離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析與仿真

1、鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院電子信息系統(tǒng)仿真課程設(shè)計(jì) 2014 級(jí) 電子信息工程 專業(yè) 1413083 班級(jí)題 目 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析與仿真 姓 名 學(xué)號(hào) 二一六年十一月月二十五日一、 MATLAB軟件簡介 MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。二、 理論分析1、實(shí)驗(yàn)原理離散時(shí)間系統(tǒng)其輸入、輸出關(guān)系可用以下差分方程描述： 當(dāng)輸入信號(hào)為沖激信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出記為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，則系統(tǒng)響應(yīng)為如下的卷積計(jì)算式： 當(dāng)hn是有限長度的（n：0，M）時(shí)，稱系統(tǒng)為F

2、IR系統(tǒng)；反之，稱系統(tǒng)為IIR系統(tǒng)。在MATLAB中，可以用函數(shù)y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函數(shù) y=Conv(x,h)計(jì)算卷積。2、時(shí)不變系統(tǒng)就是系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)響應(yīng)的形狀均相同，僅是從出現(xiàn)的時(shí)間不同。用數(shù)學(xué)表示為Tx(n)=yn則 Tx(n-n0)=yn-n0，這說明序列x(n)先移位后進(jìn)行變換與它先進(jìn)行變換后再移位是等效的。3、線性時(shí)不變系統(tǒng)既滿足疊加原理又具有時(shí)不變特性，它可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。單位脈沖響應(yīng)是輸入端為單位脈沖序列時(shí)的系統(tǒng)輸出，一般表示為h(n)，即h(n)=T(n)。任一輸入序列x(n)的響應(yīng)

3、y(n)=Tx(n)=T (n-k)；由于系統(tǒng)是線性的，所以上式可以寫成y(n)=T(n-k)；又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，即有T(n-k)=h(n-k)；從而得y(n)=h(n-k)=x(n)*h(n)；這個(gè)公式稱為離散卷積，用“*”表示。4、線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)（1）、齊次性若激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(t)，則激勵(lì)A(yù)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)即為Ay(t)，此性質(zhì)即為齊次性。其中A為任意常數(shù)。f(t)系統(tǒng)y(t)，Af(t)系統(tǒng)Ay(t)（2）、疊加性若激勵(lì)f1(t)與f2(t)產(chǎn)生的響應(yīng)分別為y1(t)， y2(t)，則激勵(lì)f1(t)+f2(t)產(chǎn)生的響應(yīng)即為y1(t)+y2(t)，此性質(zhì)稱為疊加性

4、。（3）、線性若激勵(lì)f1(t)與f2(t)產(chǎn)生的響應(yīng)分別為y1(t)， y2(t)，則激勵(lì)A(yù)1f1(t)+A2f2(t)產(chǎn)生的響應(yīng)即為A1y1(t)+A2y2(t)，此性質(zhì)稱為線性。（4）、時(shí)不變性若激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(t)，則激勵(lì)f(t-t0)產(chǎn)生的響應(yīng)即為y(t-t0)，此性質(zhì)稱為不變性，也稱定常性或延遲性。它說明，當(dāng)激勵(lì)f(t)延遲時(shí)間t0時(shí)，其響應(yīng)y(t)也延遲時(shí)間t0，且波形不變。（5）、微分性若激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(t)，則激勵(lì)f'(t)產(chǎn)生的響應(yīng)即y(t),此性質(zhì)即為微分性。（6）、積分性若激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(t)，則激勵(lì)f(t)的積分產(chǎn)生的響應(yīng)即為

5、y(t)的積分。此性質(zhì)稱為積分性。三、 MATLAB數(shù)值運(yùn)算功能MATLAB 的強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算功能使其在諸多數(shù)學(xué)計(jì)算軟件中傲視群雄，它是 MATLAB軟件的基礎(chǔ)。下面將介紹運(yùn)用 MATLAB 計(jì)算卷積和沖激響應(yīng)。(1)卷積求解：由于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積，因此，卷積運(yùn)算在離散時(shí)間信號(hào)處理領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。MATLAB求離散時(shí)間信號(hào)的卷積和命令為conv，其調(diào)用格式如下：y=conv(x,h)其中：x與h表示離散時(shí)間信號(hào)值的向量；y為卷積結(jié)果。用MATLAB進(jìn)行卷積運(yùn)算時(shí)，無法實(shí)現(xiàn)無限的累加，只能計(jì)算時(shí)限信號(hào)的卷積。一系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為，用MATLAB求當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為x(n

