電子系14級(jí)信號(hào)與系統(tǒng)第2章

1、第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.3 卷積積分卷積積分 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：建立并求解線建立并求解線性微分方程性微分方程。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故，故稱為稱為時(shí)域分析法時(shí)域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)

2、。 第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)微分方程的經(jīng)典解：微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）齊次解齊次解是齊次微分方程是齊次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+

3、a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根確定。確定。特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。P41表表2-1、2-2第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 齊次解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自自由響應(yīng)由響應(yīng)；特解特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.1-1 描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系

4、統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求求 當(dāng)當(dāng)f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1時(shí)的全解；時(shí)的全解； 解解: (一一) 求齊次解求齊次解yh(t) (1) 寫出齊次方程寫出齊次方程 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 0 (2) 寫出特征方程：寫出特征方程：2 + 5+ 6 = 0 (3) 求出特征根：求出特征根： 1= 2，2= 3 (4) 寫出齊次解寫出齊次解(查表查表2-1) yh(t) = C1e 2t + C2e 3t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 (二二) 求特解求特解yp(t) (1) 由由f(t)

5、的類型，查表的類型，查表2-2，寫出特解的形式，寫出特解的形式 當(dāng)當(dāng)f(t) = 2e t時(shí)，其特解時(shí)，其特解 yp(t) = Pe t(2) 由由yp(t)寫出寫出yp(t) 、yp(t) yp(t) = Pe t , yp(t) = Pe t(3) 將將yp(t)、yp(t)、yp(t)代入原微分方程，確定系數(shù)代入原微分方程，確定系數(shù)值值 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1(4) 寫出特解：寫出特解： yp(t) = e t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 (三三) 求全解求全解(1) 寫出全解寫出全解 y(t)= yh(t)+ yp(t) = C

6、1e 2t + C2e 3t + e t(2) 寫出寫出 y(t)： y(t) = 2 C1e 2t 3 C2e 3t e t(3) 將將y(0)，y(0)值分別代入值分別代入y(t)，y(t)，求待定系數(shù)，求待定系數(shù) y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 (4) 寫出全解寫出全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 齊次解：齊次解： yh(t) = 3e 2t 2e 3t 函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f

7、(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)；特征方程的根稱為系統(tǒng)的特征方程的根稱為系統(tǒng)的“固有頻率固有頻率”，它決定了系，它決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的形式。但是應(yīng)統(tǒng)自由響應(yīng)的形式。但是應(yīng)注意：齊次解的系數(shù)與激注意：齊次解的系數(shù)與激勵(lì)有關(guān)。勵(lì)有關(guān)。特解：特解： yp(t) = e t 函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 如果輸入是階躍信號(hào)或有始周期信號(hào)，那么也如果輸入是階躍信號(hào)或有始周期信號(hào)，那么也可將系統(tǒng)響應(yīng)分解為可將系統(tǒng)響應(yīng)分解為瞬態(tài)瞬態(tài)(暫態(tài)暫態(tài))響應(yīng)響應(yīng)和和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。完全響

8、應(yīng)中完全響應(yīng)中暫時(shí)存在的分量稱為暫態(tài)響應(yīng)暫時(shí)存在的分量稱為暫態(tài)響應(yīng)， 隨著時(shí)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，它最終將衰減為零；響應(yīng)中剩余部分稱間的增長(zhǎng)，它最終將衰減為零；響應(yīng)中剩余部分稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，通常也由階躍信號(hào)或周期信號(hào)組成。為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，通常也由階躍信號(hào)或周期信號(hào)組成。 （例（例2.1-2，P42）第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值 若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時(shí)用時(shí)用t = 0+時(shí)刻的時(shí)刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于

9、描述系包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。統(tǒng)的歷史信息。 在在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值y(j)(0-)反映反映了了系統(tǒng)的歷史情況系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為初始初始狀態(tài)狀態(tài)或或起始值起始值。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值 通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)(0-)一般容易一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得設(shè)法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。下列

10、舉例說明。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.1-32.1-3：描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為已知已知 ， ， ，求，求 和和 。 解解：將輸入將輸入 代入上述微分方程得代入上述微分方程得 （1）利用利用系數(shù)匹配法系數(shù)匹配法分析：等號(hào)兩端分析：等號(hào)兩端(t)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等。項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等。 ( )2 ( )( )( )2 ( )y ty ty tftf t(0 )1y (0 )1y ( )( )f tt(0 )y(0 )y( )( )f tt( )2 ( )( )( )2 ( )y ty ty ttt第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 ( )yt包含( )at( )y t

