1.2集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算

1、集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算【 知識(shí)要點(diǎn)】1 、子集：如果集合 A 的任意一個(gè)元素都是集合B 的元素，那么集合A 稱為集合 B 的子集，記作 A B 或 B A.2、集合相等：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合 A的元素，那么集合 A等于集合B,記作A=B3、真子集：如果 A B,且AB,那么集合A稱為集合B的真子集，A B .4、設(shè)AS,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記作CSA5 、元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系6 、有限集合的子集個(gè)數(shù)（1） n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集（2）n個(gè)元素的集合有2n-1個(gè)真子集（ 3 ）n個(gè)元素的集合

2、有2n -1個(gè)非空子集（ 4 ）n個(gè)元素的集合有2n -2個(gè)非空真子集7 、 交集： 由屬于集合 A 且屬于集合 B 的所有元素組成的集合叫 A 與 B 的交集， 記作 AB。8 、并集：由所有屬于集合A 或?qū)儆?B 的元素構(gòu)成的集合稱為 A 與 B 的并集，記A B。9 、集合的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用【 知識(shí)應(yīng)用】1. 理解方法 ： 看到一個(gè)集合A 里的所有元素都包含在另一個(gè)集合里B， 那么 A 就是B 的子集，也就是說(shuō)集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出xBo【 J 】例1. 指出下列各組中集合A 與集合 B 之間的關(guān)系（ 1） A=-1,1 ， B=Z （2） A=1,

3、3,5,15 ， B=x|x 是 15 的正約數(shù) x 2m-1,若B A,求實(shí)數(shù)m取值范圍?！綥】例 2.已知集合 A=x|-2 x 5,B=x|m+1【Q例3.已知集合A 0,1,2,3,至少有一個(gè)奇數(shù)，這樣的集合A的子集有幾個(gè)，請(qǐng)一寫出。2.解題方法：證明2個(gè)集合相等的方法：（1）若A、B兩個(gè)集合是元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來(lái)，比較之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素滿足的條件是否一致，若均一致，則兩集合相等。（2）利用集合相等的定義證明A B,且B A,則 A=B.【J】例1.下列各組中的兩個(gè)集合相等的有（）(1) P=x|x=2n,nZ, Q=x|x=2(n-1

4、), n Z(2) P=x|x=2n-1,nN , Q=x|x=2n+1,n(3) P=x|2x -x=0,Q=x|x=Z【L】例2.已知集合 A=x|x= - k 2與集合B是否相等。Z, B=x|x= 1k +,k 42Z,判斷集合Ax 3【Q 例 3.設(shè)集合 A=x| 0,集合 B=x|(x-3)(x-2)x 20,判斷A與B相等嗎3.理解方法：如果集合A中的元素都包含于集合B,并且集合B中有集合A所沒(méi)有的元素,那么集合A就是集合B的真子集?！綣】例 1.設(shè)集合 A=2,8,a, B=2,a2-3a+4,且 B A,求 A 的值。L例2.滿足a M a,b,c,d的集合M有哪幾個(gè)Cl 例

5、 3.集合 M=x|x=3k-2,kZ,P=y|y=3x+1,xZ,S=z|z=6m+1,mZ之間的關(guān)4 .理解方法：通俗的講，A S,那么將集合 S中的元素去除掉集合 A中的元素，所剩余 下來(lái)的元素組成的集合就是S的子集A的補(bǔ)集。J例 1.設(shè)集合 A=1,2,3,4,集合 U=1,2,3,4,5,6,那么 Cu A=【L】例 2.若 U=Z, A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+,貝U Cu A=, Cu B= 2x1 0 【C】例3.不等式組的解集為A, U=R試求CuA3x 6 05 .理解方法：元素與集合的關(guān)系是屬于與不屬于的關(guān)系，用 表示；集合與集合之間的關(guān)系是包含()、真包含

6、()，相等(=)的關(guān)系。J、L例1.1在下列各式中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()1C 0,1,2;1 C 0,1,2;0,1,2?0,1,2;0,1,2 =2,0,1個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)C例2設(shè)A、B為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：(1) A B對(duì)任意 x A,有 x B(2) A B A B=(3)A B B A (4)A B 存在x A,使得x B,其中真命題的序號(hào)()A. (1) (2)B. (3)(4) C. (1)(2)(3)D. (4)6 .應(yīng)用類。主要記住子集個(gè)數(shù)，那么真子集的個(gè)數(shù)就是子集個(gè)數(shù)減去本身(也就是1個(gè))，非空子集個(gè)數(shù)就是子集個(gè)數(shù)減去空集(也是1個(gè))，非空真子集個(gè)數(shù)就是子集個(gè)數(shù)減去空集和本身(也就是減

