數(shù)學(xué)公式,整理

1、數(shù)學(xué)公式整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)1、整數(shù)及帶余除法ba : a除以b整除。a=bq (b0，q為整數(shù))a/b是整數(shù)的充分必要條件是b0，且ba。整除具有如下性質(zhì)：1.如果cb, ba,則ca.2.如果cb, ca.則對(duì)任意整數(shù)m，n有c(ma+nb).設(shè)a,b是兩個(gè)整數(shù)，其中b0，則存在整數(shù)q，r使得a=bq+r,0r<b若b>0，則ba的充分必要條件是帶余除法中余數(shù)r=0.2、質(zhì)數(shù)、合數(shù)及算數(shù)基本定理一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因素只有1和它本身，稱這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))。如果一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因素除了1和它本身，還有其他正因素，則稱這個(gè)整數(shù)為合數(shù)(或復(fù)合數(shù))。除了最小質(zhì)數(shù)2

2、是偶數(shù)外，其余質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。任一大于1的整數(shù)都能表示成質(zhì)數(shù)的乘積且這樣的分解式式唯一的。a=p1p2pn a>1,p1p2pn3、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)a,b的最大公因數(shù)記為(a,b).若(a,b)=1,則稱為a,b互質(zhì)。a,b的最小公倍數(shù)記為a,b.a,b的所有公倍數(shù)就是a,b的所有倍數(shù)。若ad且bd,則a,bd.a,b= ,特別地，當(dāng)(a,b)=1時(shí)，有a,b=ab.若abc,且(a,b)=1，則ac.在三個(gè)連續(xù)的整數(shù)中,必有一個(gè)是3的倍數(shù),兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)中,必有一個(gè)是2的倍數(shù).4.有理數(shù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫為的形式(n0，m,n均為整數(shù))，若(m,n)=1

3、，稱為既約分?jǐn)?shù)。5.實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，令x=x-x,稱x是x的整數(shù)部分，x是x的小數(shù)部分。整式、分式1.一元多次n項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,n為非負(fù)整數(shù)，a0,a1,a2an均為實(shí)數(shù),an0.若f(x)的所有系數(shù)均為0，稱為零多項(xiàng)式。零多項(xiàng)式不規(guī)定次數(shù)記為f(x)0兩個(gè)多項(xiàng)式的和差積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，但商不一定是多項(xiàng)式。g(x)f(x)的充要條件是帶余除法中余式為0.2.余式定理及一次因式與根的關(guān)系用一次多項(xiàng)式x-a去除多項(xiàng)式f(x),所得的余式是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)值等于函數(shù)值f(a).a是f(x)的根(即f(a)=0)的充要條件是(x-a

4、)f(x)。3.因式分解(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a+b)(a-b)=a2-b2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)平均值、絕對(duì)值1.平均數(shù)設(shè)x1x2xn為n個(gè)正數(shù)，算數(shù)平均值= = 設(shè)x1,x2xn為n個(gè)正實(shí)數(shù)，幾何平均值xg= = ,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=xn時(shí)，等號(hào)成立(用于解函數(shù)最值問(wèn)題)。2.絕對(duì)值|a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。|a|=兩個(gè)重要性質(zhì)： 1.|ab|=|a|b|; |a/b|=|a|/|b| 2.|a|

5、b| 可逆，|b|>|a|a|-|b|a+b|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)左邊等號(hào)成立，ab0時(shí)右邊等號(hào)成立。|a|-|b|a-b|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)左邊等號(hào)成立，ab0時(shí)右邊等號(hào)成立。(|a+b|表示a-b與原點(diǎn)的距離，也表示a與b之間的距離)|a|m-mam|a|m am或a-m|a|=ma=±m= |a|方程與不等式1.一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x=其中=b2-4ac稱為一元二次方程根的判別式<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根。2.韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0中系數(shù)a

6、,b,c不全為固定值時(shí)，考慮兩根的關(guān)系既要考慮判別式，也要考慮韋達(dá)定理。3.一元二次不等式數(shù)列1.概念an與n的關(guān)系用公式表示就是通項(xiàng)公式。an=sn-sn-1, 再帶入a1，看是否符合。2.等差數(shù)列數(shù)列c,c,c是公差d=0的等差數(shù)列；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式sn= a,b,c成等差數(shù)列b= ;若sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等差數(shù)列；若an是等差數(shù)列，如果m+n=s+t,則，am+an=as+at.3.等比數(shù)列數(shù)列c,c,c是公差q=1等比數(shù)列;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式sn=