11、包含( )at包含)(ty2( )( )atr t0( )( )( )btctr t( )2 ( )( )( )2 ( )y ty ty ttt1( )( )btr t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 令0( )( )( )( )( )ytatbtctr t其中，其中，a，b，c為待定系數(shù)，為待定系數(shù)，0( )r t為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)對(duì)上式從對(duì)上式從-到到t積分積分0( )( )( )( )( )ttytdtatbtctrxdx得得1( )( )( )( )y tatbtr t其中其中10( )( )( )tr tctrxdx為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)1( )r t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 因

12、為因?yàn)閷?duì)上式從對(duì)上式從-到到t積分積分1( )( )( )( )tty tdtatbtr xdx得得2( )( )( )y tatr t其中其中21( )( )( )tr tbtr xdx1( )( )( )( )y tatbtr t為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)2( )r t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 將將代入原微分方程，得代入原微分方程，得( )y t( )yt( )y t0( )( )( )( )atbtctr t12( )( )( )atbtr t2( )( )atr t( )2 ( )tt整理后得整理后得012( )(2) ( )(2) ( ) ( )2 ( )( )( )2 ( )ata

13、btabctr tr tr ttt等號(hào)兩端等號(hào)兩端( ) t及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別相等，故得及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別相等，故得12022aababc求得求得125abc 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 1( )( )2( )( )ytttr t0( )( )2( )5 ( )( )yttttr t00000000000( )( )2( )5( )( )y t dtt dtt dtt dtr t dt000010000( )( )2( )( )y t dtt dtt dtr t dt對(duì)上兩式從對(duì)上兩式從0- 到到0+積分積分第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 0000( )(0 )(0 )( )(

14、0 )(0 )y t dtyyy t dtyy 000010( )0( )0r t dtr t dt000000( )( )0( )1t dtt dtt dt(0 )(0 )5(0 )(0 )2yyyy (0 )(0 )54(0 )(0 )21yyyy 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 由上可見，由上可見，當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)(t)及其及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，響應(yīng)各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將處將發(fā)生躍變。發(fā)生躍變。(y(t)及其導(dǎo)數(shù)不連續(xù)及其導(dǎo)數(shù)不連續(xù))但如果方程右端不含但如果方程右端不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，則不

15、會(huì)躍變及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，則不會(huì)躍變。由由 0- 0- 值求得值求得 0+ 0+ 值的步驟值的步驟 (以二階系統(tǒng)為例以二階系統(tǒng)為例) 見見 P45第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 三、零輸入響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)1 系統(tǒng)初始條件系統(tǒng)初始條件 根據(jù)線性系統(tǒng)的分解性，根據(jù)線性系統(tǒng)的分解性，LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)可分解為零輸入響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)yzi(t)和零狀態(tài)響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)，即，即 ( )( )( )zizsy tytyt分別令分別令t=0和和t=0+，可得，可得 (0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )zizszizsyyyyyy第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分

16、析 對(duì)于因果系統(tǒng)，由于激勵(lì)在對(duì)于因果系統(tǒng)，由于激勵(lì)在t=0時(shí)接入，時(shí)接入， yzs(0-)=0；對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部參數(shù)不隨時(shí)間變化，對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部參數(shù)不隨時(shí)間變化， yzi(0+)=yzi(0-)。因此，可寫為。因此，可寫為 (0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )zizizizszsyyyyyyyy同理，可推得同理，可推得y(t)的各階導(dǎo)數(shù)滿足的各階導(dǎo)數(shù)滿足 ( )( )( )( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )jjjzizijjjzsyyyyyy第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 對(duì)于對(duì)于n階系統(tǒng)，分別稱階系統(tǒng)，分別稱為系統(tǒng)的為系統(tǒng)

17、的0-和和0+初始條件初始條件( )( )(0 )(0,1,1)(0 )(0,1,1)jjyjnyjn第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 上式給出了系統(tǒng)上式給出了系統(tǒng)0+與與0-初始條件之間的相互關(guān)系，即系初始條件之間的相互關(guān)系，即系統(tǒng)的統(tǒng)的0+初始條件可通過初始條件可通過0-初始條件和零狀態(tài)響應(yīng)及其各階導(dǎo)初始條件和零狀態(tài)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來確定。數(shù)的初始值來確定。 系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)都由這一時(shí)刻的狀態(tài)和激勵(lì)共同系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)都由這一時(shí)刻的狀態(tài)和激勵(lì)共同決定，由于在決定，由于在t=0-時(shí)刻，輸入激勵(lì)沒有接入系統(tǒng)，故時(shí)刻，輸入激勵(lì)沒有接入系統(tǒng)，故0-初始初始條件是完全由系統(tǒng)在條件是完全

