2017學(xué)年度北極星教育培訓(xùn)學(xué)校----高二期末模擬(一)文--教師版匯總

1、絕密啟用前2017學(xué)年度北極星教育培訓(xùn)學(xué)校-高二期末模擬(1)文考試范圍：高中文科數(shù)學(xué)；考試時間：120分鐘；命題人：黃佑彬?qū)W校:姓名：班級：考號：一、選擇題1.曲線y = sinx + e' (其中e=2. 71828是自然對數(shù)的底數(shù))在點(0, 1)處的切線的斜率為()(A) 2(B) 3(C) -(D)-32【答案】A【解析】試題分析：先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率&=k = yk0,解得即可；,/ y = cosx + exf k = y' |e= cosO += 2,故選 A.考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的運算，72.曲線三+二=1與曲線+=16<9)的

2、()25 925-k 9-k')(A)長軸長相等(C)焦距相等【答案】D【解析】(B)短軸長相等(D)離心率相等試題分析：分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷./ V24曲線上+匕=1表示焦點在x軸上，長軸長為10,短軸長為6,離心率為一，焦距為25 95*>716.曲線石三十 占 =1也<9)表示焦點在x軸上，長軸長為2JFE,短軸長為2J4,離心率為/ 4,焦距為16.則D正確.考點：橢圓的幾何性質(zhì)3.設(shè)i是虛數(shù)單位，好數(shù)/ Z,在更平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，則亙= z2()(A) 2(B) 1 + i(C) i(D) -i【答案】D【解析】試題分析

3、：由對稱性可得z=l+i,代入要求的式子化簡即可.亞數(shù)zn z二在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱且z尸1-i,由對稱性可得Z2=l+i,（1-）2 * "i （i+OO-O考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算試卷第11頁，總11頁4 .雙曲線上-上=1的漸近線方程是() 42(A) y = ±y/2x(B) y = ±-x(C) y = ±-x(D) y = ±2x2【答案】B【解析】試題分析：直接利用雙曲線方程求漸近線方程即可.雙曲線二-工=1可得七-巨=04242所以雙曲線的漸近線方程為：)，= 土正x,故選：B. '2考點：雙曲線的簡單性

4、質(zhì)5 .設(shè)函數(shù)/(» = ：0¥3+反(4。0),若/(3) = 3/'&),則與等于()(A) ±1(B) ±3(C)應(yīng)(D) 2【答案】C【解析】試題分析：將3代入函數(shù)解析式求出f (3)；求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將X。代入求出函數(shù)值f( Xo ), 列 出 方 程 求 出 4；,/ f(3) = 9a + 3b, , /'(x) = ax2 + b,:. fKx) = ax + b,;f (3) = 3/*(x0),/. 9a + 3b = 3ov02 4- 3Z?, /. xQ = ±5/3 ,故選 C考點：抽象函數(shù)的

5、性質(zhì)6 .若函數(shù)x) = sinx+ar在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為()(A) -1, 1(B) S，-1(C) (t», 1(D) 1, +8)【答案】D【解析】試題分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)單調(diào)遞增，則f' (x) 20成立，然后求出實數(shù)a的取值范圍.因為f (x);sinx+ax,所以f' (x)=cosx+a.要使函數(shù)單調(diào)遞增，則f'(x) 20成立.即cosx+aO恒成立.所以a2-cosx,因為-1 WcosxWl,所以a21.故 選：D.考點：導(dǎo)數(shù)的基本運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【答案】A【解析】試題分析：:/(x) = x+cos

6、x,.=si內(nèi),/'(-x) =/'(工)，故 f' (x) 試卷第2頁，總11頁為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除BD ,又當(dāng)x = 2 時，2f(-) = -sin- = -l<0 ,排除 C,只有 A 適合，故選：A.242 4考點：函數(shù)的圖像和性質(zhì)8.若直線1： y = (a + l)x-l與拋物線C： V =公恰好有一個公共點，則實數(shù)。的值構(gòu) 成的集合為()(A) - 1, 0(B) -2, -144(C) -1,(D) -1,0)【答案】D【解析】試題分析：聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的準一元二次方程，分二次項的系數(shù)等于零和不為零兩種情況進行討論.聯(lián)立