7、a,b,c成等比數(shù)列b2=ac若an是等比數(shù)列，則sn,s2n-sn,s3n-s2n也是等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列,如果m+n=s+t,則，aman=asat.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列b=,三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 b2=ac。若b2=ac且b0a,b,c,成等比數(shù)列。(常考)應(yīng)用題1.比和比例;2.行程問(wèn)題;3.工程問(wèn)題;4.濃度問(wèn)題;平面幾何與立體幾何一.三角形1.性質(zhì)三角形的三條角平分線、三條中線、三條高(或其延長(zhǎng)線)都相交于一點(diǎn)。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。直角三角形中30o所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。等腰三角形兩底角相等，兩腰上的中線相等，兩底角平分線相等。等腰三角形的頂角的平分線與底邊的中線

8、、高重合。等腰三角形是以底邊的高所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。2.全等三角形兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等(邊角邊)；兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等(角邊角)；三邊對(duì)應(yīng)相等(邊邊邊)；3.相似三角形兩角對(duì)應(yīng)相等；三邊對(duì)應(yīng)成比例；兩邊成比例且?jiàn)A角相等。相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊、線成比例，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。二、四邊形1.平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分。2.矩形角為直角的平行四邊形，對(duì)角線平分且相等。3.菱形四邊相等的平行四邊形，對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。菱形面積=對(duì)角線之積。4.梯形中位線= (上底+下底)；面積s=(上底+下底)*高=中位線*高三、圓

9、連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。弦到圓心的距離叫作弦心距。圓心相同，半徑不同的兩個(gè)圓叫作同心圓；圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫作等圓。頂點(diǎn)再圓心的角叫圓心角；頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角叫圓周角；直徑所對(duì)的圓周角為直角。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。不在統(tǒng)一條之間的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。面積s=r2 周長(zhǎng)=2r.四、立體幾何1.長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的全面積S全=2(ab+bc+ca)長(zhǎng)方體的體積V=abc對(duì)角線長(zhǎng)d= 長(zhǎng)方體的側(cè)棱垂直于上下底面,且每一個(gè)矩形的側(cè)面也垂直于底面.當(dāng)a=b=c時(shí)，長(zhǎng)方體稱為正方體或立方體，正方體的全面積S全=6a2正方體的體積V=a3正方

10、體的對(duì)角線d= a;2.圓柱體側(cè)面積S側(cè)=2rh;全面積S全=2r(h+r);體積V=r2h;當(dāng)h=2r時(shí)，圓柱稱為等邊圓柱，等邊圓柱的軸截面是正方形，非等邊圓柱的軸截面是矩形。3.球體表面積S=4r2；體積V= r3；內(nèi)接正方體的對(duì)角線等于球的直徑。平面解析幾何一、基本公式1.兩點(diǎn)間的距離p1p2= ;2.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)有向直線l上一點(diǎn)p將l上的有向線段分成兩條有向線段和,和的長(zhǎng)度比記為,即=,點(diǎn)p叫作的定比分點(diǎn)。則有x=,y=;特別當(dāng)=1時(shí),p為p1p2的中點(diǎn)，此時(shí)x=,y=3.過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2),則l的斜率k=(x1x2)；若直線方

11、程為Ax+By+C=0(B0),則直線斜率為k=- ;4.點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)直線方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)p(x0,y0),則點(diǎn)p到直線的距離為d= 二.直線方程一般式: Ax+By+C=0(A2+B20)點(diǎn)斜式:已知p(x0,y0),和斜率k，方程為y-y0=k(x-x0);兩點(diǎn)式:已知直線上的點(diǎn) p1(x1,y1),p2(x2,y2),方程為= ;斜截式:已知直線斜率k和在y軸上的截距b，方程為y=kx+b;截距式：已知在x上的截距為a，在y軸上的截距為b，方程為+ =1；三、兩條直線的關(guān)系1.兩直線相交，A1B2-A2B10,方程組有唯一解，解為兩直線交點(diǎn)。2.兩直線平行，A1B2-

12、A2B1=0，(斜率k=- ),即斜率相等。3.兩直線垂直，A1A2+B1B2=0，若兩直線斜率存在k1k2=-1.4.兩條直線的夾角兩條直線的夾角指不大于的非負(fù)角，0，l1到l2的角指l1按逆時(shí)針繞交點(diǎn)轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)的角。tan=tan=兩平行直線間的距離d=四、圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-x0)2+(y-y0)2=r2 ;(x0,y0)為圓心，r為半徑。一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中系數(shù)必須滿足D2+E2-4F0。 圓心為(-，-)，半徑為r=.五、直線與圓的關(guān)系直線與圓相交，d<r,或方程組有兩組不同解；直線與圓相切，d=r,或方程組有兩組相同解；直線與圓相離，d&

