中考復(fù)習(xí)資料(好)(六)三角形及四邊形VIP

1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。三、三角形（一）、課標(biāo)要求具體內(nèi)容知識(shí)技能要求過程性要求三角形的有關(guān)概念畫任意三角形的角平分線、中線、高三角形的穩(wěn)定性三角形的中位線全等三角形的概念三角形全等的條件等腰三角形的概念等腰三角形的性質(zhì)及判定直角三角形的概念直角三角形的性質(zhì)及判定（二）、知識(shí)要點(diǎn)1.三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的邊。三角形按角分類：銳角三角形；直角三角形；鈍角三角形。畫任意三角形的角平分線、中線、高。三角形中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形中位線；三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。2.我們把兩條邊

2、相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰；把三邊都相等的三角形稱為等邊三角形（或正三角形）。3.三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角；三角形的外角和等于360°。4.三角形的三邊關(guān)系：三角形的任何兩邊的和大于第三邊。三角形具有穩(wěn)定性。四邊形具有不穩(wěn)定性。5.等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在直線為對(duì)稱軸；等腰三角形的兩底角相等（等邊對(duì)等角）；等腰三角形的頂角平分線平分底邊且垂直于底邊（三線合一）；等邊三角形的各個(gè)角都相等，每個(gè)角都是60°。等腰三角形的識(shí)別：（1）

3、有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（等角對(duì)等邊）（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（4）三角形的一條角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊，則這個(gè)三角形是等腰三角形。（三）、考點(diǎn)解讀例1.如圖，若，求的度數(shù)。分析：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和，這里是求證一個(gè)角等于三個(gè)角的和，這就啟示我們要將此圖化為三角形進(jìn)行研究。解：例2.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是18cm（1）已知腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊長(zhǎng)。（2）已知其中一邊長(zhǎng)4cm，求其它兩邊長(zhǎng)。分析：（1）可直接根據(jù)定義計(jì)算；（2）因?yàn)?cm有可能作腰，也有可能作底，故要分兩種情

4、況。解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，則腰長(zhǎng)為2xcm三邊長(zhǎng)分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm（2）第一種情況：4cm的長(zhǎng)的邊為底，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm則第二種情況：4cm的長(zhǎng)為腰，設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm則，即發(fā)生兩邊的和小于第三邊的情況4cm為腰不能組成三角形，從而得這個(gè)三角形其他兩邊長(zhǎng)都是7cm。說明：三角形的三邊，有的各不相等，有的兩條邊相等，有的三條邊相等，解題應(yīng)注意，求三角形的邊長(zhǎng)問題，一定要考慮三角形三邊關(guān)系定理，不滿足定理的應(yīng)舍去。例3.已知，如圖，BE平分，求證：BC/DE證明：BE平分（已知）（角平分線定義）又（已知）（等量代換）BC/DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）例4.家庭裝飾采用的地

5、磚一般是正方形、矩形或菱形材料，人行道鋪的水泥磚往往是方形、三角形或是六邊形，為什么要采用這樣的材料，采用其它多邊形材料行嗎？若行，需要有什么限制？分析：鋪地板時(shí)，有以下幾點(diǎn)要求：（1）平整，即材料厚度一致；（2）無(wú)縫隙，要滿足下面兩點(diǎn)才能保證：相鄰兩塊磚拼接的對(duì)應(yīng)邊要完全重合，即對(duì)應(yīng)邊相等；在每塊磚的頂點(diǎn)處要能拼成周角360°。（3）考慮穩(wěn)定性，符合力學(xué)要求。解：三角形材料只要全等，由內(nèi)角為180°，用六個(gè)全等三角形能在一個(gè)頂點(diǎn)處拼得360°角，對(duì)應(yīng)邊相等，能保證相鄰兩個(gè)三角形拼接的邊能完全重合，故三角形材料在全等條件下能鋪滿地板。對(duì)于全等的特殊四邊形材料，由內(nèi)

