七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)(含解析)專題27以形借數(shù)

1、27 以形借數(shù)借助圖形思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常常有助于問題的解決，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說： “如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的 解法” 將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，把問題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來，是一個(gè)十分重要 的解題方法，現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個(gè)方面：1 從給定的圖形獲取解題信息 數(shù)學(xué)問題的表述方法很多，既有用文字?jǐn)⑹龅模灿型ㄟ^圖形（如數(shù)軸、圖表、平面圖形等）來呈現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個(gè)重要技能2有意地畫圖

2、輔助解題形等）能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，使問題獲得簡(jiǎn)解【例 1】如圖，圓周上均勻地釘了9 枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住其中的 3 枚，可套得一個(gè)三角形，所有可以套出來的三角形中，不同形狀的 共有 種?！拔逖虮备?jìng)賽試題）解題思路：圓周長(zhǎng)保持不變，設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為x, y, z, 則x y z 9 。不妨設(shè)x yz，借助圖形分析，找出滿足條件的整數(shù)解即可。14【例 2】一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為 x（ h） ，兩車之間的距離為 y（ km） ，圖中的折線表示y與 x之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進(jìn)行一下探究：信息

3、讀?。?1）甲、乙兩地之間的距離為km。（ 2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn) B 的實(shí)際意義。圖像理解（ 3）求慢車和快車的速度。（ 4）求線段BC所表示的y 與 x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。問題解決（ 5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發(fā)多少小時(shí)？（江蘇省南京市中考試題）解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車行駛900km 用了 12h 等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)信息，也有在0 4 小時(shí)之間以及稍后的一段時(shí)間內(nèi)，快 車和慢車的速度之和為定值和C點(diǎn)表示快車在某一時(shí)刻已到達(dá)終點(diǎn)

4、等需要經(jīng)過分析或運(yùn)算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息?！纠?】某電視臺(tái)為了解A, B,C 三個(gè)特色欄目的收視情況，向28 位觀眾 進(jìn)行 調(diào)查，調(diào)查后得知：每位觀眾至少收看了其中的一個(gè)欄目；沒有收看欄目A的觀眾中，收看欄目B 人數(shù)為收看欄目C 的兩倍；在收看欄目A的 觀眾中，只收看欄目A的觀眾人數(shù)比除了收看欄目A之外同時(shí)還收看其他欄目的人數(shù)多1； 只收看一個(gè)欄目的觀眾中，有一半沒有收看B 或欄目 C ， 求欄目 A的收視率。（ “ 數(shù)學(xué)周報(bào) ”杯全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系?！纠?】甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前

5、每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè)。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問：出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學(xué)？（ “希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：文字羅列出來的條件，其相互關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀地表示研究對(duì)象及其關(guān)系。5】某班有50 名同學(xué)，期末考試優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)及科目如表：一科二科三科科目數(shù)外語數(shù)、語數(shù)、外語外數(shù)、語、外人數(shù)32312916171810這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說明上述統(tǒng)計(jì)表有錯(cuò)誤。（ “創(chuàng)新杯”競(jìng)

6、賽試題）解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學(xué)、外語、語文優(yōu)秀學(xué)生的集合，有利于分析與推斷。能力訓(xùn)練1 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了 4 盤，乙賽了3 盤，丙賽了2 盤，丁賽了1 盤。則小強(qiáng)已經(jīng)賽了盤。（ “華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）2某市儲(chǔ)運(yùn)部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進(jìn)物資共用4 小時(shí)，調(diào)進(jìn)物資2 小時(shí)后開始調(diào)出物資（調(diào)進(jìn)物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲(chǔ)運(yùn)部庫存物資s（噸 ） 與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這批物資從開始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出所需要的時(shí)間是3甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車到 B 地后原地休息，甲、乙兩人的距離y（千

