《高等代數(shù)》二次型

1、9.1 9.1 二次型和對稱矩陣二次型和對稱矩陣9.2 9.2 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型9.3 9.3 正定二次型正定二次型9.4 9.4 主軸問題主軸問題9.5 9.5 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù) -笛卡兒笛卡兒(Rene Descartes(Rene Descartes， 1596-1650)1596-1650) - - 牛頓（牛頓（Newton,1642Newton,164217271727） 9.1 9.1 二次型和對稱矩陣二次型和對稱矩陣一一. .內(nèi)容分布內(nèi)容分布 9.1.1 二次型及矩陣 9.1.2 線性變換 9.1.3 矩陣的合同 9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二二

2、. .教學(xué)目的教學(xué)目的 1.掌握二次型及其矩陣的定義 以及矩陣的合同 2.理解關(guān)于二次型的線性變換 3.了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形三三. .重點難點重點難點: 合同、線性變換、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 9.1.1 二次型及矩陣二次型及矩陣 定義定義1 設(shè)設(shè)F是一個數(shù)域，是一個數(shù)域，F(xiàn)上上n元二次齊次多項式元二次齊次多項式（1）nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxq1, 13113211222222211121222),( 叫做叫做F上的一個上的一個n 元二次型。元二次型。F 上上n 元多項式總可以看成元多項式總可以看成 F 上的上的n 個變量的函數(shù)，個變量的函數(shù)，二次型（二次型（1）定義了一個函

3、數(shù)）定義了一個函數(shù) 所以所以n 元二次元二次型也叫型也叫n 個變量的二次型個變量的二次型. .:FFqn在（在（1）中令）中令 因為因為 所以所以（1）式可以寫成以下形式：）式可以寫成以下形式： . ),1(njiaajiij ,ijjixxxx （2） ninjjiijjiijnaaxxaxxxq1121,),( 是（是（2）式右端的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣）式右端的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣,稱稱為二次型為二次型 的矩陣。因為的矩陣。因為 ,所以所以A是是F上的一個上的一個n 階對稱矩陣，利用矩陣的乘階對稱矩陣，利用矩陣的乘法，（法，（2）式可以寫成）式可以寫成)(ijaA 令令),(21nxxxqjiij

4、aa （3） nnnxxxAxxxxxxq212121),(),(二次型（二次型（3）的秩指的就是矩陣）的秩指的就是矩陣A的秩。的秩。 9.1.2 線性變換線性變換如果對二次型（如果對二次型（3）的變量施行如下的一個變換：）的變量施行如下的一個變換： （4）),1(, 2 , 1,1njiFpniypixijnijji 那么就得到一個關(guān)于那么就得到一個關(guān)于 的二次型的二次型nyyy,21),(21nyyyq （4）式稱為變量的線性變換，令）式稱為變量的線性變換，令 是（是（4）的系數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣，則（的系數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣，則（4）可以寫成）可以寫成 )(ijpP （5） nnyyyPxxx212

5、1將（將（5）代入（）代入（3）就得到）就得到 （6） nnnyyyAPPyyyyyyq212121),(),(矩陣矩陣P稱為線性變換（稱為線性變換（4）的矩陣。如果）的矩陣。如果P是非奇異是非奇異的，就稱（的，就稱（4）是一個非奇異線性變換。因為）是一個非奇異線性變換。因為A是是對稱矩陣，所以對稱矩陣，所以 也是對稱矩陣。也是對稱矩陣。 APPAPPPAPAPP .)(推論推論9.1.2 一個二次型的秩在變量的非奇異線性變一個二次型的秩在變量的非奇異線性變換之下保持不變。換之下保持不變。注意注意: 如果不取二次型的矩陣是對稱矩陣，則推論如果不取二次型的矩陣是對稱矩陣，則推論9.1.2不成立不

6、成立 定理定理9.1.1 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域F上的一個以上的一個以A為為矩陣的矩陣的n元二次型。對它的變量施行一次以元二次型。對它的變量施行一次以P為矩為矩 ninjjiijxxa11APP 陣的線性變換后所得到的二次型的矩陣是陣的線性變換后所得到的二次型的矩陣是 。BAPP ABPPBPP 1111)()( 對稱性：如果對稱性：如果B與與A合同，那么合同，那么A也與也與B合同，因合同，因為由為由 可以得出可以得出9.1.3 矩陣的合同矩陣的合同定義定義2 設(shè)設(shè)A，B是數(shù)域是數(shù)域F上的兩個上的兩個n 階矩陣。如果存階矩陣。如果存在在F上的一個非異矩陣上的一個非異矩陣P，使得，使得 那么稱那么稱