6、角和為360°，可以鋪滿地板，其實(shí)，一般的四邊形材料也能。五邊形因其內(nèi)角和為540°，不是360°的整數(shù)倍，當(dāng)這個(gè)五邊形為正五邊形時(shí)，每個(gè)內(nèi)角為108°，它的整數(shù)倍不是360°，故不能在頂點(diǎn)處構(gòu)造360°角，所以不能用五邊形材料鋪地板。六邊形材料，因其內(nèi)角和超過360°，不能用一般六邊形拼成360°角，但正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為120°，它的3倍為360°。故在一個(gè)頂點(diǎn)處，用三個(gè)這樣的六邊形能拼成360°，故可行。當(dāng)邊數(shù)多于6時(shí)，無(wú)論內(nèi)角是否相等，都無(wú)法拼成360°角，所以不能

7、用它們來鋪地板（四）、智能訓(xùn)練一、精心選一選1一個(gè)鈍角三角形的三條角平分線所在的直線一定交于一點(diǎn)，這交點(diǎn)一定在 ()A三角形內(nèi)部B三角形的一邊上C三角形外部D三角形的某個(gè)頂點(diǎn)上2下列長(zhǎng)度的各組線段中，能組成三角形的是 ()A4、5、6B6、8、15C5、7、12D3、9、133在銳角三角形中，最大角的取值范圍是 ()A0°90°B60°90°C60°180°D60°90°4下列判斷正確的是 ()A有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等C有一角和

8、一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5等腰三角形的周長(zhǎng)為24cm，腰長(zhǎng)為xcm，則x的取值范圍是()Ax6B6x12C0x12Dx126已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足關(guān)系式BC3A則此三角形 ()A一定有一個(gè)內(nèi)角為45°B一定有一個(gè)內(nèi)角為60°C一定是直角三角形D一定是鈍角三角形7三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是該三角形的 ()A三條中線交點(diǎn)B三條角平分線交點(diǎn)C三條高線交點(diǎn)D三條高線所在直線交點(diǎn)8已知等腰三角形的一個(gè)角為75°，則其頂角為 ()A30°B75°C105°D30

9、6;或75°9如圖5124，直線、表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計(jì)劃建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 ()A一處B二處C三處D四處10三條線段長(zhǎng)度分別為3、4、6，則以此三條線段為邊所構(gòu)成的三角形按角分類是 ()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D根本無(wú)法確定二、細(xì)心填一填1如果ABC中，兩邊a7cm，b3cm，則c的取值范圍是_；第三邊為奇數(shù)的所有可能值為_；周長(zhǎng)為偶數(shù)的所有可能值為_2四條線段的長(zhǎng)分別是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三條線段為邊可以構(gòu)成_個(gè)三角形3過ABC的頂點(diǎn)C作邊AB的垂線將ACB分為20°和40°的

10、兩個(gè)角，那么A，B中較大的角的度數(shù)是_4在RtABC中，銳角A的平分線與銳角B的平分線相交于點(diǎn)D，則ADB_5如圖5125，AD，ACDF，那么需要補(bǔ)充一個(gè)直接條件_(寫出一個(gè)即可)，才能使ABCDEF6三角形的一邊上有一點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)三角形是_三角形7ABC中，AB5，BC3，則中線BD的取值范圍是_9已知：如圖5127，ABC中，BO，CO分別是ABC和ACB的平分線，過O點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，且DEBC若AB6cm，AC8cm，則ADE的周長(zhǎng)為_三、用心做一做1，已知：如圖5129，ABC的B、C的平分線相交于點(diǎn)D，過D作MNBC交AB、AC分別于點(diǎn)M、

11、N，求證：BMCNMN2已知：如圖5130，在ABC中，ACB90°，CD為高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB邊上的中線對(duì)嗎?說明理由3已知：如圖5131，在ABC中有D、E兩點(diǎn)，求證：BDDEECABAC5已知：如圖5132，點(diǎn)C在線段AB上，以AC和BC為邊在AB的同側(cè)作正三角形ACM和BCN，連結(jié)AN、BM，分別交CM、CN于點(diǎn)P、Q求證：PQAB智能訓(xùn)練答案一、1A 2A 3D 4D 5B 6A 7B 8D 9A 10D二、1，5cm、7cm、9cm，16cm或18cm； 22； 370° 4 5ABDE（或BE或CF）； 6直角； 7； 8

