初二代數(shù)方程拓展(難)

1、代數(shù)方程拓展題型換元法、因式分解法、公式法、配方法、配項(xiàng)法、有理化法、變更主元法等題型一、二次三項(xiàng)式的因式分解22.若方程axbx c 0的兩根為Xi,X2,則二次三項(xiàng)式ax bx c可分解為:ax2 bx c= a(x x1)(x x2)(2)推導(dǎo)出公式設(shè)方程ai?+ o = 0 (拿彳0)的兩個(gè)根為蹙r1那么的 +n2 ='a，二 招，+bx+c = a (鏟+3兄+工)=au2 -(向+叼)x-i町天口 a &=a (x-xi) (x-x2)步驟：1 .形如，可令若，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解 xi和x2 ,則 若，則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法再分解因式。2 .形如，可令(此處將看成未知數(shù)

2、，而作為一個(gè)參數(shù))2、是x與兩根之差的積，不是和。注意：1、分解因式時(shí)a不能去掉，這和解方程不是一回事;例1把分解因式。解：丁方程的根是8土正 7乂4"7） -2±75a= -2-'-2+邪 -2-V5畫(huà)二二，叼=，. j 1. < - 2 + 忑 、 / - 2 - -Vs、 di? +*江-1=4 （K-） （X*-）Lu（PS:寫(xiě)成如上形式即可）例2把分解因式。解：關(guān)于x的方程2x2 8xy 5y20的根是8y( 8y)2 4 2 (5y2)x2 28y2 6y44,62224.64. 62x28xy5y22(x一廠 y)( xy)分析：將y看作常數(shù)，將

3、原式看成是關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式。鞏固練習(xí)221、把9a 13b6a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，正確的是（）(A) (3a 1、3b)(3a 1.3b)(B)(3a 1, 3b)(3a 1.3b)(C ) (3a 1,3b)(3a 13b)(D) (3a 1 . 3b)(3a 1、3b)2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3x2 xy 2y2 3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(x 1)(x 3)(x 2)(x 4) 3。題型二：高次方程(一)一元高次方程的特點(diǎn):(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2。般的，如果a0(xx1)(x x2)(x xn)=0,貝U： x x10或 x x2

4、0 或x xn 0n n 1a°xaxan1x an= aO(x x)(x x2)(x xn)貝Ux1,x2, xn是方程 a°xn axn1an 1x an =0 的 n 個(gè)根。解高次方程的基本思想:化高次為低次(二)常用方法：(1)因式分解法；x x10 或把高次方程化成 A=0的形式，再把 A分解因式，即a0(x x1)(x x2)(x xn) =0 ,所以:x x20或x xn 0例1解方程解：原方程可變形為所以.說(shuō)明：當(dāng)ad=bc W0時(shí)，形如的方程可這樣解決：令，則于是方程可化為：即.方程也可以用類似方法處理.針對(duì)練習(xí)：1、 xn 2 3xn 1 2xn 0 的

5、解是 322、萬(wàn)程x 2x 5x 10 0的解是5432.3、x x 2x 2x 2x 4 0 的解是-方法思路：按照從高到低降次排列，提公因式或者分組分解。(系數(shù)成一定的比例更方便提取公因數(shù))(2)換元法；通過(guò)換元把高次方程化為次數(shù)較低的方程，這種方法在高次方程、分式方程、無(wú)理方程、方程組中都很有用處，這種方法應(yīng)該掌握，根據(jù)題目的特點(diǎn)合理加以利用。例2解方程.分析：如果將式子展開(kāi)再用因式分解法，顯然計(jì)算量過(guò)大，不顯示，故而要尋求別的方法。觀察左邊4個(gè)因式，看如何兩兩組合相乘，能產(chǎn)生相同的項(xiàng)？解：把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式相乘，得:設(shè)，則即解得 y1 15,