6、)=u(n)-u(n-4)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 在MATLAB中可通過卷積求解零狀態(tài)響應(yīng)，即 x(n)* h( n)。上述系統(tǒng)描述 h(n)向量的長度至少為8，描述 x(n) 向量的長度至少為4，因此為了圖形完整美觀，將 h(n)向量和 x(n)加上一些附加的零值。其實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序代碼如下：clear all;nx=-1:5; %x(n)向量顯示范圍（添加了附加的零值）nh=-2:10; %h(n)向量顯示范圍（添加了附加的零值）x=uDT(nx)-uDT(nx-4);h=0.8.nh.*(uDT(nh)-uDT(nh-8);y=conv(x,h);ny1=nx(1)+nh(1);

7、%卷積結(jié)果起始點(diǎn)%卷積結(jié)果長度為兩序列長度之和減1，即0到（length(nx)+length(nh)-2）%因此卷積結(jié)果的時(shí)間范圍是將上述長度加上起始點(diǎn)的偏移值ny=ny1+(0:(length(nx)+length(nh)-2);subplot(3,1,1);stem(nx,x,'fill');grid on;xlabel('n');title('x(n)');axis(-4 16 0 3);subplot(3,1,2);stem(nh,h,'fill');grid on;xlabel('n');title(&

8、#39;h(n)');axis(-4 16 0 3);subplot(3,1,3);stem(ny,y,'fill');grid on;xlabel('n');title('y(n)=x(n)*h(n)');axis(-4 16 0 3);其波形如下圖：卷積結(jié)果（2）沖激響應(yīng)求解在連續(xù)線性時(shí)域系統(tǒng)中，沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)是系統(tǒng)特性的描述，對(duì)它們的分析 是線性系統(tǒng)中極為重要的問題。輸入為單位沖激響應(yīng)函數(shù)(t) 所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱 為單位沖激響應(yīng)，簡稱為沖激響應(yīng)，用h(t) 表示；輸入為單位階躍函數(shù)u(t)所引起的 零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)

9、，簡稱為階躍響應(yīng)，用g(t)表示。在MATLAB中，對(duì)于連續(xù)時(shí)域系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的數(shù)值解，可分別利用控制系統(tǒng)工具箱提供的函數(shù)impulse和step來求解。其調(diào)用格式如下：y=impulse(sys,t)y=step(sys,t)其中：t表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間抽樣點(diǎn)向量，sys表示線性時(shí)域系統(tǒng)模型。已知一連續(xù)時(shí)域系統(tǒng)的微分方程如下：下面用MATLAB命令繪出0 t 4 范圍內(nèi)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)和階躍響應(yīng) g(t)。其實(shí)現(xiàn)的MATLAB 代碼如下：clear all;t=0:0.001:4;sys=tf(1,16,1,2,32);h=impulse(sys,t);g=step(sy

10、s,t);subplot(2,1,1);plot(t,h);grid on;xlabel('時(shí)間/s');ylabel('h(t)');title('沖激響應(yīng)');subplot(2,1,2);plot(t,g);grid on;xlabel('時(shí)間/s');ylabel('g(t)');title('階躍響應(yīng)');其仿真波形如下圖：沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)波形四、 離散線性系統(tǒng)時(shí)域分析與仿真1、線性離散時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算對(duì)離散時(shí)間序列實(shí)行基本運(yùn)算可得到新的序列，這些基本運(yùn)算主要包括加、減、乘、除、移位和

11、反折等。兩個(gè)序列的加減乘除是對(duì)應(yīng)離散樣點(diǎn)值的加減乘除，因此，可通過MATLAB點(diǎn)乘和點(diǎn)除、序列移位和反折來實(shí)現(xiàn)，與連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理方法基本一樣。下面列舉例子來說明。用MATLAB命令繪出下列離散時(shí)間序列的波形圖。設(shè)a=0.8,N=8。其實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序代碼如下：clear all;a=0.8;N=8;n=-12:1:12;x=a.n.*(uDT(n)-uDT(n-N);n1=n;n2=n1+3;n3=n1-2;n4=-n1;subplot(4,1,1);stem(n1,x,'fill');grid on;axis(-15 15 0 1);xlabel('(a)x1

12、(n)');subplot(4,1,2);stem(n2,x,'fill');grid on;axis(-15 15 0 1);xlabel('(b)x2(n)');subplot(4,1,3);stem(n3,x,'fill');grid on;axis(-15 15 0 1);xlabel('(c)x3(n)');subplot(4,1,4);stem(n4,x,'fill');grid on;axis(-15 15 0 1);xlabel('(d)x4(n)');程序在運(yùn)行過程中，調(diào)用

