全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷文科新課標(biāo)ⅰ

1、2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的。1. （5 分）已知集合 A=0,2 ,B= -2, - 1, 0, 1, 2 ,WJ AHB=（）A.0, 2 B. 1, 2 C.0D. - 2, 1, 0, 1, 22. （5 分）設(shè) z=M+2i，貝U | z| 二（）1+iA. 0 B. C. 1D.3. （5分）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖

2、:建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入掏成比例則下面結(jié)論中不正確的是（）A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半4. （5分）已知橢圓C:三了，=1的一個焦點為（2, 0）,則C的離心率為（5. （5分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為 。1, O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A. 12/2 兀 B. 12ttC. 8r仁 D. 10 九6. (5分)設(shè)函數(shù)f (x) =X3+ (a-1) x2+ax.若f (

3、x)為奇函數(shù),貝加線y=f (x)在點(0, 0)處的切線方程為()A. y= -2x B. y=- x C. y=2xD. y=x7. (5分)在 ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則曲|二()A.顯標(biāo) 工錄b. llS-to C,阿菽+!正D. US+M 444444448. (5 分)已知函數(shù) f (x) =2cos2x- sin2x+2,貝U ()A. f (x)的最小正周期為 陽最大值為3B. f (x)的最小正周期為陽最大值為4C. f (x)的最小正周期為2九，最大值為3D. f (x)的最小正周期為2砥最大值為49. (5分)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視

4、圖如圖.圓柱表面上的點 M在正視圖上的對應(yīng)點為 A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此 圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A. 2 1-B. 2. 1 C. 3 D. 210. (5分)在長方體 ABCD- A1B1GD1中，AB=BC=2 ACi與平面 BBiCiC所成的 角為30°,則該長方體的體積為()A. 8 B. 6 ： C, 8 ：' D. 8.；11. (5分)已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上 有兩點 A (1, a), B (2, b),且 cos2a上,則 |a一b|=()J12. (5分)設(shè)函數(shù)f (x

5、) = 2 '廣式” ,則滿足f (x+1) < f (2x)的x的取值1, x>0范圍是()A. ( - oo, 1B.(0,+OOC. (-1, 0)D. ( oo, 0)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. (5 分)已知函數(shù) f (x) =log2 (x2+a),若 f (3) =1,貝 a=.-2y-2< 014. (5分)若x, y滿足約束條件,則z=3x+2y的最大值為.15. (5 分)直線 y=x+1 與圓 x2+y2+2y- 3=0 交于 A, B兩點，貝U | AB| =.16. (5分)4人39勺內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

6、b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC b2+c2 - a2=8,則 ABC的面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求 作答。(一)必考題：共60分。17. (12分)已知數(shù)歹!J an滿足 a二1, nan+1=2 (n+1) an,設(shè) bn=. n(1)求 b1，b2, b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項公式.18. (12分)如圖，在平行四邊形 ABCM中，AB=AC=3 /ACM=90,以AC為折 痕將 ACM折起，

7、使點M到達點D的位置，且AB± DA.(1)證明：平面ACDXT面ABQ(2) Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=DA,求三棱錐Q -ABP的體積.Z>19. (12分)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭 50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水 。,),),),),),),)量頻數(shù) 13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0,),),),),),)頻數(shù) 151310165(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；頻率/組距t

8、0_21-J；-|:iII,00 1020.30.405 日用水量0白(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)20. (12分)設(shè)拋物線 C: y2=2x,點A (2, 0), B(-2, 0),過點A的直線l 與C交于M, N兩點.(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程;(2)證明：/ ABM=/ ABN.21. (12分)已知函數(shù) f (x) =aex-lnx-1.(1)設(shè)x=2是f (x)的極值點，求a,并求f (x)的單調(diào)區(qū)問；(2)證明：當(dāng)aL時，f