6、y25將y1 15, y25分別代入中得，5 .52.5855 、. 855 ,5所以 Xi , X2 , X3 , X4222思考：對(duì)于這種形式的方程，你找到規(guī)律了嗎?針對(duì)練習(xí)：1、解方程 x4 X2 20 0。2222、萬(wàn)程(x 2x 3) 4x 8x 17的解是二3、方程(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)1 的解是題型三、分式方程拓展(一)分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。注意：分式的分母不能為 0。解分式方程的基本思想：的分式方程為整式方程(二)常用方法：(1)直接去分母法；步驟：1、分子分母能因式分解的先因式分解；2、找所有分式的最簡(jiǎn)公分母；3、方程兩邊都乘以

7、最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程;4、解整式方程；5、驗(yàn)根(將根代入到最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0);6、下結(jié)論。1 4x 2例 i 解方程-X 2- i.x 2 x2 4 x 2分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程.解：原方程可化為：14x21x 2 (x 2)(x 2) x 22萬(wàn)程兩邊各項(xiàng)都乘以 x 4 :(x 2) 4x 2(x 2) x2 4即 3x 6 x2 4,整理得：x2 3x 2 0解得：x 1或x 2.2檢驗(yàn)：把x 1代入x 4 ,不等于0,所以x 1是原方程的解;.一、2.一 .把x 2代入x 4 ,等于0 ,所以x 2是增根.所以，原方程的解是 x 1.(2)換元法;解題

8、思路：用換元法將原方程變形，然后去分母，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式子，再求根驗(yàn)根。一般應(yīng)用于較為復(fù)雜，直接去分母會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大的方程，以下舉例均為常見(jiàn)的題型。例2解方程8(x2 2x) 3(x2 1)22x 1 x 2x分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式x2 2xx2 1x2 2x與互為倒數(shù).因此，可以設(shè) y,即可x 1x 2xx 1將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方程.“ 5 x 2xx1解：設(shè)一2 y ,貝U力x2 1x2 2x32原方程可化為：8y 11 8y211y 3 0 yr, x 2x /2c 2/(1)當(dāng) y 1 時(shí)，一2 1 x 2x x 1 xx 1當(dāng)

9、y 3時(shí)，泊8_2_2_ 2_8x16x3x35x16x30x檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0.所以,11原方程的解是 xx 3, x -.25說(shuō)明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想.-22 一2x 10 x 11x 10 x 13x 10分析:觀察三個(gè)分式分母， 有2個(gè)不能分解因式，如果直接去分母，顯然不現(xiàn)實(shí)；觀察三個(gè)分母的特點(diǎn),2都含有x2 10,故而可以考慮換元。 注意體會(huì)本題中的解題思想。解：設(shè)方程轉(zhuǎn)化為解得y =(注意，既然換元了，就暫且將 y理解成未知數(shù)，x為參數(shù))=-7x解得 x1 2, x2 5,x32,x4

10、5經(jīng)檢驗(yàn)，x1 2,x2 5,x32, x45均為元方程的根215例4 斛方程時(shí)，設(shè)6( xw) 5x 38 0xx121分析：如果直接去分母，將變成高次方程。觀察題目特點(diǎn)，有 x , x ,可考慮配方，換元。x x解：原方程化為6(x2 2 -12) 5(x 1) 50 0xx人12令y x ,則原萬(wàn)程化為6y 5y 50 0 x510解倚：yi 2，y235 八、將yi 2代入y xA10、將y23代入y經(jīng)檢驗(yàn)，x1 2, x2一解得，xi 2, x2 一；x21icx 解得，x33,x4x1 c12 , x33,x43均為原方程的根23xx2 1 7(1)1(答案：Kx2 1 x 21,

11、x2 2,x3 1 衣,人 1 72)2(2)(3)2x2 -22 7x 7 2 0x x11x2 11x 8 x2 2x 8(答案：x11x2 13x 81,x2 2,x3 1 金,4 1 五) 20 (答案：X 1,x21,x3 8,x48)(3)倒數(shù)法解題思路：觀察方程，形如:11 ，、1x A 的形式，可直接得出 x A,或x 一。x AA111例5 已知：x -2 -，求x-7x2x2分析：已知條件中，x,工互為倒數(shù)21 x2解：x 1 2 工，x 22 1 ,其中2,21 i 、，一 一，一,1互為倒數(shù)關(guān)系，利用此關(guān)系，可有下面解法。2鞏固練習(xí)：解下列方程x 2,或x2111x2-

