數(shù)學(xué)分析選講ppt

1、考前輔導(dǎo) 主講 謝碧華講評模擬試卷（一）講評模擬試卷（一） 一、（12分）選擇題（將符合要求的結(jié)論題號，填在題末的括號內(nèi)，每題至多選兩個題號）：1、若 nx不是無窮大量，則 nxa、必存在收斂子列； b、任一子列均不是無窮大量； c、任一子列均有界； d、必存在有界子列； 答：（ a、d ） 2、下列命題中正確的是： a、若 ()nnuv n ，級數(shù) 1nnv收斂，則 1nnu收斂； b、若 (1,2)nnuv n，級數(shù) 1nnv收斂，則 1nnu不一定收斂； c、若 1nnu是正項級數(shù)，且 ,nnn 有 11,nnuu則 1nnu收斂； d、若 lim0nnu，則 1nnu發(fā)散。 答：（ b

2、、d ）3、下列命題中錯誤的是： b、若 0,000( , )()lim( , ),lim lim( , )x yx yxxyyf x yf x y皆存在，則 00lim lim( , )yy xxf x y也存在； a、若二元函數(shù) ( , )uf x y在 00(,)xy點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，( , )uf x y在 00(,)xy點(diǎn)連續(xù)； 則 c、若二元函數(shù) ( , )uf x y在 00(,)xy點(diǎn)可微，則 ( , )uf x y在 00(,)xy連續(xù)； d、若二元函數(shù) ( , )uf x y在 00(,)xy連續(xù)，則 00( ,),(, )f x yf xy分別在 00,xy連續(xù)。 答：（ a

3、、b ） 二、（40分）計算題1、求 31lim(sin !)5nnnn解 由于 31lim0, sin !15nnnn故原式 0。 2、求 11 cos0lim(1sin )xxxx解 原式 0ln(1sin )ln(1sin )lim1 cos1 cos0limxxxxxxxxee202 sinlimxxxxe2202lim2xxxee3、設(shè) ( )xf xx e，求 ( )fx解 0( )0 xxxexf xxex于是當(dāng) 0 x 時， ( )xxfxexe于是當(dāng) 0 x 時， ( )xxfxexe 于是當(dāng) 0 x 時，由于 0 00 0( )(0)0limlim1xxxf xfxexx

4、0 00 0( )(0)0limlim1xxxf xfxexx 故 (0)f 不 。 4、求 sincos2dxxx222cos2222sinsincos2cos(1 cos)(2cos1)(1)(21)11()12121122lnln21222x txdxxxdxxxdtttdtttttctt 令解 原式5、求冪級數(shù) 解（1）因?yàn)?21lim211nnrn 又當(dāng) 1x 時，原級數(shù)為 0121nn發(fā)散。 當(dāng) 1x 時，原級數(shù)為 0121nn發(fā)散。 故原級數(shù)的收斂域?yàn)?(1,1)。 35213521nxxxxn并求其和函數(shù) 的收斂域，（2）設(shè) 210( )( 1,1)21nnxs xxn 則 2

5、201( )( 1,1)1nns xxxx 又 (0)0,s于是有 21( )( )(0)( )001111()02111 ln(1)ln(1)21ln( 1,1)1xxs xs xss t dtdttxdtttxxxxx 三、（10分）從定義出發(fā)證明 ( )cossinf xxx在 (,) 上一致連續(xù)。 證明 對 0 ，及 12,(,)x x ，欲使 12( )()f xf x由于 121212( )()coscossinsinf xf xxxxx1212121212121212coscossinsin2 sinsin2 cossin22224 sin22xxxxxxxxxxxxxxxx于是

6、只須 122 xx，即 122xx故對 0 ，取 ,2對 12,(,)x x 當(dāng) 12xx時，就有 12()()f xf x因此 ( )cossinf xxx在 (,) 上一致連續(xù)。 四、（10分）設(shè) 22( )1nxfxn x，試討論 ( )nfx在 (0,)上的一致收斂性。 證明 22lim( )lim0,(0,)1nnnxfxxn x又 221122xxn xnxn于是 22(0,)1sup0()12xxnn xn 從而 22(0,)lim sup01nxxn x故 ( )nfx在 (0,)上一致收斂。 五、（12分）設(shè) 332222220( , )00 xyxyxyf x yxy1、證

7、明 ( , )f x y在 點(diǎn)連續(xù) 0,02、求 (0,0),(0,0)xyff3、證明 ( , )f x y在 點(diǎn)的不可微 0,01、證明 令 cos ,sin ,xy則 3322( , )(0,0)( , )(0,0)33320330lim( , )lim(cossin)limlim(cossin)0(0,0)x yx yxyf x yxyf（因?yàn)?33cossin2） 所以 ( , )f x y在 (0,0)點(diǎn)連續(xù)。 2、解 3300( ,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxf xfxfxx3300(0, )(0,0)(0,0)limlim1yyyfyfyfyy 3、證明 由于

8、33222222()()()()()()()()xyuduxyxyyxxyxy 而 33220022()limlim5 5()()xxyxuduxxxy 不存在。 故 ( , )f x y在 (0,0)點(diǎn)不可微。 六、（10分）設(shè)函數(shù) ( )f x在 ,)a 上連續(xù)，且 lim( )xf x ，若有 ,)(1,2)nxan使得 lim()(nnf xa a為有限數(shù)）。 證明：（1） nx是有界數(shù)列 （2）存在點(diǎn) 0 ,),xa使 0()f xa證明 （1） 用反證法，假設(shè) nx為無界數(shù)列，則 nx中存在子列 knx使 ()knxk 又 lim( )xf x ，于是由海涅定理知 lim()knk