9、(x) >0.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)22. (10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點為 極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p2+2 p cos 6 3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求 C1的方程.選彳4-5:不等式選講(10分)23. 已知 f (x) =|x+1| - |ax- 1| .(1)當(dāng)a=1時，求不等式f (x) >1的解集；(2)若xC (0, 1)時不等式f

10、(x) >x成立，求a的取值范圍.2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的。1. （5 分）已知集合 A=0, 2 , B= -2, - 1, 0, 1, 2 , WJ AH B=（）A. 0, 2 B. 1, 2 C. 0 D. - 2, 1, 0, 1, 2【分析】直接利用集合的交集的運算法則求解即可.【解答】解：集合 A=0, 2, B= -2, - 1, 0, 1, 2,則 An B=0, 2.故選：A.【點評】本題考查集合的基本運算，交集的求法，是基

11、本知識的考查.2. （5 分）設(shè) z笄+2i,貝»z|=（）1+1A. 0 B. C. 1D.：【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算化簡后，然后求解復(fù)數(shù)的摸.【解答】 解：z=+2i=；1；j I；： +2i=- i+2i=i，則 | z| =1.故選：C.【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的摸的求法，考查計算能力.3. （5分）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是（）A.新

12、農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【分析】設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a,建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a.通過選項逐一分析新農(nóng) 村建設(shè)前后，經(jīng)濟收入情況，利用數(shù)據(jù)推出結(jié)果.【解答】解：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a,建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a.A項，種植收入 37X2a-60%a=14%a>0,故建設(shè)后，種植收入增加，故 A項錯誤.B項，建設(shè)后，其他收入為 5%x2a=10%a,建設(shè)前，其他收入為4%a,故 10%a+ 4%a=> 2,故B項正確.C項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為 30%x 2a

13、=60%q建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%a,故 60%a+ 30%a=2,故C項正確.D項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為（30%+28%） X2a=58%x 2a,經(jīng)濟收入為2a,故（58%x 2a） +2a=58%> 50%,故D項正確.因為是選擇不正確的一項，故選：A.【點評】本題主要考查事件與概率，概率的應(yīng)用，命題的真假的判斷，考查發(fā)現(xiàn) 問題解決問題的能力.4. （5分）已知橢圓C:多片=1的一個焦點為（2, 0）,則C的離心率為（解：橢圓C:=1的一個焦點為（2,0）【分析】利用橢圓的焦點坐標(biāo)，求出a,然后求解橢圓的離心率即可.【解答】 可得 a2 - 4=4,解得 a=2/2

14、,. c=2,e=:=e a 2V2 2 -故選：C.【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.5. （5分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為 Oi, O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A. 1272冗 B. 12ttC. 8共兀 D. 10 九【分析】利用圓柱的截面是面積為8的正方形，求出圓柱的底面直徑與高，然后 求解圓柱的表面積.【解答】解：設(shè)圓柱的底面直徑為2R,則高為2R,圓柱的上、下底面的中心分別為 。1, O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為 8的正方形,可得：4R2=8,解得R=/2,二10兀.則該圓柱

15、的表面積為: 故選：D.【點評】本題考查圓柱的表面積的求法，考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，截面的性質(zhì)，是 基本知識的考查.6. (5分)設(shè)函數(shù)f (x) =X3+ (a-1) x2+ax.若f (x)為奇函數(shù),則曲線y=f (x) 在點(0, 0)處的切線方程為()A. y= -2x B. y=- x C. y=2xD. y=x【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出a,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的向量然后求解 切線方程.【解答】解：函數(shù)f (x) =x3+ (a-1) x2+ax,若f (x)為奇函數(shù)，可得 a=1,所以函數(shù) f (x) =x3+x,可得 f'(x) =3x2+1, 曲線y=f (x)在點(

16、0, 0)處的切線的斜率為：1, 則曲線y=f (x)在點(0,0)處的切線方程為：y=x.故選：D.【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的切線方程的求法，考查計算能力.7. (5分)在4ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則U=()A.>M B.c. I標(biāo)號菽 D. 1ab+|ac【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量.【解答】解：在 ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，近二正-亞石-資=處 ；zj-X ( AB+AC)i：T，故選：A.【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示， 考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8. (5 分)已知函數(shù) f