12、； 914cm 101800三、1略2解： 略3延長(zhǎng)BD交AC于M點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N5略6解：連結(jié)CE、BF，四、四邊形（一）、課標(biāo)要求具體內(nèi)容知識(shí)技能要求過程性要求多邊形的內(nèi)角和與外角和正多邊形的概念平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念平行四邊形的性質(zhì)及判定矩形、菱形、正方形的性質(zhì)及判定等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和判定平面的密鋪、密鋪的簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)（二）、知識(shí)要點(diǎn)1.n邊形的概念由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，叫做n邊形（我們所研究的多邊形都是凸多邊形，即所有的內(nèi)角都小于180°的多邊形）。如果多邊形的各邊都相等各內(nèi)角也都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形

13、。n邊形內(nèi)角和等于。n邊形的外角和恒等于360°，它與多邊形邊數(shù)無(wú)關(guān)。2.用正多邊形拼地板用多邊形拼地板的條件：用給定的多邊形拼地板，即能拼成一個(gè)既不留下一絲空白，又不互相重疊的平面圖形，其條件是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角。（等于360°）2.平行四邊形的識(shí)別方法：（1）從邊的關(guān)系去識(shí)別一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（2）從角的關(guān)系去識(shí)別兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。（注：鄰角都互補(bǔ)的四邊形也可證其是平行四邊形。）（3）從對(duì)角線的關(guān)系去識(shí)別：對(duì)角線

14、相互平分的四邊形是平行四邊形。平行四邊形的性質(zhì)定理：（1）從邊的關(guān)系分析平行四邊形對(duì)邊平行且相等。（2）從角的關(guān)系分析平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)。（3）從對(duì)角線分析平行四邊形對(duì)角線互相平分。（4）從對(duì)稱性分析平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱中心。（注：由中心對(duì)稱性，可通過繞三角形一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°來構(gòu)造平行四邊形。）矩形的識(shí)別方法：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（4）對(duì)角線相等且相互平分的四邊形是矩形。矩形的性質(zhì)定理：（1）矩形的四個(gè)角都是直角。（2）矩形的對(duì)角線相等且相互平分。矩形的對(duì)稱

15、性：矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。菱形的識(shí)別方法：四條邊都相等的四邊形是菱形。有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形。菱形的性質(zhì)定理：菱形四條邊都相等。菱形對(duì)角線互相垂直且平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。菱形的對(duì)稱性：菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。菱形的面積等于它的兩條對(duì)角線的乘積的一半。正方形的性質(zhì)：（1）正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。（2）正方形兩對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。正方形的對(duì)稱性：正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形。正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)的比為。正方形的識(shí)別方法：（

16、1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（2）對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形。（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形。（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。注：證明四邊形是正方形往往先證明它是矩形或菱形，然后再證明其是正方形，有時(shí)也從對(duì)角線關(guān)系出發(fā)直接證其是正方形。（三）、考點(diǎn)解讀例1.如圖，已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AOB的周長(zhǎng)比BOC的周長(zhǎng)長(zhǎng)8cm，求AB和AD的長(zhǎng)。分析：由平行四邊形的特征可知：ABBC是平行四邊形的周長(zhǎng)的，即。又由AOB的周長(zhǎng)比BOC的周長(zhǎng)長(zhǎng)8cm可得，解方程組即可求出AB和BC的長(zhǎng)。解：四邊形A

17、BCD是平行四邊形ABCD，ADBC，AOCO又又AB和AD的長(zhǎng)分別為19cm和11cm例2.如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，A40°，B100°。求證：BCABCD分析：如何把A、B轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中是本題的關(guān)鍵。過D作BC的平行線，從而將分散的條件集中，觀察到圖形本身的特殊性，即ADE為等腰三角形。證明：過D作DEBC交AB于E點(diǎn)ABCD，DECB四邊形BCDE是平行四邊形DEBC，DCBE又DEBCAEDB100°又A40°小結(jié)：將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形來進(jìn)行解決是解決有關(guān)梯形問題常見的一種方法。本題還可以作AD、BC的延長(zhǎng)線構(gòu)造三角

18、形來進(jìn)行解答。例3.如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，過各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個(gè)四邊形EFGH。試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目：（1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為_；當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為_；當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為_；當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為_；當(dāng)EFGH是矩形時(shí)，ABCD為_；當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，ABCD為_；當(dāng)EFGH是正方形時(shí)，ABCD為_。（2）請(qǐng)選擇（1）中任意一個(gè)你所寫的結(jié)論進(jìn)行證明。（1）答案：平行四邊形；菱形；矩形；正方形；對(duì)角線垂直的四邊形；