13、到自定義的沖激序列uDT.m文件，其源代碼如下：function y=uDT(n)y=n>=0;其仿真波形如下圖：離散序列波形圖2、線性離散系統(tǒng)分析(1)零狀態(tài)響應(yīng)離散線性時(shí)域系統(tǒng)可用下式表示，即MATLAB中的函數(shù)filter可對(duì)上式差分方程在指定時(shí)間范圍內(nèi)的輸入序列所產(chǎn)生的響應(yīng)進(jìn)行求解。函數(shù)filter的調(diào)用格式如：y=filter(b,a,x)其中：x為輸入的離散序列；y為輸出的離散序列；y的長度和x的長度一樣；b和a分別為差分方程右端與左端的系數(shù)向量。一離散線性時(shí)域系統(tǒng)的差分方程如下： 下面用MATLAB命令繪出當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為時(shí)，該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序代碼如下

14、：clear all;a=3 -4 2;b=1 2;n=0:30;x=(1/2).n;y=filter(b,a,x);stem(n,y,'fill');grid on;xlabel('n');title('系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)y(n)');其仿真波形如下圖：圖3 零狀態(tài)響應(yīng)(2)單位取樣響應(yīng) 系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)定義為系統(tǒng)在（t）激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用h（n）表示。MATLAB求解單位取樣響應(yīng)可利用函數(shù)filter，另一種求單位取樣響應(yīng)的方法是利用控制系統(tǒng)工具箱提供的函數(shù)impz來實(shí)現(xiàn)。有一離散線性系統(tǒng)的差分方程如下： 下面利用MATLAB的impz

15、函數(shù)繪出該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。其實(shí)現(xiàn)的程序代碼如下：clear all;a=3 -4 2;b=1 2;n=0:30;impz(b,a,30);grid on;title('系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)h(n)');其仿真波形如下圖：圖4 單位取樣響應(yīng)(3)卷積和運(yùn)算由于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積，因此，卷積運(yùn)算在離散時(shí)間信號(hào)處理領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。MATLAB求離散時(shí)間信號(hào)的卷積和命令為conv，其調(diào)用格式如下：y=conv(x,h)其中：x與h表示離散時(shí)間信號(hào)值的向量；y為卷積結(jié)果。用MATLAB進(jìn)行卷積運(yùn)算時(shí)，無法實(shí)現(xiàn)無限的累加，只能計(jì)算時(shí)限信號(hào)的卷積。一系統(tǒng)的單位取

16、樣響應(yīng)為，用MATLAB求當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為 x（n）=u（n）-u（n-4）時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 在MATLAB中可通過卷積求解零狀態(tài)響應(yīng)，即 x(n ) * h（ n）。上述系統(tǒng)描述h ( n) 向量的長度至少為8，描述x ( n) 向量的長度至少為4，因此為了圖形完整美觀，將 h(n ) 向量和 x(n )加上一些附加的零值。其實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序代碼如下：clear all;nx=-1:5; %x(n)向量顯示范圍（添加了附加的零值）nh=-2:10; %h(n)向量顯示范圍（添加了附加的零值）x=uDT(nx)-uDT(nx-4);h=0.8.nh.*(uDT(nh)-uDT(nh-8

17、);y=conv(x,h);ny1=nx(1)+nh(1); %卷積結(jié)果起始點(diǎn)%卷積結(jié)果長度為兩序列長度之和減1，即0到（length(nx)+length(nh)-2）%因此卷積結(jié)果的時(shí)間范圍是將上述長度加上起始點(diǎn)的偏移值ny=ny1+(0:(length(nx)+length(nh)-2);subplot(3,1,1);stem(nx,x,'fill');grid on;xlabel('n');title('x(n)');axis(-4 16 0 3);subplot(3,1,2);stem(nh,h,'fill');grid

18、 on;xlabel('n');title('h(n)');axis(-4 16 0 3);subplot(3,1,3);stem(ny,y,'fill');grid on;xlabel('n');title('y(n)=x(n)*h(n)');axis(-4 16 0 3);其波形如下圖：卷積和求解波形圖 (4) 信號(hào)抽樣信號(hào)抽樣是連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析向離散時(shí)間信號(hào)分析、連續(xù)信號(hào)處理向數(shù)字信號(hào)處理的第一步，廣泛應(yīng)用于實(shí)際的各類系統(tǒng)中。信號(hào)抽樣也稱為取樣或采樣，就是利用抽樣脈沖序列p ( t)從連續(xù)信號(hào) f(t ) 中