18、由系統(tǒng)在0-時(shí)刻的狀態(tài)決定的?；蛘哒f，時(shí)刻的狀態(tài)決定的?；蛘哒f，0-初始初始條件反映了系統(tǒng)初始狀態(tài)的作用效果。條件反映了系統(tǒng)初始狀態(tài)的作用效果。( )( )( )(0 )(0 )(0 )jjjzsyyy第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 在現(xiàn)代系統(tǒng)理論中，一般采用在現(xiàn)代系統(tǒng)理論中，一般采用0-初始條件。因?yàn)椋撼跏紬l件。因?yàn)椋?、0-初始條件直接體現(xiàn)了歷史輸入信號(hào)的作用；初始條件直接體現(xiàn)了歷史輸入信號(hào)的作用；2、對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，其、對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，其0-初始條件也比較容易求得。初始條件也比較容易求得。 相反，在傳統(tǒng)的微分方程經(jīng)典解法中，通常采用相反，在傳統(tǒng)的微分方程經(jīng)典解法中，通常采用0+初始初始條

19、件，這時(shí)可根據(jù)條件，這時(shí)可根據(jù)0-初始條件和初始條件和來確定。來確定。( )(0 )(0,1,1)jzsyjn第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.1- 4：描述某系統(tǒng)的微分方程為：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 4y(t) = 2f(t) - 4f(t)已知已知y(0-)=1，y(0-)=5，求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。，求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解：零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yzi(t) 激勵(lì)為激勵(lì)為0 ，故，故yzi(t)滿足滿足 yzi”(t) + 5yzi(t) + 4yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=

20、1 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=5該齊次方程的該齊次方程的特征根特征根為為1， 4，故，故 yzi(t) = C1e t + C2e 4t 代入初始值并解得系數(shù)為代入初始值并解得系數(shù)為C1=3 ,C2= 2 ，代入得，代入得 yzi(t) = 3e t 2e 4t , t 0 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 四、零狀態(tài)響應(yīng)四、零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，在，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有 yzs(j)(0-)=0yzs(j)(0+)的求法下面舉例說明的求法下面舉例說明。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.15：描述某系統(tǒng)的微分方程

21、為：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 4y(t) = 2f(t) - 4f(t)已知已知yzs(0-)=yzs(0-)=0， f(t)=(t)，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。響應(yīng)。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 解：解：零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 滿足滿足 yzs”(t) + 5yzs(t) + 4yzs(t) = 2(t) - 4(t) 并有并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0由于上式等號(hào)右端含有由于上式等號(hào)右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，從而，從而yzs(t)躍變，即躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(

22、t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得，積分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 5yzs(0+)- yzs(0-)+4 0000( )d24( )dzsytttt因此，因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 yzs”(t) + 5yzs(t) + 4yzs(t) = -4不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為C 1e-t + C 2e-4t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)-1，于是有于是有 yzs(t)=C 1e-t + C 2e-2t -1代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= 2

23、e-t - e-4t -1 ，t0 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 五、全響應(yīng)五、全響應(yīng))()()(tytytyph( )( )( )zizsy tytyt第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.1-7：描述某：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=1，f(t)=(t)。求該系統(tǒng)的零輸入。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解：（：（1）零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yzi(t) 激勵(lì)為激勵(lì)為0 ，故，故yzi(t)滿足

24、滿足 yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=1該齊次方程的該齊次方程的特征根特征根為為1， 2，故，故 yzi(t) = C1e t + C2e 2t 代入初始值并解得系數(shù)為代入初始值并解得系數(shù)為C1=5 ,C2= 3 ，代入得，代入得 yzi(t) = 5e t 3e 2t ,t 0 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 （2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 滿足滿足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yzs(0

25、-) = yzs(0-) = 0由于上式等號(hào)右端含有由于上式等號(hào)右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，從而，從而yzs(t)躍變，即躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得，積分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2 0000( )d26( )dzsytttt因此，因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不難求得其齊次解為不

26、難求得其齊次解為C3e-t + C4e-2t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)3，于是有于是有 yzs(t)=C3e-t + C4e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 （3）全全響應(yīng)響應(yīng)y (t) 222( )( )( )534323zizstttttty tytyteeeeeet0 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 00t)()(tyk)0()(ky)0()(ky)0()0()0()()()(kkkzsyyy)0()(ky：確定全響應(yīng)的系數(shù)確定全響應(yīng)的系數(shù))0()(ky：確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)確定零輸入響應(yīng)