19、對(duì)角線相等的四邊形；對(duì)角線相等且垂直的四邊形。（2）分析：結(jié)合圖形，聯(lián)想特殊四邊形的特征及識(shí)別很容易發(fā)現(xiàn)，其中的橋梁為AC、BD。證明：當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為平行四邊形EHACFG，EFBDGH四邊形EFGH為平行四邊形證：若ABCD為矩形，則EFGH為菱形EHACFG，EFBDGH四邊形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均為平行四邊形EHACFG，EFBDGH四邊形ABCD為矩形ACBDEHACFGEFBDGH四邊形EFGH為菱形若ABCD為菱形，則EFGH為矩形，留給同學(xué)們自己證。例4.如圖所示，四邊形ABCD中，BADC90°，AEBC于E，AE10

20、cm，ABAD，求四邊形ABCD的面積。剖析：由于ABCD是不規(guī)則四邊形，根據(jù)已知條件不易直接求出面積，若通過旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造正方形，就可化難為易。答案：將ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°后得ADF則AFAE10cm，12因?yàn)?，所以又因?yàn)锳EBC，所以AEC90°因?yàn)镃90°，所以四邊形AECF為矩形又因?yàn)锳EAF，所以矩形AECF為正方形所以所以例5.如圖，梯形ABCD中，AD18cm，BC21cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向D以1m/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊向B以2m/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，求：（1）t為何時(shí)，四邊形ABQP

21、為矩形？（2）t為何時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？分析：（1）假設(shè)ABQP為矩形成立即：看P、Q應(yīng)滿足什么條件？即APBQ解：（1）APBQ7秒時(shí)ABQP為矩形分析：（2）若四邊形PQCD為等腰梯形即：則PQCD，將PQCD的關(guān)系轉(zhuǎn)化到AD、BC邊上則須添什么輔助線？略解：（2）過P做PEBC于E，過D作DFBC于F可證出四邊形ABEP、PEFD、ABFD均為矩形BC21，AD18，CF3（若QE3，則PQDC，則四邊形PQCD為等腰梯形）8秒時(shí)四邊形PQCD為等腰梯形（四）、智能訓(xùn)練練習(xí)三（四邊形）（一）、精心選一選1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A.對(duì)角相等B.對(duì)角線相等C.

22、對(duì)角線互相平分D.對(duì)邊平行且相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.四邊都相等B.對(duì)角線互相垂直平分C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線平分一組對(duì)角3.E為正方形ABCD的BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CEAC，AE交CD于F，則ACE（）A.132.5°B.125°C.135°D.150°4.正方形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（）A.1條B.2條C.4條D.無(wú)數(shù)條5.下列圖形中不是中心對(duì)稱圖形的是（）A.線段B.矩形C.等腰梯形D.正方形6.在周長(zhǎng)為40cm的梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，AD5cm，則ABE的周長(zhǎng)為（）A.40cmB.30cmC.2

23、0cmD.15cm二.細(xì)心填一填7.如圖1，平行四邊形ABCD中，AB4cm，AD7cm，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DF_cm。8.平行四邊形ABCD中，ADC125°，CAD34°，則ABC_°，CAB_°。9.平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為28cm，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且OAB的周長(zhǎng)比OBC的周長(zhǎng)大4cm，則AB_，BC_。10.如圖2，由火柴棒拼成的一系列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：（1）第4個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是_；（2）第n個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是_。11.如圖3，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC

24、、BD交于點(diǎn)O，AE平分BAD交BC于點(diǎn)E，CAE15°，則BOE_。12.菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，A：B1：2，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為_。13.菱形ABCD的一條對(duì)角線BD上一點(diǎn)E到AB的距離為2，則點(diǎn)E到BC的距離為_。14.菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC12cm，BD8cm，則菱形的面積為_。15.以正方形ABCD的邊AB為邊作等邊ABE，ADE_。16.如圖4，梯形ABCD的面積為，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，則ABE的面積為_。三.用心做一做17.如圖5，平行四邊形ABCD中，E、F是直線BD上兩點(diǎn)，且DEBF。求證：AECF18.如圖6，平行四邊形A