17、(x) =2cos2x- sin2x+2,貝U ()A. f (x)的最小正周期為 陽最大值為3B. f (x)的最小正周期為陽最大值為4C. f (x)的最小正周期為2九，最大值為3D. f (x)的最小正周期為2砥最大值為4【分析】首先通過三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函 數(shù)，進一步利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【解答】解：函數(shù)f (x) =2coSx sin2x+2,=2co$x- sin2x+2sin2x+2coS2x,=4co$x+sin2x,=3co/x+1,= 3-j,r.2份故函數(shù)的最小正周期為冗，函數(shù)的最大值為二+二4,故選：B.【點評】本題考查的知識要點

18、：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，余弦型函數(shù)的性質(zhì) 的應(yīng)用.9. (5分)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點 M 在正視圖上的對應(yīng)點為 A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此 圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A. 2 I" B. 2. C, 3 D. 2【分析】判斷三視圖對應(yīng)的幾何體的形狀，利用側(cè)面展開圖，轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長 16,高為：2, 直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖：B圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長度： 匯1=2后 故選：B.【點評】

19、本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關(guān)系， 側(cè)面展開圖的應(yīng)用，考查計 算能力.10. （5分）在長方體 ABCD- AiBGDi中，AB=BC=2 ACi與平面 BBiCiC所成的角為30°,則該長方體的體積為（）A. 8 B. 6 二 C. 8 ： D. 8. 一；【分析】畫出圖形，利用已知條件求出長方體的高，然后求解長方體的體積即可.【解答】解：長方體ABCD- AiBiCiDi中，AB=BC=2AG與平面BBGC所成的角為30°,即/ACB=30°,可得 BG=-氈k=2/5.tanSO可得BBi=/（2a2-12所以該長方體的體積為：2X 2X2=8/1【點評

20、】本題考查長方體的體積的求法， 直線與平面所成角的求法，考查計算能 力.11. (5分)已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊上 有兩點 A (1, a), B (2, b),且 cos2 a2,則 | a b| =()A 1 b 苧 cD. 1【分析】推導(dǎo)出 cos2 a =2c(2s%- 1 ,從而 | cos4=,進而 | tan 4 =11 =1 a-b|= .由此能求出結(jié)果.【解答】解：二角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與X軸的非負半軸重合， 終邊上有兩點A (1, a), B (2, b),且cos2a2,3. cos2 a =2c6sc- 1=-,解得cos2|cos

21、o|=2l|P_,| sin 臼等嚕,I VsI tan 4 =| 頭| =| a - b| = 5in =7T=2-1ccs 口 H305故選：B.【點評】本題考查兩數(shù)差的絕對值的求法，考查二倍角公式、直線的斜率等基礎(chǔ) 知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.12. (5分)設(shè)函數(shù)f (x) = 2 K，富之。，則滿足f (x+1) <f (2x)的x的取值 ' K>0范圍是()A. (-8, 1 B. (0, +oo)C. (T, 0)D. (-8, 0)【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：函數(shù)f (x) =2 &#

22、39; "'I的圖象如圖：1,工 0滿足 f (x+1) <f (2x),可得：2x< 0<x+1 或 2x<x+1 < 0,解得 xC (-8, 0).故選：D.【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計算 能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. (5 分)已知函數(shù) f (x) =log2 (x2+a),若 f (3) =1,貝 a= - 7 .【分析】直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可.【解答】解：函數(shù)f (x) =log2 (x2+a),若f (3) =1,可得：log2 (9+a) =1,