7、B與與A合同。合同。 BAPP 矩陣的合同關(guān)系的性質(zhì)：矩陣的合同關(guān)系的性質(zhì)： 傳遞性：如果傳遞性：如果 B 與與 A 合同，合同，C 與與 B 合同，那么合同，那么C 與與 A 合同。合同。 自反性：任意矩陣自反性：任意矩陣A都與自身合同，因為都與自身合同，因為IAI=A事實上，由事實上，由 可得可得合同的矩陣顯然有相同的秩，并且與一個對合同的矩陣顯然有相同的秩，并且與一個對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱的稱矩陣合同的矩陣仍是對稱的.CBQQBAPP 和和CBQQAPQPQPQAPQ )()( 是數(shù)域是數(shù)域F上兩個上兩個n 元二次型，它們的元二次型，它們的矩陣分別為矩陣分別為A 和和 B. 如果可以

8、通過變量的非奇異線如果可以通過變量的非奇異線性變換將性變換將 ，則，則B與與A 合同合同. 反之，設(shè)反之，設(shè)B與與A 合同合同. 于是存在于是存在F上非奇異矩陣上非奇異矩陣P 使得使得 . 通過以通過以P為矩陣的非奇異線性變換就將為矩陣的非奇異線性變換就將 .qq 和和設(shè)設(shè)qq 變變?yōu)闉锳PPB qq 變變?yōu)闉镕上兩個二次型叫等價，如果可以通過變量的上兩個二次型叫等價，如果可以通過變量的非奇異線性變換將其中一個變成另一個非奇異線性變換將其中一個變成另一個. 定理定理9.1.3 數(shù)域數(shù)域F上兩個二次型等價的必要且充分條上兩個二次型等價的必要且充分條件是它們的矩陣合同。件是它們的矩陣合同。等價的二

9、次型具有相同的秩。等價的二次型具有相同的秩。 定理定理9.1.4 是數(shù)域是數(shù)域F上的一個上的一個n階對稱矩陣。階對稱矩陣?？偞嬖诳偞嬖贔上一個上一個n階非奇異矩陣階非奇異矩陣P，使得，使得)(ijaA 令令 ncccAPP0021即即F上的一個上的一個n階對稱矩陣都與一個對角形式矩陣合階對稱矩陣都與一個對角形式矩陣合同。同。證證 我們將利用矩陣的初等變換來證明這個定我們將利用矩陣的初等變換來證明這個定理?；貞浺幌吕怼；貞浺幌?.25.2里所定義的三種初等矩陣?yán)锼x的三種初等矩陣 容易看出，容易看出，)()(,kTkDPijiji和和)()();()(;kTkTkDkDPPijijiijiji

10、 )(ijaA 設(shè)設(shè)OA )(ijaA 設(shè)設(shè)OA 現(xiàn)在對矩陣現(xiàn)在對矩陣A A的階的階n n作數(shù)學(xué)歸納法，作數(shù)學(xué)歸納法，n = n = 1 1時定時定理顯然成立。設(shè)理顯然成立。設(shè)n 1n 1，并且假設(shè)對于，并且假設(shè)對于n n 1 1階對階對稱矩陣來說，定理成立。稱矩陣來說，定理成立。 是一個是一個n n階階矩陣矩陣. .如果如果A = OA = O，這時，這時A A本身就是對角形式。本身就是對角形式。設(shè)設(shè) , ,我們分兩種情形來考慮我們分兩種情形來考慮. .(a) 設(shè)設(shè)A的主對角線上元素不全為零，例的主對角線上元素不全為零，例如，如， .如果如果i 1，那么交換，那么交換A的第的第1列與第列與第

11、I 列，列，再交換第再交換第1行與第行與第i行，就可以把行，就可以把 換到左上角。這換到左上角。這樣就相當(dāng)于初等矩陣樣就相當(dāng)于初等矩陣 , 再用再用 . 于是于是 的左上角的元素的左上角的元素0 iiaiiaAPi右乘右乘1APPii左乘左乘11 iiAPP11 011 a111aaj 不等于零不等于零. 因此，我們不妨設(shè)因此，我們不妨設(shè) ，用，用 乘乘 j 行，就可以把第一行第行，就可以把第一行第 j 列和第列和第 j 行第行第1列位置的列位置的元素變成零。元素變成零。 A的第的第1列加到第列加到第 j 列，再用列，再用 乘第乘第1行加到第行加到第111aaj 這相當(dāng)于用這相當(dāng)于用 右乘右乘

12、A，用，用 )(1111aaTjj )()(11111111aaTaaTjjjj 左乘左乘A。這樣，總可以選取初等矩陣。這樣，總可以選取初等矩陣 ,使得使得 sEEE,21 00001112112AaEEAEEEEss這里這里 是一個是一個n 1階的對稱矩陣。階的對稱矩陣。 1A由歸納法假設(shè)，存在由歸納法假設(shè)，存在n 1階可逆矩陣階可逆矩陣 使得使得 1Q ncccQAQ0032111 000011QQQEEEPs21 取取那么那么 nsscccQAQaQAaQQEEAEEEEQAPP000000000021111111112112這里這里 。 111ac (b) 如果如果 . 由于由于AO，