9、f x 這與 lim()nnf xa相矛盾，故 nx為有界數(shù)列。 （2）由 nx有界，則 nx中必有收斂子列 knx，使 0()knxxk ，且 0 ,)xa又 ( )f x在 ,)a 上連續(xù)，則 ( )f x在 0 x點(diǎn)連續(xù) 即 00lim( )()xxf xf x，從而由海涅定理有 0lim()()knkf xf x而由 lim()nnf xa知 lim()knkf xa， 于是由極限的唯一性知 0()f xa。 七、（6分）設(shè) ( )f x在 , a b嚴(yán)格單調(diào)遞減， ( )fx存在， ( ),( ),2 2f bf a 且 ( )0,fxm試證明 2cos( )bf x dxam。 證

10、明 令 ( )f xt，則由題意有 ( )1cos( )cos( )( )bf bf x dxtdtaf afx( )1cos( )( )( )1cos( )( )1cos( )12(sin( )sin( )f atdtf bfxf atdtf bmf atdtf bmf af bmm講評第五章的部分作業(yè)講評第五章的部分作業(yè) 二、討論下列級數(shù)的收斂性： 2 211(2)nnnn解 由于 221limlim1112(2)2nnnnnnnnn故原級數(shù)收斂 4 111( 1)1 lnnnnnn解 由 21( 1)lnnnn為萊布尼茲型級數(shù)，故其收斂，11nn為單調(diào)上升數(shù)列，且 111nn阿貝爾判別法

11、知，原級數(shù)收斂。 又 故由三、討論下列函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。 2 0,11nxxnx解 由于 lim0,11nnxxxnx則 (1)211nxxxxnxnxn從而 0,12sup0()1xnxxnnxn 因此 0,1limsup01nxnxxn x 故 1nxnx在 上一致收斂于 x。0,14 1sin,nnnnxxe 解 由于 1,2sin()(,)nnnnnxnxee 而 1nnne收斂 （因?yàn)?1lim1nnnnee） 故由m一判別法知原級數(shù)在 (,) 上一致收斂。 四、求下列冪級數(shù)的收斂域。 1 0( 1)(1)(2)nnnxnn解 令 ( 1)(1)(2)nnann（1）

12、因?yàn)?1(2)(3)limlim1(1)(2)nnnnannann所以 1r 當(dāng) 1x 時，原級數(shù)為 01(1)(2)nnn發(fā)散，（因?yàn)?11()(1)(2)nnnn）， 故原冪級數(shù)的收斂域?yàn)?( 1,1。 （2）當(dāng) 1x 時，原級數(shù)為 0( 1)(1)(2)nnnn（因?yàn)槠錇槿R布尼茲型級數(shù)） 收斂，2 1(1)2nnnxn 解 由于 11lim22nnnn，則 2r 即當(dāng) 212x 時其絕對收斂。 又當(dāng) 12,x 即 1x 時，原級數(shù)為 11nn發(fā)散。 當(dāng) 12,x 即 3x 時，原級數(shù)為 11( 1)nnn收斂。 故原級數(shù)的收斂域?yàn)?3,1)。 五、（2）將 解 111( )3 112f

13、xxx001( 2 ) 3nnnnxx1111( 1)2 3nnnnx 且由 121xx知 12x 2( )12xf xxx展開成 x并指出其收斂域。 的冪級數(shù)，六、設(shè) 1sin( )nnxf xn n，試證 ( )f x在 ,上連續(xù)。 證明 （1）對每個 sin1,2,nxnn n在 (,) 上連續(xù) （2）由于 1,2sin1()(,nnxxn nn n 又 11nn n收斂，于是由m判別法知， 1sinnnxn n在 (,) 上一致收斂。從而由連續(xù)性定理( )f x在 (,) 上連續(xù)。 知 講評第六章的部分作業(yè)：講評第六章的部分作業(yè)： 一. 求下列極限： 2. 2222( , )(0,0)

14、lim(0)x yaxbyabxy解 令 cos ,sin ,xy則 原式 2220( cossin)lim0ab（因?yàn)?22cossinabab） 4. 22( , )(,)limx yxyxxyy 解 由于 22110 xyxyxxyyxyxy又 ( , )(,)11lim()0 x yxy 故原式 0.二. 求 222( , )()xyf x yxyxy的二次極限 00limlim( , )xyf x y及 00limlim( , )yxf x y，并討論在原點(diǎn)的二重極限的存在性.解 2220000limlim( , )limlim1()xyxyxyf x yxyxy2220000limlim( , )limlim1()yxyxxyf x yxyxy又 2220,0lim( , )lim2()xx yxxyf x yxyxy2220,205lim( , )lim()3xx yxxyf x yxyxy故 ( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在。 五. 設(shè) 22222222sin()0( , )00 xyxyxyf x yxyxy（1）用 方法證明 ( ,)f x y在 點(diǎn)的連續(xù)性； 0,0（2）求 (0,0),(0,0)xyff； （3）試證明 ( ,)f x y在 點(diǎn)不可微。 0,0解 （1） 0,由于 2222( , )(0,0)sin()xyf