25、BCD中AQ、BN、CN、DQ分別是DAB、ABC、BCD、CDA的平分線，AQ、BN交于點(diǎn)P，CN、DQ交于點(diǎn)M。求證：MPNQ19.如圖7（1），已知直線mn，A、B為直線n上的兩點(diǎn)，C、P為直線m上的兩點(diǎn)，（1）請(qǐng)寫出圖（1）中面積相等的各對(duì)三角形：_。（2）若A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)，無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，總有_與ABC的面積相等，理由是_。解決問題：如圖7（2），五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的土地示意圖，經(jīng)多年開墾，現(xiàn)已變成如圖7（3）所示形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（即7（2）中的折線CDE）還保留著。張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路

26、左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多。（1）請(qǐng)你寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖7（3）中畫出相應(yīng)的圖形；（2）請(qǐng)說明方案設(shè)計(jì)理由?！局悄苡?xùn)練答案】一. 精心選一選。1.B2.C3.C4.C5.C6.B二. 細(xì)心填一填。7.3，8.125°21，9.9cm5cm，10.13，11.75°，12.5cm，13.2，14.，15.15°或75°16.三.用心做一做。17.證明：連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)四邊形ABCD是平行四邊形OAOC，OBOD又DEBFODDEOBBF即OEOFOAE與OCF關(guān)于O成中心對(duì)稱即OAE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°

27、;能與OCF重合AECF18.證明：四邊形ABCD是平行四邊形ABCD又BN平分ABC，CN平分BCD在BCN中，BNC90°同理，APBAQD90°BNCNPQPQM90°四邊形PQMN是矩形MPNQ（矩形的對(duì)角線相等）19.解：（1）圖（1）中面積相等的三角形有：ACB和APB；ACP和BCP。（2）PAB和ABC的面積相等，理由是同底等高的兩個(gè)三角形面積相等。解決問題：設(shè)計(jì)方案：連結(jié)EC，過D作GHEC交EN于G，交CG于H連結(jié)EH，則EH為所修直路理由如下：ECGHD、H到EC的距離相等在EH左邊的土地面積與承包時(shí)的面積一樣多五、相似圖形（一）、課標(biāo)要求具

28、體內(nèi)容知識(shí)技能要求過程性要求比、成比例線段、黃金分割相似圖形、相似圖形的性質(zhì)三角形相似的性質(zhì)及判定、直角三角形相似的判定位似及應(yīng)用相似的應(yīng)用（二）、知識(shí)要點(diǎn)1.比例線段在同一長(zhǎng)度下，量得的兩條線段長(zhǎng)度的比值叫這兩條線段的比。對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等。即（或a：bc：d），那么這四條線段叫做成比例的線段，簡(jiǎn)稱比例線段。如果作為比例線段的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a：bb：c，那么b叫做線段a、c的比例中項(xiàng)。在比例式a：bc：d中，d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng)。比例的性質(zhì)：（1）比例的基本性質(zhì)：（2）等比性質(zhì)：如果則黃金分割：如圖，把線段AB分成兩條線

29、段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即）叫做把這條線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。其中3.圖形的相似相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例；相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方。識(shí)別方法：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。識(shí)別直角三角形相似的方法：斜邊和一

30、條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似。相似多邊形的概念及性質(zhì)：各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形；相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比；相似多邊形的面積比等于相似比的平方。（三）、考點(diǎn)解讀例1若x：y：z2：7：5，且，求的值。分析：x：y：z2：7：5設(shè)x2k，y7k，z5kk2x4，y14，z10例2.如圖，直立在點(diǎn)B的木棍AB2.6米，從人EF的頭頂上看，點(diǎn)A與樹尖C重合，地平線上的點(diǎn)F、B、D共線，已知BD10米，F(xiàn)B3米，EF1.7米，求樹CD的高（精確到0.1米）分析：將此題抽象出幾何圖形解決此問題關(guān)鍵是構(gòu)造基本圖形A型圖解法一：設(shè)MFx再利用得：CD5.6解法二：AM