13、gt;r,或方程組無(wú)解。圓上的點(diǎn)到外離圓的直線的最短距離為:圓心到直線的距離-半徑排列與組合一、基本原理加法原理：完成一件事有n類辦法。乘法原理：完成一件事經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟。二、排列定義：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素(mn),按照一定的順序排成一列，所有這些排列的個(gè)數(shù)，稱為排列數(shù)，記為Pmn或Amn。當(dāng)m=n時(shí)，稱為全排列，記為Pnn或Ann。排列數(shù)公式：記n!=1*2*3*n,0!=1!=1Pmn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)Pnn=n!三、組合定義：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素(mn)，不論順序組成一組，這些組合的個(gè)數(shù)稱為組合數(shù)，記為。公式：=。=1；=+四、四類典型問(wèn)題(P109)

14、。摸球問(wèn)題：排隊(duì)問(wèn)題：分房問(wèn)題：分組問(wèn)題：概率一、事件的運(yùn)算事件之間常見(jiàn)的關(guān)系和運(yùn)算1.包含關(guān)系，若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，或稱A是B的子事件，記為AB。若AB且BA，則稱事件A 與事件B相等，記為A=B。2對(duì)立事件 若AB=且AB=則稱事件A與事件B互為逆事件或稱A與B為對(duì)立事件，即每次試驗(yàn)中，事件A與B必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生。A的對(duì)立事件記為，顯然=-A。3互不相容(互斥)事件若AB=，則稱事件A與B是互不相容或互斥的，即事件A與事年B不能同時(shí)發(fā)生?；臼录莾蓛苫ゲ幌嗳?。4事件的和(或并)( AB或A+B) 事件AB=xxA或xB稱為事件A與事件B的

15、和事件，當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生。5事件的積(或交)( AB或AB) 事件AB=xxA且xB稱為事件A與事年B的積事件，當(dāng)且僅當(dāng)A，B中同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生，AB也記作AB 。 6事件的差(A-B或A ) 事件A-B=xxA且xB稱為事件A與B的差事件，當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生B不發(fā)生時(shí)事件A-B發(fā)生。 圖 分別為圖中陰影部分 S為。7事件的運(yùn)算律交換律 AB=BA ； AB=BA (AB=BA)。 結(jié)合律 (AB) C =A(B C)；  (AB) C=A(B C)。分配律&#

16、160;A(B C)= (AB) (AC)；A(B C)= (AB) (AC) 。德摩根(De Morgan)律 =  ； = 。AB AB =B且AB=A;A,B互斥AB=.A=,A=.二、事件的概率及基本公式對(duì)于任意事件A，0P(A) 1;P()=1;P()=0.若AB，P(A) P(B);若，A1,A2,An，兩兩互斥，則有P(A1A2An)=P(A1)+ P(A2)+ P(An);P()=1- P(A);P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(BC)- P(CA

17、)+ P(ABC);P(A-B)=P(A)- P(AB);P()=P()=1-P(AB)P()=P()=1-P(AB)=1- P(A)-P(B)+P(AB)若A,B獨(dú)立則P(AB)= P(A) P(B);三、條件概率及乘法公式在實(shí)際問(wèn)題中，常常要計(jì)算在某個(gè)事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件B發(fā)生的概率，記為P(BA),在古典概型中，若事件A中包含m個(gè)不同的基本事件，事件AB中包含n個(gè)不同的基本事件，則P(BA)= ，一般也有，設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,則稱P(BA)= 為事件A發(fā)生條件下B發(fā)生的概率。對(duì)于任意事件A,B若P(A)>0，則P(AB)= P(A)* P(B

18、A).設(shè)A1,A2An是n個(gè)事件(n2),且P(A1A2An-1)>0，則P(A1A2An)= P(A1) P(A2A1) P(A3A1 A2)P(AnA1 A2An-1)四、事件的獨(dú)立性及獨(dú)立試驗(yàn)序列概型1.若事件A和事件B滿足P(AB)= P(A) P(B) 則稱A,B相互獨(dú)立(兩兩獨(dú)立或獨(dú)立)。2.若A與B獨(dú)立，則與B、A與、與都獨(dú)立。(一組成立，另三組都成立)。3.A,B,C為三事件，若滿足P(AB)= P(A) P(B)，P(BC)= P(B) P(C)，P(AC)= P(A) P(C),則稱A,B,C兩兩獨(dú)立。4. A,B,C為三事件，若滿足：A,B,C兩兩獨(dú)立； P(ABC)= P(A) P(B) P(C),則稱A,B,C相互獨(dú)立。5.若事件A1,A2An相互獨(dú)立，則一定為兩兩獨(dú)立，而兩兩獨(dú)立卻不一定相互獨(dú)立。6. 若事件A1,A2An相互獨(dú)立，則， P(A1A2An)=1- P(1) - P(2)- P(n)7.如果某試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)，A與。且P(A)=p>0, P()=1-p>0,則稱這一試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn)，將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立的重復(fù)n次，稱為n重伯努利試驗(yàn)。在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k，次的概率為： Pk(1-p)n-k (k=0,1,2,n)這一公式稱為二項(xiàng)概率公式。8.二項(xiàng)式定理(a+b)n=a0bn+a1bn-