13、所以一，所以一定有某一個元素定有某一個元素 . 把把A的第的第 j 列加列加到第到第 i列列, 再把第再把第 j 行加到第行加到第 i行行, 這相當(dāng)于初等矩陣這相當(dāng)于初等矩陣 右乘右乘A . 再用再用 左乘左乘A. 而經(jīng)過這樣而經(jīng)過這樣的變換后所得到的矩陣第的變換后所得到的矩陣第 i行第行第 j 列的元素列的元素是是 . 于是由情形（于是由情形（b）就歸結(jié)到情形（）就歸結(jié)到情形（a）.niaii, , 2 , 1, 0 jiaij , 0)1(jiT)1()1( jiijTT02 ija注意注意 在定理在定理 9.1.2的主對角形矩陣的主對角形矩陣 中，主對中，主對角線上的元素角線上的元素 的

14、一部分甚至全部可以是的一部分甚至全部可以是零。顯然，不為零的零。顯然，不為零的 的個數(shù)等于的個數(shù)等于A的秩，如果秩的秩，如果秩A等于等于r 0，那么由定理的證明過程可以知，那么由定理的證明過程可以知APP nccc,21ic0, 0,2121 nrrrcccccc而而給了數(shù)域給了數(shù)域 F 上一個上一個n 階對稱矩陣階對稱矩陣A， 由定理由定理9.1.2的證明過程還可以看出，我們可以具體求出一的證明過程還可以看出，我們可以具體求出一個可逆矩陣個可逆矩陣P，使，使 有對角形式，只要在對有對角形式，只要在對A施行一對列初等變換和行初等變換的同時，僅對施行一對列初等變換和行初等變換的同時，僅對n階單位

15、矩陣階單位矩陣 I 施行同樣的列初等變換，那么當(dāng)施行同樣的列初等變換，那么當(dāng)A化化為對角形式時，為對角形式時，I 就化為就化為P。 APP 例例1 設(shè)設(shè) 04034126006303000A我們按定理我們按定理9.1.2所給出的方法對所給出的方法對A施行行和列施行行和列初等變換，將初等變換，將A變成，使得是一個對變成，使得是一個對角形矩陣。同時對單位矩陣角形矩陣。同時對單位矩陣 ，施行同樣的初等，施行同樣的初等變換而得出變換而得出P。 APP APP 4I交換交換A第一列和第二列，第一行和第二行，同第一列和第二列，第一行和第二行，同時交換時交換 的第一列和第二列。這時的第一列和第二列。這時A和

16、和 分別化分別化為：為： 4I4I 1000010000010010,0430412063000060311PA把把 的第一列乘以的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同時把加到第三行，同時把 的第一列乘以的第一列乘以2加到第三列。加到第三列。分別得到：分別得到： 1A1P 1000010002010010,043040003000000322PA把把 的第四列加到第二列，第四行加到第二的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同時把行，同時把 和第四列加到第二列，得和第四列加到第二列，得2A2P 1010010002010010,0430404034600003

17、33PA以以 2/3 和和 1 /2 乘乘 的第二列依次回到第三的第二列依次回到第三列和第四列上列和第四列上, 再以再以 2/3 和和1 /2 乘第二行依次加到乘第二行依次加到第三行和第四行上，同時對第三行和第四行上，同時對 的列施行同樣的初的列施行同樣的初等變換。得等變換。得3A3P 21322132423384100100020110,20020000600003PA最后，以最后，以 3/4 乘乘 的第三列加到第四列上的第三列加到第四列上,再以再以3/4 乘第三行加到第四行上，并且對乘第三行加到第四行上，并且對 的的列施行同樣的初等變換，我們得到列施行同樣的初等變換，我們得到 4A4p 0

18、10100201110,000000000600003434323325385PA取取 。于是。于是5PP 00000380000600003APP9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理定理9.1.5 數(shù)域數(shù)域F上每一個上每一個n元二次型元二次型 ninjjiijxxa11可以通過變量的非奇異線性變換化為：可以通過變量的非奇異線性變換化為： Fcccycycycnnnn ,21222211例如，以例例如，以例 1 中對稱矩陣中對稱矩陣A為矩陣的二次型是為矩陣的二次型是 43324123224218126123),(xxxxxxxxxxxq 通過變量的非奇異線性變換通過變量的非奇異線性變換

19、 4321432103210431002320113210yyyyxxxx化為化為 .3863232221yyy 練習(xí)練習(xí)1 寫出下列二次型的矩陣寫出下列二次型的矩陣 3213213219 8 76 5 43 2 1 ,xxxxxxxxxf練習(xí)練習(xí)2 寫出對應(yīng)下列方陣的二次型寫出對應(yīng)下列方陣的二次型 4 3 23 2 12 1 1例例2 分別用配方法和合同變換法化二次型分別用配方法和合同變換法化二次型 323121321622),(xxxxxxxxxf 成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形. (讀者答題）讀者答題） 3213211 0 01- 1 02 1- 1yyyxxx練習(xí)練習(xí)3 已知二次型已知二次型 312