31、CNAM2.61.70.9EM3，EN13CN3.9CD3.91.75.6例3.如圖，ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于F。求證：AE：ED2AF：FB分析：要證AE：ED2AF：FB觀察所證四條線段位置AE、ED共線，AF、FB共線這種線段比值關(guān)系存在于A型或X型圖中所以，此題需構(gòu)造A型圖、X型圖。即添加平行線構(gòu)圖。思路1：過D作DMFCD是BC中點(diǎn)M是BF中點(diǎn)又AE：EDAF：MFAE：ED2AF：BF思路2：過D作DMABD是BC中點(diǎn)，M是FC中點(diǎn)又AF：DMAE：EDAE：ED2AF：BF思路3：過A作AMBC交CF延長(zhǎng)線于M思路4：過B作BMFC交延長(zhǎng)線AD

32、于MBDDCEDDMEM2ED還可嘗試其他方法證明：例4.如圖，ABC中，ACB90°，D是AB中點(diǎn)，過D作AB的垂線交CB于E，交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：CD2DE·DF。分析：所證線段恰好在兩個(gè)三角形中，可證相似證明：D是RtACB斜邊BC中點(diǎn)，CDBD，1B又證BF，CDECFD，CD2DE·DF例5.已知：如圖，矩形ABCD中，AB2，BC3，P是BC邊上與B、C兩點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，設(shè)PAx，D點(diǎn)到PA的距離為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍。解：過D作DEAP于E，則DEyADEPAD90°BAPPAD90°B

33、APADE且ABCDEA90°ABPDEA，AB2，BCAD3PAx，DEy（）（四）、智能訓(xùn)練練習(xí)四（圖形的相似）（一）、細(xì)心填一填1.已知：如圖1，ABCAED，AD5cm，EC3cm，AC13cm，則它們的相似比為_，AB_，它們的面積比為_。2.兩個(gè)相似三角形的相似比為，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為_。3.兩個(gè)相似三角形面積分別為35cm2和15cm2，則它們一組對(duì)應(yīng)邊上高線的比為_。4.已知：如圖2，DEBC，BE、CD相交于F，則DEF和CBF的面積比為_。5.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比為4：5，周長(zhǎng)的和為18cm，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為_。6.如果兩個(gè)相似多邊形

34、的最長(zhǎng)邊分別為35cm和14cm，它們的周長(zhǎng)差為60cm，那么這兩個(gè)多邊形的周長(zhǎng)分別為_。（二）、精心選一選7.ABC和A1B1C1相似，且相似比為k（k1），那么k的值為（）A.A1C1：ACB.BB1C.D.ABC周長(zhǎng)：A1B1C1周長(zhǎng)8.下面四組圖形中必定相似的是（）A.各有一個(gè)角是30°的兩個(gè)等腰三角形B.有兩組邊成比例的兩個(gè)直角三角形C.有一個(gè)角相等的兩個(gè)直角三角形D.各有一個(gè)角是91°的兩個(gè)等腰三角形9.由下面條件，能判斷ABCA'B'C'的是（）A.A50°，B40°，A'50°，C'80&

35、#176;B.AA'130°，AB4，AC10，A'B'10，A'C'24C.AB48，BC80，CA60，A'B'24，C'A'30，B'C'40D.AA'90°，AB5，BC，A'C'7，B'C'10.如圖3，AEDB，則下面等式中，正確的是（）A.AD：AECE：DBB.AE：BCAD：DBC.AD：AEAC：ABD.AD：ABDE：BC11.如圖4，ACDB，DEBC，則圖中共有（）對(duì)相似三角形。A.2B.3C.4D.512.ABC中，D是

36、BC上的點(diǎn)，要想使CADCBA，則下面條件中必成立的是（）A.AB2BD·BCB.CD2AD·DBC.AD2BD·DCD.AC2CD·CB（三）、用心做一做13.已知：如圖5，ABC中，DEBC，DE4cm，BC6cm，ABC的面積為12cm2，求梯形DECB的面積。14.已知：如圖6，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，OFAC于O點(diǎn)，交AB于E，交CB延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。求證OB·OCOE·OF。 15.已知：如圖7，ABC中，ACB90°，M為BC中點(diǎn)，CNAM。求證：MBNMAB。16.已知：如圖8，ABC中，AH是

37、BC邊上的高，四邊形DEFG為矩形，AH與GF交于K，若BC30cm，AH15cm，EF：DE1：3，求矩形DEFG的周長(zhǎng)。17.已知：如圖9，ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面積是BDE的面積的4倍，AC6，求DE的長(zhǎng)?！局悄苡?xùn)練答案】（圖形的相似）一、細(xì)心填一填1.5：13，26，25：169，2.5：2，3.，4.16：49，5.8cm，10cm，6.100cm，40cm二、精心選一選7.D8.D9.C10.C11.B12.D三、用心做一做13.解：DEBCADEB又AAADEABCSABC27S梯形DECB1514.證明：矩形ABCD中ABC90°，EBF90&