7、去2個(gè))。如果記憶不牢靠，可以用列舉法列舉一個(gè)或多個(gè)元素較少的集合，來(lái)找出它的集合的個(gè)數(shù)，推出子集個(gè)數(shù)?！綣】例1集合A=x|0 <x<3且xCZ的真子集的個(gè)數(shù)是()A. 5? B. 6 C .7? D . 8【L】例2集合a,b,c,d,e,f的子集個(gè)數(shù) ，真子集個(gè)數(shù) ，非空子集個(gè)數(shù) 非空真子集個(gè)數(shù).【Q例3同時(shí)滿足：(1)M 1,2,3,4,5,; (2) a M,則6-a M的非空集合 M有 個(gè)。7 .理解方法：簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是將集合 A與集合B中共有的元素找出來(lái)，將這些元素組成的 集合就是集合 A與集合B的交集。(注意：不能僅認(rèn)為A B中的任一元素都是都是A與B的公共元素，同

8、時(shí)還有 A與B的公共元素都屬于 A B的含義，這就是文字定義中“所有”二字的含義，而不是“部分”公共元素。當(dāng) A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō) A 與B沒(méi)有交集，而是它們的交集為。J例 1 設(shè)集合 M=m Z|-3<m<2,N=nZ|-1 n 3,則 M N=例 2 如果集合 U=1,2,3 , 4,5,6,7,8, A=2,5,8 , B=1,3,5,7那么(Cu A)B=B=9 , a=4, 3求實(shí)數(shù)a的值【L】例 3 已知 A=-4,2a-1 , a2, B=a-5,1-a , 9, ACl 例 4 設(shè)集合 A=a2, -3,9 , B=4, -3,8,若A B例5已知集合M=

9、(x, y)|x+y=2 , N= (x, y)|x-y=4,那么N=8 .解題方法：集合A與集合B的并集就是將集合 A中的元素與集合B的元素加起來(lái)所組成的集合。 也就是說(shuō)， 如果我們已知了兩個(gè)集合， 那么它們所包含的所有不同元素組成的就是這個(gè)集合的并集。并集的符號(hào)語(yǔ)言中的“或”與生活語(yǔ)言中的“或”的含義是不同的，生活用語(yǔ)中的 “或”是只取其一， 并不兼存，而并集中的 “或” 則是可兼有的。 包含 3 種情形： ( 1)x A,且 x B;(2) x B,且 x A (3) x A且 x B?！綣】例 1 若集合 A=1,3 , x , B=1 , x2, A B=1 , , 3, x,則 x

10、 可以為-3 ，則 M N=例 2 集合 M=x|-3<x<1,N=x|x【L】例 3 集合 A=x| x2+3x+2 0 , B=x|m x2-4x+m-1>0,mR,若 A B=，且 A B=A,求 m 的取值范圍。a 的值為 【Q 例 4 集合 A=0,2 , a, B=1 , a2,若 A B=0,1,2,4,16例5集合A=x<a , B=x|1<x<2,且A ( Cr B) =R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 9 . 理解類： A A=A A=AA = ， A =AAB=B A AB=B AACu A=U ACu A=Cu ( Cu A) =ACu (A

11、B) =( CuA)( Cu B)Cu (A B) =( CuA)( CuB)A B=A A B AB=A B A.要熟練掌握這些運(yùn)算性質(zhì)，建議運(yùn)用文氏圖形幫助理解記憶。 并且在運(yùn)用時(shí)， 要注意檢驗(yàn)元素的互異性。在解題時(shí)，要一步一步來(lái)求出集合，最終得出我們要求的集合， 有括號(hào)的先求括號(hào)里的。若是求一個(gè)值的取值范圍，一般可以先求出一個(gè)集合，在通過(guò) 2個(gè)集合的關(guān)系，求出另一個(gè)集合，列出關(guān)系可求的所求值?！綣】例 1 已知集合 A=x| x2+3x+2 0 , B=x|m x2-4x+m-1>0 , m R,若 A B=且A B=A,求m的取值范圍。x 3【L】例 2 已知集合 M=x| -0

12、,N=x|x-3,則集合x(chóng)|x 1二()x 1A M N B M N C Cr(M N) DCr (MN)【Q 例 3 設(shè) A=x| x2+4x=0,B=224x +2(a+1)x+ a -1=0,若 AB=B,求a的取值范圍?？偨Y(jié)：(1)熟練掌握與應(yīng)用文氏圖，將題目與文氏圖結(jié)合，更容易求出答案(2)要求出某一個(gè)含有元素字母的集合，要求元素字母取值范圍，往往是利用題目 中所給的集合間的關(guān)系或者集合與元素之間的關(guān)系來(lái)找出元素字母的取值范圍。練習(xí)題：1 集合 P=x|2 x 10, Q=x|a-1 x 2a+2, Q P,求 a 的取值范圍2_22 A=x| x -3x+2=0,B=x| x -ax+3a-5=0,AB=B,求 a 的取值范圍。3 已知集合 1,2