20、12221321222,xxxxxxxxxf 試對它作如下非奇異線性變換試對它作如下非奇異線性變換9.2 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型 一一.內(nèi)容分布內(nèi)容分布 9.2.1 復(fù)二次型的典范形復(fù)二次型的典范形 9.2.2 實二次型的典范形實二次型的典范形二二.教學(xué)目的教學(xué)目的 1掌握復(fù)二次型的典范形、實二次型的典范形、掌握復(fù)二次型的典范形、實二次型的典范形、實二次實二次 型的慣性指標(biāo)型的慣性指標(biāo).、符號差等概念。、符號差等概念。 2掌握實二次型的慣性定律掌握實二次型的慣性定律.三三.重點、難點重點、難點： 實二次型的慣性定律實二次型的慣性定律. 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型分別叫做

21、復(fù)二次型復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型分別叫做復(fù)二次型和實二次型和實二次型. 9.2.1 復(fù)二次型的典范形復(fù)二次型的典范形 定理定理9. 2. 1 復(fù)數(shù)域上兩個復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣合同的充分階對稱矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩且必要條件是它們有相同的秩. 兩個復(fù)二次型等價兩個復(fù)二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩的充分且必要條件是它們有相同的秩. 證證 顯然只要證明第一個論斷顯然只要證明第一個論斷. 條件的必要性是明顯的條件的必要性是明顯的. 我們只要證條件的充我們只要證條件的充分性分性. 設(shè)設(shè)A，B是復(fù)數(shù)域上兩個是復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣，且階對稱矩陣，且A與與B有相同的秩有相

22、同的秩r ，由定理，由定理9.1.2，分別存在復(fù)可逆矩，分別存在復(fù)可逆矩陣陣P和和Q，使得，使得 000021rcccAPP 000021rdddBQQridcrii, 2 , 1, 0, 0,0 時時當(dāng)當(dāng)取取 n 階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣 1011011rccS 1011011rddT的一個平方根的一個平方根. iiiidcdc,分分別別表表示示復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)這這里里那么那么 ，而，而 TTSS , OOOIBQTQTAPSPSr因此，矩陣因此，矩陣A，B 都與矩陣都與矩陣 OOOIr合同，所以合同，所以A與與B合同合同. 9.2.2 實二次型的典范形實二次型的典范形定理定理9.2.2 實數(shù)域上每一實數(shù)域

23、上每一n 階對稱矩陣階對稱矩陣A 都合同于如都合同于如下形式的一個矩陣：下形式的一個矩陣： （1） OOOOIOOOIprp這里這里 r 等于等于A的秩的秩. 證證 由定理由定理9.1.2，存在實可逆矩陣，存在實可逆矩陣P，使得，使得 000021rcccAPP如果如果r 0 ，必要時交換兩列和兩行，我們總，必要時交換兩列和兩行，我們總可以假定可以假定 rpcccrp 0, 0, 0,1取取 101|10|11rccT那么那么 OOOOIOOOIAPTPTprp定理定理9.2.3 實數(shù)域上每一實數(shù)域上每一 n 元二次型都與如下形式元二次型都與如下形式的一個二次型等價：的一個二次型等價： （1）

24、 221221rppxxxx 這里這里 r 是所給的二次型的秩是所給的二次型的秩. 二次型（二次型（1）叫做實二次型的典范形式，定理）叫做實二次型的典范形式，定理9.2.3 是說，實數(shù)域上每一個二次型都與一個典范是說，實數(shù)域上每一個二次型都與一個典范形式等價形式等價. 在典范形式里，平方項的個數(shù)在典范形式里，平方項的個數(shù) r 等于二等于二次型的秩，因而是唯一確定的次型的秩，因而是唯一確定的. 定理定理 9.2.4（慣性定律）（慣性定律）設(shè)實數(shù)域設(shè)實數(shù)域R上上n元二次型元二次型 ninjjiijxxa11等價于兩個典范形式等價于兩個典范形式 221221rppyyyy （2）221221rppz

25、zzz （3）那么那么pp 證證 設(shè)（設(shè)（2）和（）和（3）分別通過變量的非奇異線性變）分別通過變量的非奇異線性變換換 （4）nixsynjjiji, 2 , 1,1 （5）nixtznjjiji, 2 , 1,1 化為所給的二次型化為所給的二次型 如果如果 不不,11 ninjjiijxxa,pp 妨設(shè)妨設(shè) 考慮考慮 個方程的齊次線性方個方程的齊次線性方程組程組,pp pnp （6） npixtpixsnjjijnjjij, 1, 2 , 1,11因為因為 所以所以 因此，方程組（因此，方程組（6）在在R內(nèi)有非零解內(nèi)有非零解. 令令 是（是（6）的一個非）的一個非零解零解. 把這一組值代入把