12、44 x 44例6解方程:2x 1 3x 2173x 2 2x 14分析：方程的左邊兩項(xiàng)為倒數(shù)之和，因此可用倒數(shù)法簡(jiǎn)化求解,2x3xy,則3x 22x 1解：原方程變形為 yy 4 或y - 42x 19當(dāng)y 4時(shí)，則4 ,解之得x13x 210當(dāng)y 1時(shí)，則2x,解之得x2 -4 3x 24596經(jīng)檢馴x1 , x2 是原方程的根。105拓展公式：1x - cx1x - cx2x - cx3x - cx?1 ,一一的解是x1c,x2c11一（即x ccx2 ,一一的解是x1c,x2c3 ,一一的解是x1c,x2c1-;c1 ”口）的解是x1c2-；c3-；cc,x2思考(1)請(qǐng)觀察上述方程的

13、特征,比較關(guān)于x的方程xc (m 0)與他們的關(guān)系，猜想它的解是什么, c22(2)請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于x的方程x a x 1 a 1（4）分組通分法;解題思路：當(dāng)分母相鄰兩個(gè)的差相等，且分子可化為相同時(shí)，先分組通分，會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便。一 “、1例7 解萬(wàn)程X解:x例8解方程一（檢驗(yàn)）x 1 x 2 x 5x 2 x 3 x 6解：（分離常數(shù)）（思考為何要移項(xiàng)相減？）步驟同上題（檢驗(yàn)）鞏固練習(xí)：解方程1111 x 9 x 4 x 5 x 8 x7x2x3x6x7x2x3x6（三）分式方程與增根相關(guān)的問(wèn)題1、分式方程的增根同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）是由分式方程化為整式方程的根。（2）使最簡(jiǎn)公分母為0

14、。2、增根與無(wú)解的區(qū)別聯(lián)系:分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過(guò)程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無(wú)解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根，從而原方程無(wú)解。例1若方程6- =1有增根，則它的增根是（）（x 1）（x 1） x 1A、0B、1C、-1 D、1 或-1分析：使方程的最簡(jiǎn)公分母，但不能忽略增根除滿足最簡(jiǎn)公分母為零，還必須是所化整式方

15、程的根。解：原方程易化成整式方程：整理得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)m無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得m=3 。由此可得答案為 Bo注意：-1雖然能使分母為零，但是它不是原方程的根。x + m = tn例2已知關(guān)于x的方程無(wú)解，求m的值。解：先把原方程化為=若方程（1）無(wú)解，則原方程也無(wú)解，方程（1）化為，當(dāng)口，而-4m型口時(shí)，方程（1）無(wú)解，此時(shí) m = 1。若方程（1）有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)原方程也無(wú)解， 所以，當(dāng)方程（1）的解為時(shí)原方程無(wú)解，代入方程（1）,得口，故。綜合以上，當(dāng)口1-1或皿=-3時(shí)，原方程無(wú)解。m=1原方程無(wú)解，m=3原方程產(chǎn)生增根。注意：原方程無(wú)解包括兩種情況：原方程本身就無(wú)意義，

16、原方程的解全部是增根。（1）由增根求參數(shù)的值這類題的解題思路為：1、將分式方程去化成整式方程（方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母）2、確定增根（題目已知或使分母為零的未知數(shù)的值）3、將可能的增根分別代入整式方程，求出參數(shù)的值（增根是由分式方程化成的整式方程的根）12 k- -i例3已知關(guān)于x的方程x-1區(qū)+2 k十翼-2有增根，求k的值。解：把原方程去分母，化為依+ W 2（：）=k。因?yàn)樵匠痰淖詈?jiǎn)公分母是（X- 1"十，所以方程的增根可能是1或Kn-2若增根為x = l,代入方程（1）,得3 +；若增根為區(qū)=-2|,代入方程（1）,得0，卜. Y。故當(dāng)k3段k 小時(shí)，原方程會(huì)有增根。（2