7、方程組得：,'一(：+ 1)'- 1,消去y得到：(a+l) y=axx-l) 2=ax,化簡得：(a+1) ：x2- (3a+2) x+l=0.a=T 時，顯然成立.aKT 時，44二(3a+2) J4 (a+1) W),解得 a=0 或一百，綜上，a=0、T、或一百，故選 D.考點：函數(shù)零點9 .過雙曲線a： 5- = l(4>0, b>0)的左焦點寫作圓a：/+9=/的切線，設(shè) a b切點為M，延長尸附 交拋物線C3： y2 =2px(p>0)于點N ,其中G，C3有一個共同的(B)回 (C)有2(D) >/5 + 1焦點，若|M"|=|

8、MN|,則雙曲線C1的離心率為()(A) 75-1【答案】B 【解析】 試題分析：雙曲線的右焦點的坐標為(c, 0),利用。為艮艮的中點，M為N的中點,可得0M為NFH的中位線，從而可求INF/，再設(shè)N(x, y)過點F作X軸的垂線，由 勾股定理得出關(guān)于a, c的關(guān)系式，最后即可求得離心率.設(shè)雙曲線的右焦點為F>則莊的坐標為(c, 0),因為曲線Q與C3有一個共同的焦點， 所以yJ4cx ,因為。為FR的中點，M為FN的中點，所以0M為aNF艮的中位線，所 以0MPF>因為|0M|二a,所以|附|=2且,又NFNF“ |FF=2c所以|NF=2b，設(shè)N (x, y),則由拋物線的定

9、義可得x+c=2a, .x=2a-c ,過點F作x軸的垂線，點N到該垂線的距離為2a ,由勾股定理y：+4a：=4b：»即4c (2a-c ) +4a：=4 ( c：_a：)得 e-e-l=0, /. eVs+i2考點：雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)10 .若函數(shù)/(x) = V+"2+bx + c (a, b, ceR)有極值點玉，%，且/(石)=%，則關(guān)于試卷第11頁，總11頁X的方程3"(x)f+2叭x) + 6 = 0的不同實根的個數(shù)是()(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2【答案】A【解析】試題分析：求導(dǎo)數(shù)f' (x),由題意知xx, X?是方程3

10、/+2ax+bR的兩根，從而關(guān)于f (x)的方程再人月?+2如(x) + b = O有兩個根，作出草圖，由圖象可得答案.£' (x) =3x：+2ax+b, xx, x：是方程 3x?+2ax+b=0 的兩根，由 3/(4)f + 2。工)+ 6 = 0 , 則有兩個f (x)使等式成立，Xi=f (X1), X2>Xi=f(XX),如下示意圖象:如圖有三個交點，故選A. 考點：函數(shù)零點的概念二、填空題11 .拋物線>3= Tx的準線方程為【答案】1【解析】試題分析：根據(jù)拋物線的標準方程及基本概念，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計算，可得答 案.y2 = 4x, ：.2p =

11、4,段=1,因此,拋物線的焦點為F(-I,o),準線方程為x=L故答案為：x=l.考點：拋物線的簡單性質(zhì)12 .執(zhí)行下圖所示的程序框圖，若輸入x = 2,則輸出y的值為/輸物/【答案】12【解析】試題分析：根據(jù)程序框圖中的條件，進行求解即可.若x=2,則y=£+2x=8+4=12；故答試卷第2頁，總11頁案為：12考點：程序框圖13 .函數(shù)=-Inx的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】(0, 1【解析】試題分析：對于函數(shù)/(x) = Ax2-hix易得其定義域為x|x > 0,1 Y* _ 1y" _ 1f(x = x一一=二二，令一40,又由x>0,則可得OVxWL單調(diào)遞