23、可得 a= - 7.故答案為：-7.【點評】本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)的領(lǐng)導(dǎo)與方程根的關(guān)系，是基本知 識的考查.14. (5分)若x, y滿足約束條件r-y+L)。,則z=3x+2y的最大值為 6 .【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進行求解即可.【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由 z=3x+2y 得 y= 1x+1-z,平移直線y= - -x+z,由圖象知當(dāng)直線y=- Jx4z經(jīng)過點A (2, 0)時，直線的截距最大，止匕時 z最 £- 1大，最大值為z=3X 2=6,故答案為：6【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義以

24、及數(shù)形結(jié)合 是解決本題的關(guān)鍵.15. （5 分）直線 y=x+1 與圓 x2+y2+2y 3=0交于 A, B兩點，貝U | AB| = 2匹 .【分析】求出圓的圓心與半徑，通過點到直線的距離以及半徑、半弦長的關(guān)系，求解即可.【解答】解：圓x2+y2+2y 3=0的圓心（0, 1）,半徑為：2,圓心到直線的距離為： 嶺n=&,所以 | ABI =2亞2-（訴）2=2 -故答案為：2/2.【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長的求法，考查計算能力.16. （5分）4人39勺內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC b2+c2-a2=8

25、,則4ABC的面積為亙_.3【分析】直接利用正弦定理求出A的值，進一步利用余弦定理求出 bc的值，最 后求出三角形的面積.【解答】解：4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.bsinC+csinB=4asinBsinC利用正弦定理可得 sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC由于 sinBsinO 0,所以sinA=, 2則 AJF一&6由于 b2+c2- a2=8,.2, 22則:cosA-b +< -a2bc當(dāng)A=_時，一62 2bc解得：bc= 3所以:當(dāng)A 6時時,解得：bc=-(不合題意)，舍去.故:故答案為:*正弦定理和余弦定【點

26、評】本體考察的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換, 理的應(yīng)用及三角形面積公式的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17. (12分)已知數(shù)歹!J an滿足 ai=1, nan+i=2 (n+1) an,設(shè) bn=. n(1)求 b1，b2, b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求4的通項公式.【分析】(1)直接利用已知條件求出數(shù)列的各項.(2)利用定義說明數(shù)列為等比數(shù)列.(3)利用(1) (2)的結(jié)論，直接求出數(shù)列的通項公式.【解

27、答】解：(1)數(shù)列an滿足 ai=1, nan+i=2 (n+1) an,(常數(shù))數(shù)列bn是以bi為首項，2為公比的等比數(shù)歹I. 整理得：二匕，211二2聯(lián)1,所以：bi=1, b2=2, b3=4.(2)數(shù)列bn是為等比數(shù)列，由于殳吐=2 (常數(shù))；(3)由(1)得:所以:【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用.18. (12分)如圖，在平行四邊形 ABCM中，AB=AC=3 /ACM=90,以AC為折 痕將 ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB± DA.(1)證明：平面ACDXT面ABQ(2) Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=DA,求三棱

28、錐Q -ABP的體積.【分析】(1)可得AB，AC, AB± DA.且ADA AB=A,即可得AB，面ADC,平面 ACD，平面 ABC;(2)首先證明DC，面ABC,再卞g據(jù)BP=DQ=DA,可得三棱錐 Q-ABP的高，求出三角形ABP的面積即可求得三棱錐 Q-ABP的體積.【解答】解：(1)證明：二.在平行四邊形 ABCM中，/ACM=9 0, /.ABI AC,又 AB, DA.且 ADAAB=A, AB,面 ADC,AB?面 ABG平面ACD1平面ABC;(2) v AB=AC=3 /ACM=90, . . AD=AM=3/2,BP=DQ=-DA=2/2,由(1)得 DC A

29、B,又 DC CA,. DC面 ABG一三棱錐Q-ABP的體積VS把p XDC l J1J1 21 L 2 11將X告解X之丁二 X告3XX3=1.3 3 研C 33323【點評】本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的 能力，屬于中檔題.19. (12分)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭 50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3) 和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水 0,),),),),),),)量265頻數(shù) 1324使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0,),),),),),)頻數(shù) 151310165

