第11講 真實應力應變關系曲線及平面問題

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第十講第十講Lesson Ten李振紅李振紅Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程學院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2021-12-222本節(jié)主要內容本節(jié)主要內容10.1 等效應力和等效應變等效應力和等效應變10.2 真應力真應力-應變曲線應變曲線（教材第三章第六節(jié)）（教材第三章第六節(jié)）10.3 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱

2、變形（教材第三章第三節(jié)）（教材第三章第三節(jié)）2021-12-22310.1.1 等效應力等效應力o 把把s ss看成經過某一變形程度看成經過某一變形程度下的單向應力狀態(tài)的屈服極下的單向應力狀態(tài)的屈服極限限,則可稱則可稱s ss為為變形抗力變形抗力。ABCDe es so 如圖所示，拉伸變形到如圖所示，拉伸變形到C點，然后卸載到點，然后卸載到D點，如點，如果再在同方向上拉伸，便近似認為在原來開始卸載果再在同方向上拉伸，便近似認為在原來開始卸載時所對應的應力附近（即點時所對應的應力附近（即點C處）發(fā)生屈服。這一處）發(fā)生屈服。這一屈服應力比退火狀態(tài)的初始屈服應力提高，是由于屈服應力比退火狀態(tài)的初始屈

3、服應力提高，是由于金屬加工硬化的結果。所以在單向拉伸的情況下，金屬加工硬化的結果。所以在單向拉伸的情況下，不論對初始屈服應力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極不論對初始屈服應力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極限，統稱為限，統稱為金屬變形抗力金屬變形抗力。 2021-12-224o 若令若令sss22212233112sssssss則金屬屈服時有則金屬屈服時有則為則為等效應力等效應力，等效于單向拉伸時的應力狀態(tài)。，等效于單向拉伸時的應力狀態(tài)。s2021-12-225o 對于單向拉伸對于單向拉伸sss1時，金屬處于彈性狀態(tài)時，金屬處于彈性狀態(tài)sss1時，金屬進入塑性狀態(tài)時，金屬進入塑性狀態(tài)同樣同樣，復雜應力狀態(tài)

4、時，復雜應力狀態(tài)時，sss時，金屬處于彈性狀態(tài)時，金屬處于彈性狀態(tài)sss時，金屬進入塑性狀態(tài)時，金屬進入塑性狀態(tài)2021-12-226o 在一般應力狀態(tài)下，等效應力為在一般應力狀態(tài)下，等效應力為 222222231 62xyyzzxxyyzzxIsssssss當材料屈服時有當材料屈服時有 3skss其中其中s ss，為單向應力狀態(tài)下獲得的屈服極限，為單向應力狀態(tài)下獲得的屈服極限 2021-12-22710.1.2 等效應變等效應變o 在簡單應力狀態(tài)下，我們可以得到一條應在簡單應力狀態(tài)下，我們可以得到一條應力力應變關系曲線，若知道了變形程度，則應變關系曲線，若知道了變形程度，則其所對應的應力，從

5、該曲線上也可以得到。其所對應的應力，從該曲線上也可以得到。o 那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫度度變形速度條件下，等效應力取決于變形變形速度條件下，等效應力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應力狀態(tài)是否存程度。如果這樣的話，一般應力狀態(tài)是否存在這一應力在這一應力應變關系曲線？應變關系曲線？ 2021-12-228 此式表示的應變增量此式表示的應變增量 就是就是等效應變增量等效應變增量de22212233129dddddddeeeeeee比例加載時，即比例加載時，即 312123ddddeeeeeeee22212233129eeeeeeee為等效應變?yōu)榈刃?/p>