12、減區(qū)間為 X XX(0, 1.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性14.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足"1) = 1,且對任意xeR都 有/則不等式f(x)>巖的解集為.【答案】(-1,1)【解析】試題分析：設(shè)g(x)=/(x)-苫L=1-1=0,/. (x)=/z(x)-l.對任意xWR,都有:(x)vg,/.g<x) <0,即g(X)為實數(shù)集上的減函數(shù).不等式/(爐)>=，即為 g(X2) >0=g (1).則 XVI,解得-IVxVl，的解集為(T, 1).考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性15.拋物線y2=4x的焦點為尸，過點P(2, 0)的直線與該拋物線相

13、交于A B兩點,直線"，游分別交拋物線于點G D.若直線45, C0的斜率分別為& k、，則土 = k2【答案】-2【解析】試題分析：設(shè)AF的方程是y =1)與拋物線方程聯(lián)立，求出c的坐標，同理求xx-l出D的坐標，可得k,即可求出.設(shè) A(X, %) , B(&, y2) , C(x3, y3) , DCx4, y4) ,:. AF 的方程是y = -(x D石-1設(shè)&0 =2；，則AF ： )，= %(X-D,與拋物線方程聯(lián)立，可得X, +1試卷第11頁，總11頁攵o、2_（2%2+4） x + %2 =0, 利用韋 達定理 不為=1二.演=一»

14、 -,必=C（,-）,工+三同理“J_,_匹）./,=4a=2人,.亂=上 x2 x2 J£ k2 2演公考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系三、解答題2216.（本題滿分12分）求與橢圓三十二=1有公共焦點，且離心率e =-的雙曲線方程. 49 244【答案】£-21=1 169【解析】試題分析：根據(jù)題意雙曲線方程可設(shè)為= 1（。>0, 6>0）可得關(guān)于a, b的方程a" b-組，進而求出a, b的數(shù)值即可求出雙曲線的方程.7*>試題解析：橢圓三+匯=1的焦點坐標為（-5, 0）, （5, 0）,49 24設(shè)雙曲線的方程為1-左= 1（。>0,

15、 b>0）, a' b則 c? =a +b2 =25 ,試卷第2頁，總11頁解得 tz = 16 » b = 9 .所以雙曲線的方程是二-£=i. 169考點：圓錐曲線的性質(zhì)17.（本題滿分12分）斜率為;的直線/經(jīng)過拋物線/= 4），的焦點，且與拋物線相交于A B兩點,求線段的長.【答案】5【解析】試題分析：求得拋物線的焦點，可得直線1的方程，代入拋物線方程，由韋達定理和弦 長公式，計算即可得到.試題解析：由已知可知,拋物線x2= 4y的焦點為尸（0,1），所以直線/的方程為y =+1 .V = X+l,，由<2 得(2y-2)-=4y,即 y-3y

16、+ l = 0. /=4y,設(shè)4（冷弘）,8區(qū),%），則%+%=3, 所以 | AB |=+ % + P = 3 + 2 = 5 .考點：直線和拋物線的位置關(guān)系18 .(本題滿分12分)已知函數(shù)/(x) = x(x-c)2 ( ceR)在x = 2處有極小值.(I )求c的值；(II)求/Xx)在區(qū)間0,4上的最大值和最小值.【答案】(I ) 2或6；( II ) 0, 16.【解析】試題分析：(I )求出廣(幻=3爐43 +，2 ,令/(2) = 0 ,解得c,再分別討論,利用函數(shù)/(x) = Mxc)2(cwR)在x=2處有極小值，從而得出答案；(H)確定函數(shù) 的單調(diào)性，即可求f (x)在