30、(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;頻率/組距t00 1020.30.4 O S 0 6 日用水量 m，(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)【分析】(1)根據(jù)使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表能作出使用了節(jié) 水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(2)根據(jù)頻率分布直方圖能求出該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率.(3)由題意得未使用水龍頭50天的日均水量為，使用節(jié)水龍頭 50天的日均用 水量為，能此能估計該家庭使用節(jié)水

31、龍頭后，一年能節(jié)省多少水.【解答】解：(1)根據(jù)使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表，作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，如下圖：頻率/組距“00 10.20.30.4 O S 0 6日用水量仙馬(2)根據(jù)頻率分布直方圖得：該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率為：p= (+1) X =.(3)由題意得未使用水龍頭50天的日均水量為：吉(1 X+3X+2X+4X+9X+26X+5X )=,使用節(jié)水龍頭50天的日均用水量為：(1 X+5X+13X+10X+16X+5X)=, 50."古計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)?。?65X (-)=.【點評】本題考查頻率

32、分由直方圖的作法， 考查概率的求法，考查平均數(shù)的求法及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.20. (12分)設(shè)拋物線 C: y2=2x,點A (2, 0), B(-2, 0),過點A的直線l與C交于M, N兩點.(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：/ ABM=/ ABN.【分析】(1)當(dāng)x=2時，代入求得M點坐標(biāo)，即可求得直線BM的方程；(2)設(shè)直線l的方程，聯(lián)立，利用韋達定理及直線的斜率公式即可求得 kBN+kBM=0, 即可證明/ ABM=/ ABN.【解答】解：(1)當(dāng)l與x軸垂直時，x=2,代入拋物線解得y=± 2,所以 M (2

33、, 2)或 M (2, - 2),直線BM的方程：y=Lx+1 或：y=-1x-1. 22(2)證明：設(shè)直線 l 的方程為 l: x=ty+2, M (xi, yi) , N (x2, y2),聯(lián)立直線l與拋物線方程得 V=2K ,消x得y2-2ty-4=0, jc=ty+2即 yi+y2=2t, yiy2=- 4,22第1肛y十yQ(一廠十2)=0(x 1+2)(盯+2)y2Xi02) (x2+2)所以直線BN與BM的傾斜角互補,./ABM=/ ABN.【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理，直 線的斜率公式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.21. (12 分)已知函數(shù)

34、 f (x) =aex- lnx - 1.(1)設(shè)x=2是f (x)的極值點，求a,并求f (x)的單調(diào)區(qū)問；(2)證明：當(dāng) a>：時，f (x) >0.【分析】(1)推導(dǎo)出x>0, f'(x) =ae<-Y，由x=2是f (x)的極值點，解得a=亍，從而f (x) Jex-lnx-1,進而f'(x) =邑£氏,，由此能求出f (x) 2e22e2| s的單調(diào)區(qū)間.II*瞿量(2)當(dāng) a上時，f (x)lnx 1,設(shè) g (x) = lnx 1,則 g 乂二里 eeeep由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)a>/時，f (x) >0.【解答】解

35、：(1)二,函數(shù)f (x) =aex- lnx - 1.x>0, f' (x) =aex .x=2是f (x)的極值點, f'(2) =ae2- =0,解得 a=_f (x) =exlnx 1,.1(x) 2e£當(dāng) 0<x<2 時，f'(x) <0,當(dāng) x>2 時，f'(x) >0, .f (x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2, +oo)單調(diào)遞增.證明：(2)當(dāng) aL時，f (x) > - lnx - 1, ee設(shè) g (x) = - lnx- 1,貝= J-g當(dāng) 0<x< 1 時，g' (x) <0,當(dāng) x>1 時，g' (x) >0,；x=1是g (x)的最小值點，故當(dāng) x>0 時，g (x) > g (1) =0,.當(dāng) a>工時,f (x) >0. e【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運算及其應(yīng)用，同時考