38、#176;FFEB90°又OFACAOF90°BACAEO90°FEBAEOFBAO又矩形ABCD中AOBOOCEBOBAOFFOB是公共角BOEFOBOB·OCOE·OF15.證明：RtACB中，ACB90°CNAM于NCM2MN·AM又M為BC中點(diǎn)MB2MN·AM又NMBAMBNMBBMAMBNMAB16.解：EF：DE1：3，可設(shè)EFx，DE3xGDEF為矩形，則GFDE3x，EFGDx又AHBC，KHFExGFBC，AGFABC又AHBCx6GF18，EF6CGDEF4817.解：ADBC，ADB90

39、76;CEAB，BEC90°又BBBECBDAB是ABC與EBD的公共角BEDBCA六. 圖形與證明（一）、課標(biāo)要求具體內(nèi)容知識(shí)技能要求過程性要求證明的必要性定義、命題、定理、互逆命題反例的作用及反例的應(yīng)用反證法的含義證明的格式及依據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理平行線的性質(zhì)定理和判定定理三角形的內(nèi)角和定理及推論直角三角形全等的判定定理角平分線性質(zhì)定理及逆定理垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理三角形中位線定理等腰三角形、等邊三角形、直角三角形性質(zhì)與判定定理（二）、知識(shí)要點(diǎn)1. 本章所證明的定理和推論有： 定理 （1）平行四邊形的對(duì)邊相等。 （2）平行四邊形的對(duì)角相等。 （3）同一底上的兩個(gè)角

40、相等的梯形是等腰梯形。 （4）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 （5）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 （6）三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。 （7）矩形的四個(gè)角都是直角。 （8）矩形的對(duì)角線相等。 （9）菱形的四條邊都相等。 （10）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 （11）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 推論 （1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 2. 本章證明的其他可以在推理過程中使用的內(nèi)容： （1）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。 （2）夾在兩條平行線間的平行線段相等。 （3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 （4）兩組對(duì)角分

41、別相等的四邊形是平行四邊形。 （5）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。 （6）對(duì)角線相等的平形四邊形是矩形。 （7）四條邊都相等的四邊形是菱形。 （8）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。 （9）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 （10）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。 （11）對(duì)角線相等的菱形是正方形。 （12）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形5.全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形的識(shí)別：S.A.S.：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。A.S.A.：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。A.

42、A.S.：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。H.L.：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）能明確指出概念含義或特征的句子叫做定義。注意：定義必須嚴(yán)密，一般避免使用含糊不清的術(shù)語(yǔ)。判斷正確或錯(cuò)誤的句子叫做命題。正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題。命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，?？蓪懗伞叭绻敲础钡男问?。正確性是人們長(zhǎng)期以來在實(shí)踐中總結(jié)出來的，并作為識(shí)別其他命題真假的根據(jù)的命題叫做公理。常見公理：（1）一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位

43、角相等，那么這兩條直線平行；（3）如果兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊或三邊）分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。正確性是用推理證實(shí)的，這種用推理的方法得到的真命題叫做定理。3.證明方法：分解圖形法復(fù)雜的圖形都是由較簡(jiǎn)單的基本圖形組成，因此可將復(fù)雜圖形分解成幾個(gè)基本圖形，這樣使問題顯而易見。構(gòu)造圖形法：當(dāng)直接證題有困難時(shí)，常通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，以達(dá)到解題的目的。解題的基本方法：綜合法是從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法。分析法是從結(jié)論出發(fā)，用倒推來尋找證題思路的方法。兩頭“湊”的方法，也就是綜合運(yùn)用以上兩種方法才能找到的證題思路。（也叫分