27、的系數(shù))0()(kzsy：確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù)確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù)第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 五、全響應(yīng)五、全響應(yīng) LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)可以分解為系統(tǒng)的全響應(yīng)可以分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，也，也可分解為可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。兩種分解方式的區(qū)別：雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次兩種分解方式的區(qū)別：雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解，但二者系數(shù)各不相同。零輸入響應(yīng)僅由系統(tǒng)的初方程的解，但二者系數(shù)各不相同。零輸入響應(yīng)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定，而始狀態(tài)所決定，而自由響應(yīng)由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)共自由響應(yīng)由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)共同決定同決定

28、。 在初始狀態(tài)為在初始狀態(tài)為0時(shí)，零輸入響應(yīng)為時(shí)，零輸入響應(yīng)為0，但在激勵(lì)信號(hào)的作，但在激勵(lì)信號(hào)的作用下，自由響應(yīng)并不為用下，自由響應(yīng)并不為0。即，。即，自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)和自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單單位沖激響應(yīng)位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。( ) (0 )0,( )( )defh tT xf tt第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 (t)

29、LTI系統(tǒng)x(0-)=0h(t)第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.2-1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數(shù)平衡法。，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-

30、)。積分得。積分得h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考慮考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所

31、以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.2-2 描述某二階描述某二階LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + r

32、1(t) r1(t) 為不含為不含(t) 的某函數(shù)的某函數(shù) h(t) = a(t) + b(t) + r2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ r3(t)代入式代入式(1)，有，有第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 a”(t) + b(t)+ c(t) + r3(t) + 5a(t) + b(t) + r2(t) + 6a(t) + r1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + r3(t)+5 r2(t)+6 r1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數(shù)匹配，得系數(shù)

33、匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + r1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + r2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ r3(t) （4）對(duì)式對(duì)式(3)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3對(duì)式對(duì)式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ，

34、 t0代入初始條件代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0結(jié)合式結(jié)合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)g(t)= T (t) ，0d ( )( )( )d( )dtg tg thh tt由于由于(t) 與與(t) 為微積分關(guān)系，故為微積分關(guān)系，故(t)LTI系統(tǒng)x(0-)=0g(t)第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2.2-3：如圖所示的：

35、如圖所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)。系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)。設(shè)輔助變量設(shè)輔助變量x(t)，寫出加法器的輸入輸出方程，寫出加法器的輸入輸出方程 x”(t) = f(t) 3x(t) 2x(t) ,即即x”(t) + 3x(t) + 2x(t) = f(t) y(t) = -x(t)+ 2x(t)則得系統(tǒng)微分方程則得系統(tǒng)微分方程y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = -f(t)+ 2f(t)x(t)x(t)x”(t)y(t)f(t) +-1232解解: (1)寫出系統(tǒng)的微分方程寫出系統(tǒng)的微分方程第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 (2) 求階躍響應(yīng)求階躍響應(yīng)t=0時(shí)，有時(shí)，有g(shù)”(t) + 3g(

36、t) + 2g(t) = -(t)+ 2(t)因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數(shù)平衡法。，故利用系數(shù)平衡法。g”(t)中含中含(t)，g(t)含含(t)，g(0+)g(0-)，g(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即g(0+)=g(0-)。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 令令 g”(t) = a(t)+ r0(t)則則 g(t) = r1(t)， a= -1方程兩邊在方程兩邊在(0-，0+)積分得積分得g(0+)- g(0-)+ 3g(0+)- g(0-)+2 00100( )d12( )dr tttt g(0+)- g(0-)= -1g(0+)- g(0-)= 0g(0+)= -1g(0+

37、)= 0第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 t0時(shí)，有時(shí)，有g(shù)”(t) + 3g(t) + 2g(t) = 2gh(t) = C1e t + C2e 2tgp(t) = P = 1g (t) = gh(t) + gp(t) = C1e t + C2e 2t +1代入初始條件求得代入初始條件求得C1= -3，C2= 2, 所以所以 g(t) = (-3e t + 2e 2t +1)(t)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t) = (3e t -4e 2t )(t)第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.3 2.3 卷積積分卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分1 . .信號(hào)的時(shí)

38、域分解信號(hào)的時(shí)域分解(1) (1) 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)問問 f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出)(A)(1tptf第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 (2) (2) 任意信號(hào)分解任意信號(hào)分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f(0) ,寬度為，寬度為，用用p(t)表示為表示為：f(0) p(t)“1”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f() ,寬度為寬度為，用，用p(t - - )表示為：表示為： f() p(t - - )“- -1”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f(- -) 、寬度為，用、寬度為，用p(t