19、抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的 離散樣值信號(hào)稱為抽樣信號(hào)，用fs (t ) 表示。從數(shù)學(xué)上講，抽樣過程就是抽樣脈沖 p(t ) 和原連續(xù)信號(hào)f (t ) 相乘的過程，即:fs(t)=f(t)p(t)因此，可以用傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)來求抽樣信號(hào) fs(t) 的頻譜。信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以抽樣和角頻率為間隔周期的延拓，即信號(hào)在時(shí)域抽樣或離散化，相當(dāng)于頻域周期化。升余弦脈沖信號(hào)為 下面用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)該信號(hào)經(jīng)沖激脈沖抽樣后得到的抽樣信號(hào) fs(t)及其頻譜。參數(shù) E =1 , = ,則。當(dāng)采樣間隔Ts=1時(shí)，其實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序代碼如下：clear

20、all;Ts=1;dt=0.1;t1=-4:dt:4;ft=(1+cos(t1)/2).*(uDT(t1+pi)-uDT(t1-pi);subplot(2,2,1);plot(t1,ft);grid on;axis(-4 4 -0.1 1.1);xlabel('Time(sec)');ylabel('f(t)');title('升余弦脈沖信號(hào)');N=500;k=-N:1:N;W=pi*k/(N*dt);Fw=dt*ft*exp(-j*t1'*W);subplot(2,2,2);plot(W,abs(Fw);grid on;axis(-1

21、0 10 -0.2 1.1*pi);title('升余弦脈沖信號(hào)的頻譜');t2=-4:Ts:4;fst=(1+cos(t2)/2).*(uDT(t2+pi)-uDT(t2-pi);subplot(2,2,3);plot(t1,ft,':');hold on;stem(t2,fst);grid on;axis(-4 4 -0.1 1.1);xlabel('Time(sec)');ylabel('fs(t)');title('抽樣后的信號(hào)');hold off;Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2'*W)

22、;subplot(2,2,4);plot(W,abs(Fsw);grid on;axis(-10 10 -0.2 1.1*pi);xlabel('omega');ylabel('Fs(w)');title('抽樣信號(hào)的頻譜');其波形如下圖：信號(hào)抽樣波形圖3、離散系統(tǒng)的仿真已知某濾波器的差分方程：，求沖激響應(yīng)。系統(tǒng)由差分方程描述： 分別用filter函數(shù)和impz函數(shù)繪出其單位沖激響應(yīng)h(n)的線圖。MATLAB程序如下：clear all;close all;clc;b=1 -0.6;a=1 -1 0.9;n1=0:89;x=1zeros(1,

23、89);h1=filter(b,a,x);h,n=impz(b,a,90);subplot(2,1,1),stem(n1,h1,'.');xlabel('n');ylabel('h(n)');grid;title('filter函數(shù)求出的單位沖激響應(yīng)');axis(-5 95 -1.2 1.2);subplot(2,1,2),stem(n,h,'.');xlabel('n');ylabel('h(n)');grid;title('impz函數(shù)求出的單位沖激響應(yīng)');a

24、xis(-5 95 -1.2 1.2);set(gcf,'color','w'); filter函數(shù)和impz函數(shù)單位沖激響應(yīng)圖4、離散LTI的級(jí)聯(lián)在實(shí)際應(yīng)用中高階因果線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用低階因果線性時(shí)不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)得到，這可簡化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。例如，對(duì)于四階線性時(shí)不變系統(tǒng)，可以用二個(gè)二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。第一級(jí) 第二級(jí) 用MATLAB語言編程驗(yàn)證系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。matlab程序B1=1,0.9,0.8;A1=0.2,-0.2,0.4;xn=1,zeros(1,30);hn1=filter(B1,A1,xn);B2=1,0.7,0.85;A2=0.2,-0.5,0.3;

25、hn2=filter(B2,A2,hn1); n2=0:length(hn2)-1;subplot(2,1,1)stem(n2,hn2,'-'),title('級(jí)聯(lián)后的響應(yīng)')xlabel('n');ylabel('h2(n)')% the original serialsB3=1,1.6,2.28,1.325,0.68;A3=0.06,-0.19,0.27,-0.26,0.12;xn=1,zeros(1,30);hn=filter(B3,A3,xn);n=0:length(hn)-1;subplot(2,1,2)stem(n,hn,'.'), title('原始序列響應(yīng)')xlabel('n');ylabel('h(n)') 級(jí)聯(lián)響應(yīng)5、線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析若一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是絕對(duì)可和，則此系統(tǒng)就是BIBO的穩(wěn)定系統(tǒng)。由此，無限沖激響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是，隨著輸入序列點(diǎn)的增加，沖激響應(yīng)衰減到零。用