7、米） 與乙騎車的時(shí)間x（時(shí) ）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則A, B 兩地的距離為千米。4一臺(tái)計(jì)算機(jī)的硬盤分為3 個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)的使用情況如圖所示，則這個(gè)硬盤的使用率為是比賽的部分結(jié)果：“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）5 A, B,C 三支足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽（每支隊(duì)與另一支隊(duì)只比賽一場(chǎng)，共三場(chǎng)），下表給出的球隊(duì)比賽場(chǎng)數(shù)勝負(fù)平總進(jìn)球數(shù)總失球數(shù)A221B2124C237請(qǐng)根據(jù)上表，填上A隊(duì)與C 隊(duì)比賽時(shí)的比分為。6如圖是某班全體學(xué)生外出時(shí)乘車、步行、 騎車的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（兩圖都不完整） ，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A該班總?cè)藬?shù)為50 人20C步行人數(shù)30 人2.5 倍b 千米（ b a ） ，7某

8、人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了a 千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回8一圓形地塊，打算分A、 B、 C、 D 四個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰（有公共邊）的兩塊里中不同的植物。現(xiàn)有4 種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個(gè)數(shù)為 （）A 66C 60D 849某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120 名男生，80 名女生；參加英語競(jìng)賽有120 名女生，80 名男生。已知該?？偣灿?60 名學(xué)生參加了競(jìng)賽，其中有 75 名男生兩科競(jìng)賽都參加了，問參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加英語競(jìng)賽的女生人數(shù)有多少人？（ “祖沖之杯”邀賽試題）10 某人租用一輛汽車由A 城前往 B 城， 沿 途可能經(jīng)過的城市以及通過

9、兩城市之間所需的時(shí)間h） 如圖所示。若汽車行駛的平均速度為80km/h。 而汽車每行駛1 km 需要的平均費(fèi)用為1.2元。試指出此人從A城出發(fā)到B 城的最短線路，并求出所需費(fèi)用最少多少元？11. 剛回到營(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)隊(duì)又接到救災(zāi)命令：30 千米外的A鎮(zhèn) ; 二分隊(duì)因疲勞可在營(yíng)地休息a（ 0 a 3） 小時(shí)再趕往A 鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A 鎮(zhèn)的道路在里營(yíng)地 10 千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須有一分隊(duì)用1 小時(shí)打通已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為 5 千米 / 時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度是（ 4 a） 千米 / 時(shí)（ 1）若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問二分隊(duì)幾個(gè)小時(shí)能趕到 A 鎮(zhèn)？2）若需要二

10、分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾個(gè)小時(shí)？系，請(qǐng)寫出你認(rèn)為所有可能合理圖像3）下列圖中，分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A 鎮(zhèn)的距離y （千米）和時(shí)間x （小時(shí)）的函數(shù)關(guān)ABCD（ 安徽省中考題）12. 已知函數(shù)y | x 1| 2 | x 1| | x 2 | 錯(cuò)誤！未找到引用源。1 ）在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象（ 2） 已知關(guān)于x的方程 kx 3 | x 1| 2 | x 1| | x 2（| k0） 錯(cuò)誤！ 未找到引用源。有三解 .求 k 的取值范圍“創(chuàng)新杯”競(jìng)賽試題）27 以形助數(shù)借助圖形思考例 1 7 提示：設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)的弧長(zhǎng)分別為x， y， z，則x+y+

11、z=9，不妨設(shè) x yz，則（x，y，z）只有（1， 1，7）， （ 1，2，6）， （1，3， 5） ， （ 1，4，4）， （2，2，5） ，（ 2， 3， 4）和（3， 3， 3）這7 種情形 .例 2（ 1） 900 （ 2）圖中點(diǎn)B 的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車行駛4h 時(shí)，慢車和快車相遇. （ 3）由圖像可知，慢車12h 行駛的路程為900km，所以慢車的速度為900 =75km/h；當(dāng)慢車行駛4h 時(shí)，慢車和快12車相遇，兩車行駛的路程之和為900km， 所以慢車和快車行駛的速度之和為900 =225km/h, 所以快車4的速度為150km/h. （ 4） 根據(jù)題意快車行駛900km到達(dá)