6、應變 2021-12-22922212233129dddddddeeeeeee等式兩邊分別除以變形時間等式兩邊分別除以變形時間dt，則得到，則得到22212233129eeeeeeee為等效應變速率為等效應變速率 2021-12-221010.1.3 等效應變與等效應力的關系等效應變與等效應力的關系o 由由LevyMises流動法則，流動法則， ijijddse22212233129dddddddeeeeeee代入代入222212233129ddessssss222212233129dssssss2021-12-2211o 得到得到23ddes32ddes或或此式即為等效應變增量此式即為等效應

7、變增量與等效應力的關系與等效應力的關系 則則LevyMises流動法則可以寫成流動法則可以寫成 32ijijddeess2021-12-2212o 這樣，由于引入等效應變增量這樣，由于引入等效應變增量 與等效應與等效應力力 ，則本構方程中的比例系數，則本構方程中的比例系數 便可以便可以確定，從而也就可以求出應變增量的具體數確定，從而也就可以求出應變增量的具體數值。值。 desd2021-12-221310.2 曲線曲線變形抗力曲線變形抗力曲線o 不論是一般應力狀態(tài)還是簡單應力狀態(tài)作出不論是一般應力狀態(tài)還是簡單應力狀態(tài)作出的應力應變曲線，就是的應力應變曲線，就是 曲線，此曲線曲線，此曲線也叫變形

8、抗力曲線或加工硬化曲線，或真應也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應力曲線。目前常用以下四種簡單應力狀態(tài)的力曲線。目前常用以下四種簡單應力狀態(tài)的試驗來做金屬變形抗力曲線。試驗來做金屬變形抗力曲線。 eses2021-12-2214真實應力-應變曲線o 延伸率延伸率o 斷面收縮率斷面收縮率o 對數應變對數應變 000LLLLLke%100FF)1ln(lnln000eLLLLLko 真實應力：真實應力：APs2021-12-2215真實應力-應變曲線的確定o單向拉伸試驗單向拉伸試驗 最大應變量受塑性失穩(wěn)限制最大應變量受塑性失穩(wěn)限制 1.01.0，精確段，精確段0.30.3 需校正形狀硬化效應的影

9、響需校正形狀硬化效應的影響o單向壓縮試驗：單向壓縮試驗： 最大應變量可達最大應變量可達2.02.0或更高或更高 由于摩擦的存在圓柱試樣出現鼓形由于摩擦的存在圓柱試樣出現鼓形o軋制壓縮試驗：軋制壓縮試驗： 適于板料適于板料 試驗結果需處理（平面應變壓縮試驗結果需處理（平面應變壓縮單向壓縮）單向壓縮）2021-12-2216o 單向拉伸單向拉伸 200132321eeesssddd；、1ssss110lnlddleee2021-12-2217o 單向壓縮單向壓縮 200321213eeesssddd；、3ssss130lnhddheee可見單向應力狀態(tài)等效應力等于金屬變形抗力；可見單向應力狀態(tài)等效

10、應力等于金屬變形抗力；等效應變等于絕對值最大主應變。等效應變等于絕對值最大主應變。 2021-12-2218o 平面變形壓縮平面變形壓縮 02002313213eeessssddd、；、332ssss13022ln33hddheee321.15523ssksss其中其中為平面變形抗力為平面變形抗力2021-12-2219o 薄壁管扭轉薄壁管扭轉 00231213eeesssddd、；、133sksss112233ddeeee2021-12-2220真實應力-應變曲線的簡化sYs2BYssmsBY1snBYo 冪指數硬化曲線冪指數硬化曲線 o 剛塑性硬化曲線剛塑性硬化曲線 o 剛塑性硬化直線剛塑

11、性硬化直線 o 理想塑性直線理想塑性直線 2021-12-2221變形溫度對真實應力-應變曲線的影響0.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060