44、析綜合法）。轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、分解為簡(jiǎn)單的問題，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想。七、尺規(guī)作圖（一）、課標(biāo)要求具體內(nèi)容知識(shí)技能要求過程性要求基本作圖利用基本作圖作三角形過平面上的點(diǎn)作圓尺規(guī)作圖題的步驟（已知、求作、作法）（二）、知識(shí)要點(diǎn)尺規(guī)作圖與工具作圖不同，只允許使用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)，一些尺規(guī)作圖的作法，都是由基本作圖組成的?；咀鲌D：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；平分已知角；經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線；（三）、考點(diǎn)解讀例1.指出下列句子哪些是定義。（1）同位角相等，兩直線平行（2）若兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直

45、線互相垂直（3）大于直角而小于平角的角叫做鈍角（4）兩點(diǎn)之間線段最短（5）在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等解：（2）（3）是定義；（1）（4）（5）不是定義。例2.判斷下列語(yǔ)句是不是命題，如果是命題，是真命題還是假命題？（1）連結(jié)AB（2）對(duì)頂角相等（3）如果兩個(gè)三角形有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（4）若，則a>b解：（略）例3.將下列命題改成“如果那么”的形式，并分別指出命題的題設(shè)和結(jié)論。（1）直角都相等（2）末位數(shù)是5的整數(shù)能被5整除（3）三角形的內(nèi)角和是（4）同角的余角相等（5）不相等的角不是對(duì)頂角（6）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解：（略）例4.已知斜邊、一直角

46、邊，作直角三角形。已知線段a、b且（如圖所示）求作：ABC，使CRt，ABa，ACb作法：（如圖所示）作ACB90°。在射線CM上截取CAb。以A為圓心，a為半徑畫弧交CN于B。連結(jié)AB。ABC為所求的直角三角形。說明：遇到作三角形問題時(shí)，應(yīng)考慮先把能確定圖形位置或相互關(guān)系的條件作出來，特別應(yīng)注意一些隱含條件，如本例中的“C90°”。例5.如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上一點(diǎn)，求證：證明：在和中在和中例6.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，DE、DF分別與兩邊交于E、F兩點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BC到M，使，連DM正方形ABCD，在和中在和中周長(zhǎng)為例7.如圖，在等腰

47、直角三角形中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，P是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為BC上的一點(diǎn)，且，垂足為E（1）求證：（2）設(shè)，四邊形PBDE的面積是y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍證明：（1）中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，在和中（2）例8.在中，ACBC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問：DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。解：（1），（2）（3）略例9.已知，如圖，在中，AD為BC的中線，E為AC上一點(diǎn)，BE和AD交于

48、F，若AEEF，求證：證法1：延長(zhǎng)AD到M，使，連BM在和中證法2：延長(zhǎng)FD到N，使DNFD，連CN在和中小結(jié)：加倍中線是解決中線問題的常見方法。例10.如圖，中，在AB上取點(diǎn)D，在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使BDCF，連結(jié)DF交BC于點(diǎn)E，求證：DEFE證法1：過D作DM/AC，交BC于M在和中證法2：過F作FN/AB交BC延長(zhǎng)線于N證證法3：過D作于H，交BC延長(zhǎng)線于K證例11.已知，如圖，中，ABAC，求證：證明：在BC上截取，連結(jié)DE同理（四）、智能訓(xùn)練練習(xí)五（圖形、證明與作圖）一、精心選一選1.RtABC中，C90°，A30°，RtABC關(guān)于AB對(duì)稱的三角形為RtAB

49、C'，則ACC'為（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如圖1所示，ABC中，A40°，B72°，CDAB于D，CE平分ACB交AB于E，DFCE于F，則CDF等于（）A.40°B.68°C.72°D.74°3.如圖2所示，ABC中，ABAC，CDBF，CEBD，則等于（）A.B.C.D.4.下列定理中，沒有逆定理的是（）A.等腰三角形的兩底角相等B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等C.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等D.若，則5.等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于（）A.頂角B.頂角的一半C.底角的一半D.頂角的三分之一二、專心畫一畫（保留作圖痕跡，不寫作法）6.如圖3所示，已知線段C及銳角。求作：RtABC，使C90°，A，ABc7.已知：如圖4所示，點(diǎn)M、G和相交直線AB、CD（1）作點(diǎn)G關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)N（2）求作點(diǎn)P，使P到直線AB、CD的距離相等，且PMPN三、用心做一做8.如圖5所示，ABC是等邊三角形，D是BA的中點(diǎn)，DEAC，垂足為E，EFAB，AE1，求EFC的周長(zhǎng)。9.ABC中，BAC90°，