26、這一組值代入 的表示式的表示式,pp ,npnp ),(21nccciizy 和和（4）和（）和（5）. 記記 nicscynjjiji, 2 , 1,)(1 nictcznjjiji, 2 , 1,)(1 我們有我們有 njnijjijirpprppccaczczczczcycycycy1221221221221)()()()()()()()(然而然而0)()(, 0)()(11 czczcycyrpp所以所以 221221)()()()(czczcycyprp 因為因為 都是非負(fù)數(shù)，所以必須都是非負(fù)數(shù)，所以必須22)()(czcyii和和0)()(0)()(11 czczcycyprp又又

27、 所以所以 是齊是齊次線性方程組次線性方程組 . 0)()(1 czcznpnccc,21nictnjjij, 2 , 1, 01 的一個非零解的一個非零解.這與矩陣這與矩陣 的非奇異性矛盾的非奇異性矛盾. )(ijt這就證明了這就證明了 . 同理可證得同理可證得 . 所以所以 pp pp .pp 由這個定理，實數(shù)域上每一個二次型都與由這個定理，實數(shù)域上每一個二次型都與 唯一的典范形式（唯一的典范形式（1）等價）等價. 在（在（1）中，正平方項的個數(shù)中，正平方項的個數(shù) p 叫做所給二次型的慣性指標(biāo)叫做所給二次型的慣性指標(biāo). 正項的個數(shù)正項的個數(shù)p與負(fù)項的個數(shù)與負(fù)項的個數(shù) r p 的差的差s =

28、 p (r p) = 2p r 叫做所給的二次型的符號差叫做所給的二次型的符號差. 一個實二次型的秩，慣性指標(biāo)和符號都是唯一確定一個實二次型的秩，慣性指標(biāo)和符號都是唯一確定的的. ),(21nxxxq定理定理9.2.5 實數(shù)域上兩個實數(shù)域上兩個 n 元二次型等價的充分且元二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩和符號差必要條件是它們有相同的秩和符號差. 證證 設(shè)設(shè) 是實數(shù)域是實數(shù)域上兩個上兩個n元二次型元二次型. 令令 分別是它們的矩分別是它們的矩陣陣. 那么由定理那么由定理9.2.2，存在實可逆矩陣，存在實可逆矩陣P，使得，使得),(),(212211nnxxxqxxxq和和21AA 和和

29、 OOOOIOOOIPAPprp1如果如果 等價，那么等價，那么 合同合同. 于是存在實于是存在實可逆矩陣可逆矩陣Q 使得使得 . 取取 ，那么，那么12qq 與與12AA 和和QAQA12 PQT1 OOOOIOOOIPAPPQQAQQPTATprp11112因此因此 都與同一個典范形式等價，所以它們有都與同一個典范形式等價，所以它們有相同的秩和符號差相同的秩和符號差. 12qq 與與反過來，如果反過來，如果 有相同的秩有相同的秩 r 和符號差和符號差s ,21,qq)(21srp 21,AA那么它們也有相同的慣性指標(biāo)那么它們也有相同的慣性指標(biāo) . 因此因此 都與矩陣都與矩陣 OOOOIOO

30、OIprp合同合同. 由此推出由此推出 合同，從而合同，從而 等價等價. 12AA 和和12qq 與與推論推論 9.2.6 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上一切上一切n元二次型可以分成元二次型可以分成 )2)(1(21 nn 類，屬于同一類的二次型彼此等價，類，屬于同一類的二次型彼此等價，屬于不同類的二次型互不等價屬于不同類的二次型互不等價. 證證 給定給定 . 令令 rpnr 00和和 OOOOIOOOICprppr,由定理由定理9.2.4，R上每一上每一n元二次型恰與一個以元二次型恰與一個以 為矩陣的典范形式等價為矩陣的典范形式等價. 當(dāng)當(dāng) r 取定后，取定后，p 可以取可以取0，1， ，r ；而；而

31、 r 又可以取又可以取0，1，n 中任何一個中任何一個數(shù)數(shù). 因此這樣的因此這樣的 共有共有 prC,prC,)2)(1(21)1(21 nnn個個. 對于每一個對于每一個 ，就有一個典范形式，就有一個典范形式 prC,221221rppxxxx 與它相當(dāng)與它相當(dāng). 把與同一個典范形式等價的二次型放在把與同一個典范形式等價的二次型放在一類，于是一類，于是 R 上的一切上的一切 n 元二次型恰可以分成元二次型恰可以分成 類，屬于同一類的二次彼此等價，類，屬于同一類的二次彼此等價，屬于不同類的二次互不等價屬于不同類的二次互不等價.)2)(1(21 nn例例 1 a 滿足什么條件時，二次型滿足什么條

