二次型及應用問題1矩陣的等價、相似、合同辨析答兩個矩陣等價

1、二次型及應用問題 1:1:矩陣的等價、相似、合同辨析答：(1)兩個矩陣等價：A 和 B 等價，即表示為 A 三 B； A 和 B 是同型矩陣；滿足，PAQ=B, P、Q 可逆，即將 A 通過行初等變化和列初等變換后得到 B 的矩陣，其中 r(A)=r(B)。(2)兩個矩陣相似：A 和 B 相似，即表示為岫；府日 B 是 n 階方陣；滿足，PAP=B ,P可逆，即也 A 蘭 B，其中，r(A) = r(B)、|A=|B(3)兩個矩陣合同：A 和 B 合同，即表示為 ALB ； A 和 B 是 n 階方陣；滿足，PTAP = B,P可逆， 即也 A 三 B，其中，r(A) = r(B)問題 2:2

2、:通過正交變換或可逆變換得到的標準形一樣嗎？答：不同點：i)正交變換得到的實二次型的標準形：對角線元素是實對稱陣的特征值；且標準形在不計特征值順序時是唯一的。ii)可逆線性變換得到的實二次型的標準形：對角元素不一定是實對稱陣的特征值，且其形式也不唯一。相同點：i)平方項中非零項的個數(shù)相同ii)平方項中正(負)項的個數(shù)相同問題 3：判斷下面三個矩陣那些相似？哪些合同？-2一101 -一1001A =1、B =-2_1、C =_12-3一13 -1-22一i.A 是對角陣,A 是上三角陣，且有3個互異特征值與 A 相同，所以 B 可以相似 對角陣為 A。即 A 與 B 相似。ii.因為 A 是對角

3、陣，所以與 A 合同的矩陣必然是對稱陣，而 B 不是對稱陣，A 與B 不合同。iii.乂因為舄E-C =0得*=-2，&=1,勾=3 ,C 是乂實對稱矩陣，所以存在正交矩陣 Q，使得Q*CQ =QTCQ = A,C 與 A 既相似乂合同，在由傳遞性可知，C與 B 也相似。但 C 與 B 不合同，因為 C 是對稱陣，與對稱陣合同的矩陣必然是對稱陣，而 B 不是對稱陣, 所以 C 與 B不是合同矩陣。問題 4:4:設 A 是 n 階實對稱矩陣，AB+BTA 是正定矩陣，證明 A 可逆。證明：任意 x#0，由于 AB+BTA 正定，總有xT(AB BTA)x = (Ax)T(Bx) (Bx)

4、T(Ax) 0因此，對任意 x x 尹 0 0，包有 Ax#0Ax#0，即齊次方程組 Ax=0Ax=0 只有零解，所以，A 可逆。問題 5:5:用正交變換化二次型為標準形的步驟及其正交變換矩陣，并舉例說明。答：步驟：1)1)、將二次型的矩陣表示；2)2)、求出二次型矩陣A的特征值及其對應的特征向量。分別討論特征值對應的特征向量，將重根對應的特征向量正交化單位化，將單根特征值對應的特征向量單位化，3)3)、由標準型中特征值的位置決定的，由2)步中算出的單位正交向量的列構成矩陣 P o4)4) 、寫出二次型在正交變換下化成的標準形。例：設二次型為 f (x1, x2, x3) =4x2 -3x2+4x1x2-4x1x3+8x2x3。解：1)二次型矩陣為：一 0 2 -21A= 24424 -3_2)求出A所對應的特征值氣=1一2=6，九3=-6,氣=住 =(-2,0,1)丁單位化得 P1 =1，。，肩；1=6=1= (1,5,2)T單位化得 P2 =揭=6= % =（1,1,2）T單位化得 Pi =（二,二,M）；.6 、6、一 6 3）構建以Pi，P2, P3為列向量的矩陣i.30 5.302 30 . 6得正交變換 X X = = PyP