17、）由分式方程根的情況，求參數(shù)的取值范圍這類題的解題思路為：1、將原方程化為整式方程。2、把參數(shù)看成常數(shù)求解。3、根據(jù)根的情況，確定參數(shù)的取值范圍。（注意要排除增根時(shí)參數(shù)的值）例4 關(guān)于x的方程-2= 上一有一個(gè)正數(shù)解，求 m的取值范圍。x 3 x 3分析：把m看成常數(shù)求解，由方程的解是正數(shù)，確定 m的取值范圍，但不能忽略產(chǎn)生增根時(shí)m的值。原方程易化為整式方程:整理得：，.原方程有解，故不是增根。由此可得答案為m的取值范圍是綜上所述關(guān)于增根的問(wèn)題，一定要弄清楚增根的定義，及增根必須滿足的條件，和解這類題的思路。1、當(dāng) m=時(shí)，分式方程鞏固練習(xí)一會(huì)產(chǎn)生增根。6、- 2x2、方程x 1(1 )當(dāng)k為

18、何值，解這個(gè)方程時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根;(2) k為何值時(shí)，這個(gè)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。題型四：無(wú)理方程拓展(一)無(wú)理方程的概念：根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做無(wú)理方程。注意：被開(kāi)方數(shù)要為非負(fù)數(shù)。無(wú)理方程的解法思想:化無(wú)理方程為整式方程(二)理方程的常用方法:(1)直接平方法;步驟:1、將無(wú)理方程整理成bjac （a 0, b, c 同號(hào)）；cc由此，可判斷方程是否有根。當(dāng)0 ,方程有實(shí)根；當(dāng) 一 0,方程無(wú)實(shí)根。bb2、將等式兩邊平方，將無(wú)理方程變?yōu)檎椒匠?3、解整式方程;4、驗(yàn)根(和分式方程一樣，無(wú)理方程必須要驗(yàn)根)。驗(yàn)根是將根代入原方程，看方程兩邊是否相等；5、下結(jié)論。例1 解方程J3x 2 1x 3

19、3分析：直接平方將很困難.可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣左右兩邊平方，整理后就可以轉(zhuǎn)化 bja c的模式，再將等式 兩邊平方，將無(wú)理方程變?yōu)檎椒匠探夥匠?解：原方程可化為：，3x 2 3 , x 3兩邊平方得：3x 2 9 6 . x- x 3整理得：6 x 3 14 2x 3 一反"7 x ,“ .、一一 一一2兩邊平方得：9(x 3) 49 14x x2 一 2整理得：x 23x 22 0 ,解得：x 1或x 22 .檢驗(yàn)：把x 1代入原方程，左邊=右邊，所以x 1是原方程的根.把x 22代入原方程，左邊 右邊，所以x 22是增根，舍去。所以原方程的解是x 1 .例2解方程

20、反刁十瘍二歷一后后=0解移項(xiàng)得的芯7-扃+8 = 一瓜、二擊l- 3(2 + 8) = 12a兩邊平萬(wàn)后整理得 ,再兩邊平方后整理得 x2+ 3x-28 = 0,所以 x=4 , x2=-7 .經(jīng)檢驗(yàn)知，3-7為增根，所以原方程的根為 x=4 .說(shuō)明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)或三個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟:移項(xiàng)，使方程的一邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式；兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程；兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程并驗(yàn)根.練習(xí)題1、解方程 4Xx 3 J3x 1 32、解方程 Jx 6 J3x 5 3Vx 10(2)換元法；解題思路：用換元法將原方程變形，然后去根