32、件時，二次型 3132212322213212223,xxxaxxxaxxxxxxf 的慣性指標(biāo)是的慣性指標(biāo)是0，符號差是，符號差是2 ？寫出其典范形。？寫出其典范形。 解解 實二次型實二次型 的矩陣為的矩陣為 321,xxxf a a - aA1 3- 1-1- 1- 1經(jīng)過合同變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形經(jīng)過合同變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形 3100 0 2- 0 0 0 1aa 所以當(dāng)所以當(dāng) 或或 時，二次型的慣性指標(biāo)是時，二次型的慣性指標(biāo)是0，符號差是符號差是2，其典范形為，其典范形為 1 a3 a 2221321,zzxxxf 9.3.1正定二次型正定二次型 9.3.2 正定二次型的判別正定二次型的判別 1

33、掌握正定二次型、正定矩陣、順序主子式、負(fù)掌握正定二次型、正定矩陣、順序主子式、負(fù)定二次型、半正定二次型、半負(fù)定二次型、不定定二次型、半正定二次型、半負(fù)定二次型、不定二次型的概念。二次型的概念。 實二次型實二次型 AXXxxxfn),(21正定的判定。正定的判定。 2掌握實二次型掌握實二次型 AXXxxxfn),(21正定的判正定的判 定定理。定定理。 9.3 正定二次型正定二次型1基本概念基本概念 i）正定二次型）正定二次型實二次型實二次型 ),(21nxxxf稱為正定的，如果對于稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)任意一組不全為零的實數(shù) nccc,21都有都有 12( ,)0.nf c

34、 ccii）正定矩陣）正定矩陣 實對稱矩陣實對稱矩陣 稱為正定的，如果二次型稱為正定的，如果二次型 AAXXiii）負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定的二次型）負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定的二次型設(shè)設(shè) 是一實二次型，如果對于任意一組是一實二次型，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)不全為零的實數(shù) ，),(21nxxxfnccc,211都有都有 , 那么那么 稱為負(fù)稱為負(fù)定的；定的； 0),(21ncccf),(21nxxxf2都有都有 ，那么，那么 稱為半正稱為半正定的；定的； 0),(21ncccf),(21nxxxf3都有都有 ， 那么那么 稱為半稱為半負(fù)定的；負(fù)定的； 0),(21ncccf),(21n

35、xxxf4如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么 就就稱為不定的稱為不定的. ),(21nxxxf),(21nxxxf稱為正定稱為正定 ),(21nxxxf 稱為負(fù)定稱為負(fù)定 ),(21nxxxf稱為半正定稱為半正定 ),(21nxxxf 稱為半負(fù)定稱為半負(fù)定 例例1 下列實二次型是否為正定的二次型：下列實二次型是否為正定的二次型：1） 222132132,xxxxxf2） 222132132,xxxxxf3） 2322213212132,xxxxxxf（半正定）（半正定） 例例2 若若 ， 都是都是 階正定矩陣，階正定矩陣， 證明：證明： 是正定矩陣。是正定

36、矩陣。 ABnBA證明：證明： 只需證明只需證明 正定。正定。 XBAXxxxfn,21由由 ， 都是正定矩陣，知都是正定矩陣，知 ， 正定，正定， A BAXXxxxgn,21BXXxxxhn,21所以對于任意一組不全為所以對于任意一組不全為零的實數(shù)零的實數(shù) nccc,21， 有有 0),(21ncccg， 0),(21nccch從而從而 0),(),(),(212121nnnccchcccgcccf故故 XBAXxxxfn,21正定。正定。 2兩個結(jié)論兩個結(jié)論1實二次型實二次型 是正是正定的當(dāng)且僅當(dāng)定的當(dāng)且僅當(dāng) . 222221121),(nnnxdxdxdxxxfnidi, 2 , 1,

37、0證明：若證明：若 正定，正定，則對任意一組不全為零的實數(shù)則對任意一組不全為零的實數(shù) ，都有，都有 . 分別選取分別選取 為為 ，則有，則有 . 222221121),(nnnxdxdxdxxxfnccc,210),(222221121nnncdcdcdcccf),(21nccc) 1 , 0 , 0( ),0 , 1 , 0( ),0 , 0 , 1 (nidi, 2 , 1,0nidi, 2 , 1,0若若 .則對任意一組不全為零的實則對任意一組不全為零的實數(shù)數(shù) ，都有，都有 nidi, 2 , 1,0nccc,210),(222221121nnncdcdcdcccf所以所以 222221

38、121),(nnnxdxdxdxxxf是正定的。是正定的。 2非退化實線性替換保持實二次型的正定性不變非退化實線性替換保持實二次型的正定性不變. 設(shè)實二次型設(shè)實二次型jiijninjjiijnaaxxaxxxf ,),(1121(1) 經(jīng)過非退化實線性替換經(jīng)過非退化實線性替換 CYX (2) 變成二次型變成二次型jiijninjjiijnbbyybyyyg ,),(1121(3) 則則 是正定的是正定的 是正是正定的。定的。),(21nxxxf),(21nyyyg證明證明： 若若 是正定的。對于任意一是正定的。對于任意一 組組不全為零的實數(shù)不全為零的實數(shù) ，令，令),(21nxxxfnkkk,