12、80100120140160180200 s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e et=800t=850t=900t=950t=1000 s s(MPa)(MPa) e e流動應力隨變形溫度升高而下降流動應力隨變形溫度升高而下降硬化程度隨溫度升高而減小（斜率減?。┯不潭入S溫度升高而減?。ㄐ甭蕼p?。┳冃嗡俣葘φ鎸崙?應變曲線的影響冷變形時：冷變形時： 溫度效應顯著，影響較小溫度效應顯著，影響較小熱變形時：熱變形時： 溫度效應小，影響較大溫度效應小，影響較大溫變形時：溫變形時： 影響處于冷變形和

13、熱變形中間影響處于冷變形和熱變形中間 a)a)冷變形冷變形 b)b)溫變形溫變形 c)c)熱變形熱變形2021-12-222410.3 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形o 塑性力學問題共有九個未知數，即六個應力分量和塑性力學問題共有九個未知數，即六個應力分量和三個位移分量。與此對應，則有三個力平衡方程和三個位移分量。與此對應，則有三個力平衡方程和六個應力應變關系方程。雖然可解，但在解析上要六個應力應變關系方程。雖然可解，但在解析上要求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴密解是十求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴密解是十分困難的。然而，如果應力邊界條件給定，對于平分困難的。然而，如果應力

14、邊界條件給定，對于平面變形問題，靜力學可以求出應力分布，而成為靜面變形問題，靜力學可以求出應力分布，而成為靜定問題。對于軸對稱問題，引入適當假設，也可以定問題。對于軸對稱問題，引入適當假設，也可以靜定化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對靜定化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對稱問題，也有許多可以分區(qū)簡化為平面變形問題來稱問題，也有許多可以分區(qū)簡化為平面變形問題來處理。處理。 2021-12-222510.3.1 平面應力平面應力o 變形體內與某方向軸垂直的平面上無應力存變形體內與某方向軸垂直的平面上無應力存在，并且所有的應力分量與該軸無關，這種在，并且所有的應力分量與該軸無關，這種應力

15、狀態(tài)即為應力狀態(tài)即為平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài) o 工程實際中，薄壁管扭工程實際中，薄壁管扭轉、薄壁容器承受內壓、轉、薄壁容器承受內壓、板料成形中的一些工序，板料成形中的一些工序，厚度方向的應力很小，厚度方向的應力很小，可簡化為平面應力狀態(tài)可簡化為平面應力狀態(tài)2021-12-2226例題一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內壓力p的作用，試求此圓筒產屈服時的內壓力p。（設材料單向拉伸時的屈服應力為 ） 2022zp rprrttsss202p rprttsps0s（在內表面）（在外表面）1prtss3pss或022zprtssP2rtzspszsPss2021-12-2227o 應力特點

16、應力特點 假設與假設與z z軸垂直的平面上沒有應力作用：軸垂直的平面上沒有應力作用：00zxzyzs，yxfij,s0zs0ze 平面應力狀態(tài)：平面應力狀態(tài)：而而1s2s2021-12-2228o 主應力o 主切應力2021-12-2229o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys0zyxzyyxys0zyxzyzxzs0zyxzxyxxs2021-12-22302021-12-2231o 主切應力平面上的正應力為零主切應力平面上的正應力為零o 主切應力在數值上等于正應力主切應力在數值上等于正應力2021-12-223210.3.2 平面應變平面應變o 變形體內所有質點只在

17、同一個坐標平面之內變形體內所有質點只在同一個坐標平面之內變形，在該平面的法線方向上沒有變形，這變形，在該平面的法線方向上沒有變形，這種變形稱為種變形稱為平面變形或平面應變平面變形或平面應變 2021-12-2233o 應力特點應力特點 21301122zxzyzmxysssssss，yxfij,s0zeyxzsss210zs0ze平面應變狀態(tài)：平面應變狀態(tài)：而而 平面應力狀態(tài)：平面應力狀態(tài)：而而1s)(21312sss3s2021-12-2234平面應變狀態(tài)的應力偏張量是純剪切應力狀態(tài)平面應變狀態(tài)的應力偏張量是純剪切應力狀態(tài)2021-12-22351s)(21312sss3s2021-12-2

