二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)數(shù). 當(dāng)當(dāng)p 較大而計(jì)算精度要求較高

13、時(shí)較大而計(jì)算精度要求較高時(shí) ), 2 , 1(,)1(nkppCkXPknkkn 10 p第14頁/共26頁第十五頁，共26頁。 2）統(tǒng)計(jì)）統(tǒng)計(jì)(tngj)ri （i=1，2，n）中使得）中使得 重復(fù)循環(huán)重復(fù)循環(huán)(xnhun)得到得到: n1，n2，nk即所求隨機(jī)數(shù)列即所求隨機(jī)數(shù)列.01p練習(xí)題：練習(xí)題：(1)生成生成100個(gè)服從個(gè)服從B(20,0.3)的隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)數(shù)(2) 如何如何(rh)模擬參數(shù)為模擬參數(shù)為的泊松分布隨機(jī)數(shù)？的泊松分布隨機(jī)數(shù)？ri p的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)ni. .算法步驟：算法步驟： 1）產(chǎn)生產(chǎn)生n個(gè)個(gè)RND r1，r2，rn； 第15頁/共26頁第十六頁，共26頁。 利用在利用

14、在(0 , 1) 區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)來模擬區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)來模擬(mn)具有給定分布的連續(xù)型隨機(jī)數(shù)具有給定分布的連續(xù)型隨機(jī)數(shù). 兩種方法兩種方法(fngf)反函數(shù)法反函數(shù)法 舍選法舍選法 1) 反函數(shù)法反函數(shù)法 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 f(x), 需產(chǎn)生給定分布的隨機(jī)數(shù)需產(chǎn)生給定分布的隨機(jī)數(shù). 算法算法:1）產(chǎn)生產(chǎn)生n個(gè)個(gè)RND 隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)r1，r2，rn； ;)()2iyiydyyfri中中解解出出從從等等式式 所得所得yi, i=1,2, ,n 即所求即所求.第16頁/共26頁第十七頁，共26頁?；驹恚夯驹恚涸O(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Y的分

15、布函數(shù)的分布函數(shù)F(y)是連續(xù)函是連續(xù)函數(shù)，而且數(shù)，而且(r qi)隨機(jī)變量隨機(jī)變量XU(0,1)，令，令Z=F1(X)。則則Z與與Y有相同分布有相同分布. 第17頁/共26頁第十八頁，共26頁。例例5 模擬模擬(mn)服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，其概率密度函數(shù)為的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，其概率密度函數(shù)為 . 0, 0, 0,)(xxexfx iyidyyfr)(代代入入公公式式iyiyxiedxer 10有有)1ln(1iiry 可可得得 若隨機(jī)變量(su j bin lin) XU(0, 1)1X U(0, 1)第18頁/共26頁第十九頁，共26頁。(1ri)與與ri 均為均為RND

16、 隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù) 模擬公式(gngsh)可改寫為iiryln1 問題：請考慮如何利用問題：請考慮如何利用(lyng)此公式模擬泊松流？此公式模擬泊松流？優(yōu)點(diǎn)：一種普通優(yōu)點(diǎn)：一種普通(ptng)而適用的方法；而適用的方法； 缺點(diǎn)缺點(diǎn):當(dāng)反函數(shù)不存在或難以求出時(shí)當(dāng)反函數(shù)不存在或難以求出時(shí), 不宜于使不宜于使 用用.練習(xí)：練習(xí)：生成生成100服從參數(shù)為服從參數(shù)為10的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。第19頁/共26頁第二十頁，共26頁。2）舍選法）舍選法 基本思想基本思想(sxing)：實(shí)質(zhì)上是從許多：實(shí)質(zhì)上是從許多RND隨機(jī)數(shù)中選隨機(jī)數(shù)中選出一部分出一部分, 使之成為具有給定分布的隨機(jī)數(shù)使之成

17、為具有給定分布的隨機(jī)數(shù).算法算法(sun f)步驟：步驟： (1) 選取(xunq)常數(shù)，使f(x)1，x(a, b)； (2) 產(chǎn)生兩個(gè)產(chǎn)生兩個(gè)RND 隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)r1 、r2，令令 y= a(ba)ri ； (3) 若若 r2f(y)，則令，則令x=y, 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為f(x)，存在存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) ab，使使 PaXb=1， 否則剔除否則剔除 r1和和r2, 重返步驟重返步驟(2).第20頁/共26頁第二十一頁，共26頁。 重復(fù)循環(huán)重復(fù)循環(huán), , 產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)x1x1，x2x2，xNxN的的分布分布(fnb)(fnb)由概率函數(shù)由概率函數(shù)

18、f(x) f(x) 確定確定. .舍選法算法原理分析：舍選法算法原理分析：設(shè)設(shè)PaZb=1，Z的概率密度為的概率密度為f(z),選常數(shù)選常數(shù)，使，使f(z)1，z(a，b)；隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1，X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立XiU(0, 1),令令 Y1=a+(ba)X1U(a, b);若若X2f(Y1)，則令，則令 X = Y1，否則剔除，否則剔除X1，X2重復(fù)到重復(fù)到(2)。 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X的分布的分布(fnb)與與Z相同。相同。第21頁/共26頁第二十二頁，共26頁。注注, 1)( badxxf若若不不滿滿足足條條件件：可選取可選取(xunq)有限區(qū)間有限區(qū)間(a1, b1)，使得，使得 1)(11badxxf是很小的正數(shù)是很小的正數(shù)(zhngsh).例如例如(lr)取取 a1=3,b1=3，有，有 003. 011122)(221 dxebax 在區(qū)間在區(qū)間(a1, b1)上應(yīng)用舍選法上應(yīng)用舍選法,不會出現(xiàn)較大不會出現(xiàn)較大的系統(tǒng)誤差的系統(tǒng)誤差. 第22頁/共26頁第二十三頁，共26頁。產(chǎn)生產(chǎn)生(chnshng)正態(tài)分布正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的方法隨機(jī)數(shù)的方法反函數(shù)法反函數(shù)法舍選法舍選法坐標(biāo)坐標(biāo)(zubio)變換法變換法 中心極限定理中心極限定理1）坐標(biāo)變換法坐標(biāo)