17、區(qū)間0, 4上的最大值和最小值.試題解析：(I )因為八力=(%一以+ 21(工一 =3/一40：+02,又f(x) = x(x- c)2在x = 2處有極小值，所以/'(2) = 12 8。+ /=0 =。= 2或0 = 6，當(dāng) c = 2 時，f '(x) = 3x2 -8x + 4 = (3x- 2)(x- 2),當(dāng) f'(x) = (3x 2)(x-2)Z0 = x«：或xN2 時，/(x)單調(diào)遞增，當(dāng) /(x) = (3x- 2乂X- 2) K 0 = |« x4 2 時，/(x)單調(diào)遞減，此時x)在x = 2處有極小值，符合題意；當(dāng) c

18、= 6 時，f'(x) = 3x2- 24x+ 36 = 3(x-2)(x-6),當(dāng)/(工)=3(工一2)(工一6)20 =工4 2或工之6時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)/(工)=3(工一2)(工一6)<0 = 24%46時，/(X)單調(diào)遞減，此時x)在x = 2處有極大值，不符題意，舍去.綜上所述，c = 2.(H)由(I )知，f(x) = x(x-2)2 f 0(x) = (3x-2)(x-2),2令八x) = (3x-2)(x-2) = 0,得x = § 或x = 2,當(dāng)變化時，/。),/(冷的變化情況如下表：X02(09232(2,4)4/'W+00+/W0

19、/極大值必 27極小值0/16由上表可知：刈叫=0,/(刈3=16.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)19 .(本題滿分12分)某商場的銷售部經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商場的某種商品每口的銷試卷第11頁，總11頁售量 )，(單位：千克)與銷售價格% (單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng) =，一+10(x-6) x-3其中3Vx<6, a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(I )求a的值；(H)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每口銷售該商品 所獲得的利潤最大.【答案】(1)2； ( II ) 4【解析】試題分析：(I )由f(5) =11代入函數(shù)的解析式，

20、解關(guān)于a的方程，可得a值；(II) 商場每口銷售該商品所獲得的利潤二每口的銷售量X銷售該商品的單利潤，可得口銷售 量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出 函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應(yīng)的x值.試題解析：(I )因為x = 5時，>' = 11,所以巴+ 10 = 11,解得4 = 2.2(H)由(I )可知，該商品每日的銷售量 > =:_ + 10。-6)2,x-3所以商場每口銷售該商品所獲得的利潤為：2/(x) = (x-3)+10(x - 6): = 2 +10(x - 3Xx - 6)2,3 < x < 6 .x-

21、3所以 / '(X)= 10。- 6):+ 2(x- 3)(x - 6) = 30a - 4)(x - 6).令八x)=30(x - 4)(x-6) = 0,得x = 4或 6 (舍去) 當(dāng)變化時，/。),/(冷的變化情況如下表：X(3,4)4(4,6)/V)+0一/極大值42由上表可知x = 4是函數(shù)/(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點.所以，當(dāng)x = 4時，函數(shù)“X)取得最大值，且最大值為42.答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，該商場每口銷售該商品所得的利潤最大.考點：函數(shù)模型的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)20.(本題滿分13分)已知橢圓>>0)的離心率為立，

22、且它的一個焦點 a- b-3片的坐標為(0, 1).(I)求橢圓的標準方程；(II)設(shè)過焦點工的直線與橢圓相交于A 8兩點，N是橢圓上不同于A 5的動點，試求AA5的面積的最大值.【答案】(I)21+£.=i ；(II)324【解析】試題分析：(I)根據(jù)橢圓的離心率和焦距即可求出標準方程；(II)設(shè)過焦點E的直線 為1,分兩類，若1的斜率不存在，求出答案，若1的斜率存在，不妨設(shè)為k,則1的 方程為y=kx+1,根據(jù)韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式，得到 5-=6(lL)2(l),構(gòu)造函數(shù)八八=6(1-八2(1 /)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值, 問題得以解決試卷第2頁，總11頁試題