18、236平面應變狀態(tài)的應力張量是純切應力張量疊加球應力張量平面應變狀態(tài)的應力張量是純切應力張量疊加球應力張量2021-12-2237o 應變特點應變特點 0zzxzydddeyxddee31ee02e3e2021-12-2238o 幾何方程幾何方程 xxuxeyyuye12yxxyuuyxxuxxexuyuyxxy21eyuyyeyuzuzyyz21ezuzzezuxuxzzx21eiujujiij21e或或2021-12-2239o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys2021-12-2240o 屈服條件屈服條件o 本構方程本構方程 222222441.1553xyxys

19、sksssseseseddddxyxyyyxx2021-12-224110.3.3 軸對稱變形軸對稱變形o 變形體為旋轉體，旋轉體承受的外力對稱于變形體為旋轉體，旋轉體承受的外力對稱于旋轉軸分布，變形體內質點的應力狀態(tài)即為旋轉軸分布，變形體內質點的應力狀態(tài)即為軸對稱應力狀態(tài)軸對稱應力狀態(tài) 2021-12-2242o 應力特點應力特點o 應變特點應變特點 ,ijfzs0 z rss變形均勻時有變形均勻時有 0z 2021-12-2243o 幾何方程幾何方程 uezzuzeue12zzruuze2021-12-2244o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0zzsss0zzzzs2021-12-224

20、5o 屈服條件屈服條件o 本構方程本構方程 222222626kszrrzzrsssssss2223srzzrsss變形均勻時變形均勻時 esesesedddddzrzrzzrr2021-12-2246金屬塑性成形原理金屬塑性成形原理力學部分主要內容力學部分主要內容o 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析o 應變狀態(tài)分析應變狀態(tài)分析o 變形力學方程變形力學方程o 滑移線場理論滑移線場理論o 主應力法主應力法o 上界法上界法o 有限元法有限元法塑性加工力學塑性加工力學基礎部分基礎部分塑性加工力學問題塑性加工力學問題求解方法部分求解方法部分2021-12-2247一點應力張量一點應力張量 zyzxzzyyxy

21、zxyxxs s s s s sx面面y面面z面面x方向方向y方向方向z方向方向2021-12-2248切應力互等定理切應力互等定理zxxzzyyzyxxy2021-12-2249o 通過變形體內任意點垂直坐標軸截取三個相互垂直的截面和通過變形體內任意點垂直坐標軸截取三個相互垂直的截面和與坐標軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面構成一個四面與坐標軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面構成一個四面體素體素 2021-12-2250斜面上任一點應力狀態(tài)斜面上任一點應力狀態(tài)zxyos sxs s ys sz xy yz yx xz zy zxSnnSnxSnySnzs sn nBACds2021-12-2

22、251全應力在各坐標軸上的分量全應力在各坐標軸上的分量o 全應力分量方程全應力分量方程o 用矩陣表示為用矩陣表示為nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxsssnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynxsss（）2021-12-2252斜微分面上的正應力、切應力o 把微分斜面上的合應力把微分斜面上的合應力Sn，向法線，向法線n方向投影，便可求出方向投影，便可求出微分斜面上的正應力，或將微分斜面上的正應力，或將Snx、Sny、Snz分別投影到法線分別投影到法線n上，也同樣得到微分斜面上的正應力，即上，也同樣得到微分斜面上的正應力，即 o 將將Snx、Sny、Snz帶入上式得帶入上式得o 微分面上的剪應力為微分面上的剪應力為nSmSlSnznynxnsnlmnlmnmlzxyzxyzyxnssss222222222nnnSs2021-12-2253o 若坐標軸為主軸，則與坐標軸垂直的截面上的切應若坐標軸為主軸，則與坐標軸垂直的截面上的切應力為零，則由力為零，則由可得可得而而所以所以nlmnlmnmlzxyzxyzyxnssss222222232221nmlnsss