21、號(hào)，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式子，再求根驗(yàn)根。例 3 解方程 3x2 15x 2&_5x 1 2分析：本題若直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大.注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余 有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：3x2 15x33(x25x 1).因此，可以設(shè)xx5x1 y ,這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y的一元二次方程處理.解：設(shè) 7x5x 1y,貝 ux25x1 y2 3x215x 3(y21)2原萬(wàn)程可化為：3(y1) 2y 2 ,25即 3y2 2y 5 0,解得：y 1或 y -.3(1)當(dāng) y 1 時(shí)，/X5x_1 1x2 5x 0 x1或x 0;

22、(2)當(dāng)y 5時(shí)，因?yàn)?病5x 1 y 0,所以方程無(wú)解.3檢驗(yàn)：把x1,x 0分別代入原方程，都適合.所以，原方程的解是 x 1,x 0.說(shuō)明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想.練習(xí)題：解方程(1)91 24x ,4x 92 ;(2) 2x2 5收 3x 1 5 6x(3)有理化因式法；解題思路：原方程兩個(gè)根式的平方差是一個(gè)實(shí)數(shù)，用平方差方程除以原方程， 得到原方程的有理化方程，再把原方程與有理化方程結(jié)合，加減消元法，求出式子的值，再求根驗(yàn)根。例4解方程.后+43- - 2月-4 =13解觀察到題中兩個(gè)根號(hào)的平方差是 13,即(忘亡7777了

23、- &寸-二 I'.便得后F贏-瘍，工=i，由+得： 怎匚彳"西=7. 3/-2芯-40=0，所以式二號(hào)一，笈=4.經(jīng)檢驗(yàn)，=-二 對(duì) = 4都是原方程的根. J鞏固練習(xí)1、解方程 vxi x>n 1,因?yàn)?jx1,則 jx x)n,所以41,由此解得x 。2、若方程 x2x2 5x 4 Vx2 5x 5 x 1 ,那么，42x2 5x 4 Jx2 5x 5 ,方 程2x2 5x 4 Vx2 5x 5 x 1 的解是(4)配項(xiàng)法解法思路：觀察原方程中有可以配成兩項(xiàng)和的一半的項(xiàng), 完全平方的形式。例5解方程41 + 2X缶+L即用完全平方將方程配方。從而將原方程轉(zhuǎn)

24、化為解析：需要注意的是： 可看成是2 x ，且，巧好等于原方程中的二次項(xiàng)一次項(xiàng)，這就啟發(fā)我們是否可用 “兩項(xiàng)和的平方”，即完全平方公式將方程的左端配方.將原方程變形為(3x2 x) 2x 3x2 x x2 9即(由xx 4 9,所以 V3xx x 3或 V3xx x由 J3xx x 3 解得：x, 1,x2由 3x2 x x5 973 解得：x3 , x449 經(jīng)檢驗(yàn)，xi 1,x22為原方程的根2t 5 、, 97當(dāng) x3-，x45 . 97丁氏(x 3) 0 ,所以 x35 J97一 p44597為增根4所以原方程的根為xi1,x292例6 解方程解：考慮到，且=2x+2 ,于是將方程化為

25、:(x + 2+ 21+ x + 2) + (G + J十 2) -6=0-+ .x + 2)' +(返 +4 2) -6 = 0,所以直 + Je + + - 2)(百 + Je + 2 + 3) = 0.因?yàn)?耳+ + Jh+2所以， 石Jx+ 2- 2 = 0.r_?= -777?平方后解得京=一移項(xiàng)得一，',-經(jīng)檢臉，翼=；是原方程的根.題型五：二元二次方程組拓展1、概念：二元二次方程：方程中含有 2個(gè)未知數(shù)，方程的最高次數(shù)為 2。二元二次方程組：含有 2個(gè)未知數(shù)，各方程都是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2次的方程組。方程組的解：同時(shí)滿足方程組中兩個(gè)二元方程的的解。2、二元一次十二元二次；解題思路：當(dāng)方程組是一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成時(shí)，將二元一次方程變形后代入二元二次方程，使二元二次方程變?yōu)橐辉畏匠?，求其解，代入原方程組，求出原方程組的解；練習(xí)題1、已知 x2 y2 13, x y 5,那么 2