39、21nnkkkCuuu2121由于由于 是可逆實矩陣，故是可逆實矩陣，故 也是一組不全為也是一組不全為零的實數(shù)，從而零的實數(shù)，從而 Cnuuu,210),(),(21111121nninjjiijninjjiijnuuufuuakkbkkkg因為二次型（因為二次型（3）也可以經(jīng)非退化實線性替換）也可以經(jīng)非退化實線性替換XCY1變到二次型（變到二次型（1），所以按同樣理由，當(dāng)（），所以按同樣理由，當(dāng)（3）正定）正定時，（時，（1）也正定）也正定. 1判別定理判別定理1： 1實二次型實二次型 是正定的是正定的 它的正慣它的正慣性指數(shù)等于性指數(shù)等于 .),(21nxxxfn2實二次型實二次型 是正定

40、的是正定的 它的規(guī)范它的規(guī)范形為形為 。 ),(21nxxxf22221nyyy3一個實對稱矩陣是正定的一個實對稱矩陣是正定的 它與單位矩陣合它與單位矩陣合同同. 例例3 正定矩陣的行列式大于零正定矩陣的行列式大于零. 逆命題不成立。逆命題不成立。 1 0 0 1A反例：反例： 的行列式大于零，但它對應(yīng)的二次型的行列式大于零，但它對應(yīng)的二次型 不是正定的。不是正定的。 A222121),(xxxxf提示：提示：IAAAA2矩陣的順序主子式矩陣的順序主子式 111,Pa111222122,aaPaa ,3332312322211312113aaaaaaaaaP nnnnnnnaaaaaaaaaP

41、212222111211稱為矩陣稱為矩陣 的順序主子式的順序主子式. nnijaA)(矩陣矩陣 的第的第 個順序主子式為個順序主子式為 nnijaA)(i練習(xí)練習(xí)1：若：若 是是 階實矩陣，則滿足（階實矩陣，則滿足（ ）時，）時， 是正定矩陣。是正定矩陣。AnAA), 2 , 1( 212222111211niaaaaaaaaaPiiiiiii稱為矩陣稱為矩陣 的順序主子式的順序主子式.nnijaA)(3判別定理判別定理2：實二次型：實二次型 AXXxxaxxxfninjjiijn1121),(是正定的是正定的 矩陣矩陣 的順序主子式全大于零的順序主子式全大于零. A例例4 判定二次型判定二次

42、型 32312123222132148455),(xxxxxxxxxxxxf是否正定是否正定.),(321xxxf 的矩陣為的矩陣為 5 2- 4-2- 1 2 4- 2 5 ，它的順序主子，它的順序主子式式 50 ，5 2102 1 ， 5 2 -4 2 1 -210-4 -2 5 ，所以，所以， 正定。正定。),(321xxxfA ， B. 非退化，非退化， C. 的元素的元素全是正實數(shù)，全是正實數(shù)， D. 的主對角上元素全為正。的主對角上元素全為正。0|AAAA練習(xí)練習(xí)2：若：若 是正定矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是是正定矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）。）。 A練習(xí)練習(xí)3：設(shè)：設(shè) 1 11 2

43、A，1 11 3B，1 11 2C，易知易知 都是正定矩陣，但都是正定矩陣，但 CBA,2 43 7AB，2 33 4AC，不是正定矩陣。不是正定矩陣。 9.4 主軸問題主軸問題 一一.內(nèi)容分布內(nèi)容分布 9.4.1 變量的正交變換變量的正交變換 9.4.2 實對稱矩陣的相似對角形實對稱矩陣的相似對角形二二.教學(xué)目的教學(xué)目的: 1掌握變量的正交變換掌握變量的正交變換 2掌握將實二次型通過變量的正交變換化為一掌握將實二次型通過變量的正交變換化為一 個只含變量平方項的二次型個只含變量平方項的二次型三三.重點、難點重點、難點: 實二次型通過變量的正交變換化為一個只含變實二次型通過變量的正交變換化為一個

44、只含變量平方項的二次型量平方項的二次型9.4.1 變量的正交變換變量的正交變換我們已經(jīng)看到我們已經(jīng)看到, 實數(shù)域上一個二次型實數(shù)域上一個二次型 可以經(jīng)過變量的非奇異變換可以經(jīng)過變量的非奇異變換),(21nxxxq nnyyyPxxx2121化為二次型化為二次型.221221rppyyyy 定義定義: 我們一般地討論將一個我們一般地討論將一個n元實二次型通過元實二次型通過變量的正交變換化為一個只含變量平方項的二次型變量的正交變換化為一個只含變量平方項的二次型問題問題, 這個問題稱為二次型的主軸問題這個問題稱為二次型的主軸問題. 這里所說的這里所說的變量的正交變換指的是這個變換的矩陣是正交矩陣變量

