八年級數(shù)學(xué)上冊 15.4因式分解（第2課時）教案 人教新課標(biāo)版

1、15.4因式分解（2）完全平方公式 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用 2完全平方公式的幾何解釋 （二）能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力 2重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力 （三）情感與價值觀要求 在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學(xué)重點 完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋，靈活應(yīng)用 教學(xué)難點 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進行計算 教學(xué)方法 自主探索法 有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式，最后達(dá)到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的

2、目的 教具準(zhǔn)備 投影片 教學(xué)過程提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師請同學(xué)們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子每當(dāng)有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊塘， （1）第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？ 生（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖 （2）第二天老人一共給了這些孩

3、子b2糖 （3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖 （4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應(yīng)用減法即： （a+b）2（a2+b2） 我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方，這倒是個新問題 師老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題導(dǎo)入新課 師能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的知識去解決呢？ 生可以我們知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項式與多項式的乘積了 師像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運算結(jié)果有什么規(guī)律 （出示投影片） 計算下列各式，你

4、能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ 生甲（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m

5、83;（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 生乙我還發(fā)現(xiàn)（1）結(jié)果中的2p=2·p·1，（2）結(jié)果中4m=2·m·2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用 師大家分析得很好可以用語言敘述嗎？ 生兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍 生它是一個完全平方

6、的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 師很有道理它和平方差公式一樣，使整式運算簡便易行于是我們得到完全平方公式： 文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍 符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 其實我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 （出示投影片）你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？ 生甲先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b 生乙還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和 生丙陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是

7、b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式 生丁那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（2）的幾何意義了 如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是a·b；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面

8、積再加上正方形HCGM的面積也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 師數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，于是我們可以進一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子的問題了 （a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊 應(yīng)用舉例： 出示投影片： 例1應(yīng)用完全平方公式計算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 例2運用完全平方公式計算： （1）1022 （2）992 分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇

9、公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡 例1解： （1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法一： （y-）2=y2-2·y·+（）2 （a-b）2=a2-2·a·b+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =y+（-）2=y2+2·y·（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab

10、+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從（3）、（4）的計算可以發(fā)現(xiàn)： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 例2解：（1）1022=（100+2）2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 （2）992=（100-1）2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801 師請同學(xué)們總結(jié)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 生公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍 師說得很好，我們還要

11、正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運用這一公式隨堂練習(xí) 課本練習(xí)1、2課堂小結(jié)（略）課后作業(yè) 課本習(xí)題1542、4、7題三級訓(xùn)練 板書設(shè)計 §15421 完全平方公式（一） 一、1提出問題：（a+b）2-a2+b2=？ 2探究公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 3完全平方公式的幾何意義： 二、應(yīng)用舉例：利用完全平方公式計算： 例1（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 例2（1）1022 （2）992 三、鞏固練習(xí) 四、小結(jié) 完全平方公式（二） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1添括號法則 2利用添括號法則

12、靈活應(yīng)用完全平方公式 （二）能力訓(xùn)練目標(biāo) 1利用去括號法則得到添括號法則，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力 2進一步熟悉乘法公式，體會公式中字母的含義 （三）情感與價值觀要求 鼓勵學(xué)生算法多樣化，培養(yǎng)學(xué)生多方位思考問題的習(xí)慣，提高學(xué)生的合作交流意識和創(chuàng)新精神 教學(xué)重點 理解添括號法則，進一步熟悉乘法公式的合理利用 教學(xué)難點 在多項式與多項式的乘法中適當(dāng)添括號達(dá)到應(yīng)用公式的目的 教學(xué)方法 引導(dǎo)探究相結(jié)合 教師由去括號法則引入添括號法則，并引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)添括號變形，從而達(dá)到熟悉乘法公式應(yīng)用的目的 教具準(zhǔn)備 投影片（或多媒體課件） 教學(xué)過程提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師請同學(xué)們完成下列運算并回憶去括號法則 （1）4+（

13、5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c） 生解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括號法則： 去括號時，如果括號前是正號，去掉括號后，括號里的每一項都不改變符合；如果括號前是負(fù)號，去掉括號后，括號里的各項都改變符合 也就是說，遇“加”不變，遇“減”都變 師4+5+2與4+（5+2）的值相等；4-5-2與4-（5+2）的值相等所以可以寫出下列兩個等式： （1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+

14、2） 左邊沒括號，右邊有括號，也就是添了括號，同學(xué)們可不可以總結(jié)出添括號法則來呢？ （學(xué)生分組討論，最后總結(jié)） 生添括號其實就是把去括號反過來，所以添括號法則是： 添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號 也是：遇“加”不變，遇“減”都變 師能舉例說明嗎？ 生例如a+b-c，要對+b-c項添括號，可以讓a先休息，括號前添加號，括號里的每項都不改變符號，也就是+（+b-c），括號里的第一項若系數(shù)為正數(shù)可省略正號即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括號前添減號，括號里的每一項都改變符號，+b改為-b，-c改為+c也就

15、是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）添加括號后，無論括號前是正還是負(fù)，都不改變代數(shù)式的值 師你說得很有條理，也很準(zhǔn)確 請同學(xué)們利用添括號法則完成下列練習(xí)： （出示投影片） 1在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻棧?（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2判斷下列運算是否正確 （1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5） （學(xué)生嘗試或獨立完成，然后與同伴交流解題心得教師遁

16、視學(xué)生完成情況，及時發(fā)現(xiàn)問題，并幫助個別有困難的同學(xué)） 總結(jié)：添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號，還是去括號，運算前后代數(shù)式的值都保持不變，所以我們可以用去括號法則驗證所添括號后的代數(shù)式是否正確 導(dǎo)入新課 師有些整式相乘需要先作適當(dāng)?shù)淖冃?，然后再用公式，這就需要同學(xué)們理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特征和真正內(nèi)涵請同學(xué)們分組討論，完成下列計算 （出示投影片）例：運用乘法公式計算 （1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3） （讓學(xué)生充分討論，鼓勵學(xué)生用多種方法運算，從而達(dá)到靈活應(yīng)用公式的目的） 分析：（1）是

17、每個因式都是三項和的整式乘法，我們可以用添括號法則將每個因式變?yōu)閮身椀暮停儆^察到2y-3與-2y+3是相反數(shù)，所以應(yīng)在2y-3和-2y+3項添括號，以便利用乘法公式，達(dá)到簡化運算的目的 （2）是一個完全平方的形式，只須將a+b+c中任意兩項結(jié)合添加括號變?yōu)閮身椇?，便可?yīng)用完全平方公式進行運算 （3）是完全平方公式計算，也可以逆用平方差公式計算 （4）完全平方公式計算與多項式乘法計算，但要注意運算順序，減號后面的積算出來一定先放在括號里，然后再用去括號法則進行計算，這樣就可以避免符號上出現(xiàn)錯誤隨堂練習(xí)課時小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何收獲和體會？ 生我們學(xué)會了去括號法則和添括號法則，利用添括號法則可以將整式變形，從而靈活利用乘法公式進行計算 生我體會到了轉(zhuǎn)化思想的重要作用，學(xué)數(shù)學(xué)其實是不斷地利用轉(zhuǎn)化得到新知識，比如由繁到簡的轉(zhuǎn)化，由難到易的轉(zhuǎn)化，由已知解決未知的轉(zhuǎn)化等等 師同學(xué)們總結(jié)