39、 + +)表示為表示為： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 2 . .任意任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)L LT TI I系系統(tǒng)統(tǒng)零零狀狀態(tài)態(tài)yzs(t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t - -)由可加性：由可加性：d)()(tfd)()(thff (t)yzs(t)( )( ) ()dzsytfh t卷積積分卷積積分第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)

40、的時(shí)域分析 3 . .卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定義積分則定義積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，為積分變量，為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為為參變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。 ( )( ) ()d( )* ( )zsytfh tf th t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例1：f (t) = e t,（- -t)，

41、h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yzs(t)。解解：2()( )( )( )e 6e1 ()dzstytf th tt第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 當(dāng)當(dāng)t t時(shí)，時(shí)，(t -) = 02()23( )e 6e1d(6eee )dttzsttyt232323e(6e)de de2ee2eeeetttttttttt第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法dtfftftf)()()(*)(2121卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）換元換元： t換為換為得得 f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移反轉(zhuǎn)平移：由：由f2()反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2()右移右移t

42、f2(t-)（3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對(duì)乘積項(xiàng)積分。對(duì)乘積項(xiàng)積分。注意：注意：t為參變量。下面舉例說明。為參變量。下面舉例說明。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例2 f (t) ,h(t) 如圖所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖形卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時(shí)時(shí) , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 0t 1 時(shí)時(shí), f ( t - -)向右移向右移2011( )d24tzsytt 1t 2時(shí)時(shí)1111( )d

43、224tzstytt 3t 時(shí)時(shí)f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時(shí)時(shí)2211113( )d2424zstyttt 0h( )f (t - )2013第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積分的上

44、下限是關(guān)鍵。分的上下限是關(guān)鍵。例例3：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已如圖所示，已知知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0）第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 ( )( )( )( ) ()zsytf th tfh td 卷積積分的計(jì)算：卷

45、積積分的計(jì)算：換元、反轉(zhuǎn)、平移、相乘、積分。換元、反轉(zhuǎn)、平移、相乘、積分。 換元：換元：( )( )( )( )f tfh th 反轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)、平移：平移：)()(thhttttth右移左移, 0, 0)( 相乘：相乘：( ) ()fh t 積分：積分：( )( )( ) ()f th tfh td 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 計(jì)算卷積積分的關(guān)鍵是定積分限。計(jì)算卷積積分的關(guān)鍵是定積分限。 例例4：已知 , 求 。 12( )( ),( )( )tf ttf tet12( )( )( )s tf tf t 解：解： 1( )f102( )f102()f t10t1( )f2()f101）當(dāng) t

46、 0 時(shí)， ()0( )1tts ted )1 (te( ) (1) ( )ts tet s(t) = 0 t10( )s t2()f t10t1( )f12( )( ) ()s tff td 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例5： 已知 ，求 12( )( )(),( )( )tf ttt Tf tet12( )( )( )s tf tf t 解：解： 1( )f10T2( )f102()f102()f t10t1( )fT1）當(dāng) t 0 時(shí)， s(t) = 0 2）當(dāng) 0 t T 時(shí)， ()0( )1tts ted )1 (te2()f t10t1( )fT第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

47、 3）當(dāng) t T 時(shí)， ()0( )1Tts ted tTtee)()( ) (1) ( )() ()tt Tts tett Teet T ()(1) ( ) 1 ()tt Tetet T t1( )s tT0Te12()f t10t1( )fT第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算。下（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。 一、卷積的代數(shù)

48、運(yùn)算一、卷積的代數(shù)運(yùn)算滿足乘法的三律：滿足乘法的三律：1. 交換律交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 結(jié)合律結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。h2(t)h1(t)f(t)12( )( ) ( )

49、( )y tf th th t1( )( )f th t2( )( )f th t第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。f(t)h2(t)h1(t)1212( ) ( )( )( )( ) ( )( )y tf th th tf th th t1( )( )f th t12( )( )h tht第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 證：證

50、：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 證：證：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 解：解：f2(t) = (t)+(t-3)，則 f(t) = f1(t)*(t)+(t-3) = f1(t)*(t)+ f1(t) *(t-3) = f1(t)+ f1(t-3) 例例1：已知：已知 f1(t)、 f2(t)如圖所如圖所示，求示，求f(t)=f1(t)*f2(t

51、) ，并畫，并畫出出 f(t) 的波形。的波形。)(2tf) 1 (t) 1 (30)(1tf111t0( )f t111t0324第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 三、卷積的微分與積分三、卷積的微分與積分1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121證：上式證：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1

52、(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得1200( )( )e( )dede1f tft 注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 顯然是錯(cuò)誤的顯然是錯(cuò)誤的。第 2 章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例3：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) ( 1)200( )e( )ded( )e( )(1 e) ( )