23、解析：(I)設(shè)橢圓的半焦距為C,則C = l.又由e=£ =立，可解得。=6, a 3所以=/- = 2 ,*>7所以，橢圓的標準方程為二+二=1. 32(II)設(shè)過焦點鳥的直線為/.若/的斜率不存在，則A(0,JJ),8(0,g),即|A8|=2jJ,顯然當(dāng)N在短軸頂點(0,0)或(-0,0)時，的面積最大，此時，AA5的最大面積為:x2VJx>/I=#.若/的斜率存在，不妨設(shè)為k,則/的方程為y = h + l.設(shè)人(冷弘),83,兄).y = kx + l,聯(lián)立方程：r 消去y整理得：(3+2-)/+4h-4 = 0, - L32_ -4kx所以 ：產(chǎn)，則.1= 7

24、T7F|= f ； 1).X.X =-T,- 3 + 2 公因為，當(dāng)直線與/平行且與橢圓相切時，此時切點N到直線/的距離最大, 設(shè)切線 /': y =丘 + m(m < ->/2),y = kx + m聯(lián)立x2 / 消去x整理得：(3 + 2-)/+46加:+2疝-6 = 0 ,+ = 132由 A = (4如?一4(3 + 2公)(2疝-6) = 0 ,解得：M = 3 + 24(機<一。).又點N到直線/的距離d =,y/k2 +1所以邑9 AB比1 4y/3(k2 +1) |/n-l| 2y/3m-ly/k2 +Ly/k2 +1-xx23 +2k-所以將 m2

25、=3 + 2k2 代入得 S2 - 6(1- )2 (1-. m m-令(一且,0),設(shè)函數(shù)) = 6(1 一(1 /)，則尸) = -12("1(2/ + 1), m 3因為當(dāng) y(-9，一；)時，/ >0,當(dāng)/e(-g,0)時，fW<0,所以/(f)在(一弓上是增函數(shù)，在(一；,0)上是減函數(shù)，所以人«) = /(；) = £.試卷第11頁，總11頁故公=時，AM48面積最大值是處.顯然病心， 244所以，當(dāng)/的方程為），=±乎"1時，的面積最大，最大值為孚.考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質(zhì).21.（本

26、題滿分 14 分）已知函數(shù)/（x） = X2 -2x+alnx（aeR）.（I ）當(dāng)。=2時，求函數(shù)/（X）在（1, 1）處的切線方程；（II）求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；（III）若函數(shù)f（x）有兩個極值點不，七（內(nèi)x2）,不等式/（xj 九0恒成立，求實數(shù)m的 取值范圍.【答案】（I） y = 2x-3 ;（II）當(dāng)時，函數(shù)/（X）的增區(qū)間為在（0,一）,無減區(qū) 間；當(dāng)0a；時，"X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,匕手巨）,（匕與至,”）；單調(diào)遞減 區(qū)間是（匕昨至，匕半至）；當(dāng)。0時，“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（上半至,位）， 單調(diào)遞減區(qū)間是（0,匕正至）；（JU） m-n222【解析】試題分

27、析：（I ）求當(dāng)a=2時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即 可得到切線方程；（II ）求出f （x）的導(dǎo)數(shù)，令r （x） =0,得2f-2x+aR,對判別式 討論，令導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間；（III）函數(shù)f （x）在（0, +8 ）上有兩個極值點，由（II ）可得0 a1不等式f（X。亙成立即為小J N m 2x2即為叁i2=i_&+L-+ 2811】演，h（x） = 1 -x+ + 2xhix（0 x -）求出導(dǎo)數(shù)， x2再一1x-12判斷單調(diào)性，即可得到h （x）的范圍，即可求得m的范圍.試題解析：（I）因為當(dāng)。=2 時，/（x） = x2 -2x+2Inx ,所以 fx） = 2x-2 + -. x因為1） = -1,/'（1） = 2，所以切線方程為y = 2x-3.（II）/'（x） = 2a