12、乙地，所以快車行駛900 =6h 到達(dá)乙地，此時(shí)150兩車之間的距離為6× 75=450km，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6， 450） . 設(shè)線段BC所表示的y 與 x 之間的0 4k bk 225函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b ，把（4， 0） ， （ 6， 450）帶入得，解得450 6k bb 900所以，線段BC所標(biāo)示的y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y=225x-900. 自變量 x 的取值范圍是4 x 6 .（ 5） 慢車與第一列快車相遇30 分鐘后與第二列快車相遇，此時(shí)， 慢車的行駛時(shí)間是4.5 h， 把 x=4.5代入 y =225x-90 0，得 y=112.5 ，此時(shí)，慢車與第一

13、列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離112.5km，所以兩列快車出發(fā)間隔的時(shí)間是112.5 ÷ 150=0.75h ，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h.例 3 設(shè)只收看A,B,C 三個(gè)欄目的觀眾人數(shù)分別為x， y， z，沒有收看欄目A而收看欄目B和欄目C的人數(shù)為m.不只收看欄目A的人數(shù)為n，如圖所示.y m 2z m,n x 1,得 z=29-4y.x y z,x n y m z 28,58y-2z=m 0 得 9y-58 0， y9由 29-4y=z 0 得 y 29 ， y 為整數(shù)，y=74x n25故欄目A的收視率為x n × 100 =× 100

14、53.6 例 4 第一個(gè)是丙，第三個(gè)是甲，第五個(gè)是丁.例 5 如圖， A,B,C 三個(gè)圓分別表示數(shù)學(xué)、外語、語文優(yōu)秀學(xué)生而a， b， c，f， g 則分別表示各類優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)，如外、語三科均優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)f 表示語、外兩科優(yōu)秀而數(shù)學(xué)不g表示數(shù)、優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù) .adeg32,bdfg31,cefg29,則 e g 16, 解得： d g 17f g 18,g 10a=9， b=6， c=5， d=7， e=6，f=8 ，g=10.故 a+b+c+d+e+f+g=51. 說明數(shù)、外、語三科中至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生共有51 人，而全班僅有 50 人，故統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤.1.2 提示：如圖，用5 個(gè)點(diǎn)表示甲

15、、乙、丙、丁及小強(qiáng)這5 個(gè)人，如果兩個(gè)人已經(jīng)賽過一盤，就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線段4.32 提示：依照?qǐng)D中數(shù)據(jù)計(jì)算：12.5 2600 15.8 2900 10.2 440012.5 15.8 10.210000=32從而 z=1 ， x=8， n=7， m=5.5.5 ： 16 .C 提示：由直方圖可知，乘車人數(shù)為25人，由扇形圖可知，乘車人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的50 . 故全班總?cè)藬?shù)為25÷ 50 =50 人 . 步行人數(shù)為50× 30 =15（人）. 騎車人數(shù)為50-25-15=10 （人）.7 .C8 .D 提示：若A,C 種同一種植物，則A,C 有 4× 1

16、 種栽種法，B,D 都有 3 種栽種法，共有4× 3× 3=36種栽種方案；若A,C種不同的植物，則有4× 3 種載法，B,D 都有 2 種，共有4× 3× 2× 2=48種栽種方案 . 故共有 36+48=84 種栽種方案.9 .15 人 提示：如圖，用A,B 兩個(gè)圓分別表示參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的男、女生人數(shù)，用 C,D兩個(gè)圓分別表示參加英語競(jìng)賽的男、女生人數(shù)，只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的男生人數(shù)是 120-75=45 人， 只參加英語競(jìng)賽的男生人數(shù)是80-75=5 人，設(shè)兩科都參加的女生人數(shù)為x 人，則只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生數(shù)為（ 80-x ） 人， 只參加英語競(jìng)賽