45、的正交變換指的是這個變換的矩陣是正交矩陣. 由于正交矩陣是非奇異的由于正交矩陣是非奇異的, 所以變量的正交變所以變量的正交變換是非奇異的換是非奇異的. 用矩陣的語言來說就是用矩陣的語言來說就是, 給一個實給一個實對稱矩陣對稱矩陣A, 要尋求一個正交矩陣要尋求一個正交矩陣U, 使得使得 是對角形式是對角形式, 這個問題在這個問題在8.4里實際上已經(jīng)得到解決里實際上已經(jīng)得到解決.AUU 定理定理9.4.1 設(shè)設(shè) ninjjiijnxxaxxxq1121),(是實數(shù)域上一個二次型是實數(shù)域上一個二次型, 那么總可以通過變量的正那么總可以通過變量的正交變換交變換 nnyyyUxxx2121化為化為 這里

46、這里U是一個正交矩陣是一個正交矩陣,而而 是二次型是二次型 的全部特征的全部特征根根. .2222211nnyyy Rn ,21 ijaA 證證 是一個是一個n 階實對稱矩陣階實對稱矩陣.由定理由定理8.4.3 和和 8.4.6,存在一個正交矩陣存在一個正交矩陣U , 使得使得 ijaA .0021 nAUU 這里這里 是是A的全部特征根的全部特征根.這也就相這也就相當(dāng)于說以當(dāng)于說以A為矩陣的二次型可以通過變量的正交變?yōu)榫仃嚨亩涡涂梢酝ㄟ^變量的正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式換化為標(biāo)準(zhǔn)形式 Rn ,21.2222211nnyyy 推論推論9.4.2 設(shè)設(shè) ninjjiijnxxaxxxq1121),(是

47、實數(shù)域上一個是實數(shù)域上一個n元二次型元二次型, 是它的矩陣是它的矩陣. ijaA (i) 二次型二次型 的秩等于的秩等于A 的不等于的不等于零的特征根的個數(shù)零的特征根的個數(shù), 而符號差等于而符號差等于A 的正特征根個的正特征根個數(shù)與負(fù)特征根個數(shù)的差數(shù)與負(fù)特征根個數(shù)的差. (ii) 二次型二次型 是正交的必要且只要是正交的必要且只要A的所有特征根都是正數(shù)的所有特征根都是正數(shù).),(21nxxxq),(21nxxxq9.4.2 實對稱矩陣的相似對角形實對稱矩陣的相似對角形例例1 已知實二次型已知實二次型 323121232221321222222,xxxxxxxxxxxxf (1) 用正交線性變換

48、將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形用正交線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出并寫出所用的正交線性變換；所用的正交線性變換； (2) 求出的秩、慣性指標(biāo)與符號差求出的秩、慣性指標(biāo)與符號差. 2 1- 1-1- 2 1-1 - 1- 2A解解 （1） 的矩陣為的矩陣為 321,xxxf求求 f 的全部特征根：因為的全部特征根：因為 232111 2111 2| xx x- x- xAxI故的全部特征根為故的全部特征根為 （二重），（二重）， 。31 02 對特征根對特征根 ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組 31 000321321321xxxxxxxxx得一基礎(chǔ)解系：得一基礎(chǔ)解系： 1 0 1 ,0 1 121

49、 對特征根對特征根 ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組 02 020202321321321xxxxxxxxx得一基礎(chǔ)解系：得一基礎(chǔ)解系： 1113 1113 ,1 0 1 ,0 1 121 對對 正交化、單位化得：正交化、單位化得： ,62 6161 ,0 21 2121 ee 3131313e以以 為列作一個正交矩陣為列作一個正交矩陣321 , ,eee 31 62 0 31 61 21 31 61 21T則則 3 0 00 3 00 0 3ATT于是于是 經(jīng)過正交線性變換經(jīng)過正交線性變換 ，化，化為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形 321,xxxfTYX 222132133,yyxxxf （2） 由（由

50、（1） 的秩為的秩為2，慣性指，慣性指標(biāo)標(biāo) ，符號差，符號差 . 321,xxxf2 p22 rps二次型與雙線性函數(shù)有著密切的關(guān)系，后者也是線性代數(shù)里一個非常重要概念。在這一章的后面，我們介紹一個雙線性函數(shù)。 回憶7.1例6，數(shù)域F上向量空間V到F的線性映射也叫作V上線性函數(shù)?，F(xiàn)在定義雙線性函數(shù)的概念。 定義 1 設(shè)V是數(shù)域F上一個向量空間。V上一個雙線性函數(shù)指的是一個映射,對于V中任意一對向量，有F中唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)，并滿足下列條件：這里 例如，歐氏空間的內(nèi)積就是這個空間上一個雙線性函數(shù)。 設(shè) 是數(shù)域F上向量空間V上一個雙線性函數(shù)。由定義1中條件(i)，(ii)，(ii)，容易推出。 （1）這里1212,fff1212,fff ,fafaaf FaV,2121fminjjijiminjjjiifbabaf1111),(),(Fbaji,Vji