醫(yī)用高等數(shù)學課件

1、醫(yī)用高等數(shù)學第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)三、分段函數(shù)四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)第一章第一章 函數(shù)和極限函數(shù)和極限醫(yī)用高等數(shù)學一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念 1 1常量與變量常量與變量 注意注意 一個量究竟是常量還是變量一個量究竟是常量還是變量, ,不是絕對的不是絕對的, ,要要根據(jù)具體過程和條件來確定根據(jù)具體過程和條件來確定. .而在過程中可取不同數(shù)值的量稱為而在過程中可取不同數(shù)值的量稱為變量變量. .在某過程中始終保持同一數(shù)值的量稱為在某過程中始終保持同一數(shù)值的量稱為常量常量, , 例如：人的身高例如：人的身高,在研究

2、少兒發(fā)育成長的過程中是在研究少兒發(fā)育成長的過程中是常量常量；而在研究成人的健康狀況時通常是；而在研究成人的健康狀況時通常是變量變量醫(yī)用高等數(shù)學函數(shù)的概念函數(shù)的概念因變量因變量自變量自變量)(xfy Dx是自變量的所有允許值的集合，稱為函數(shù)的定義是自變量的所有允許值的集合，稱為函數(shù)的定義域而因變量的所有對應值的集合則稱為函數(shù)的值域域而因變量的所有對應值的集合則稱為函數(shù)的值域.Dxy定義定義1-1 設和是同一變化過程中的兩個變量，設和是同一變化過程中的兩個變量，如果對于變量如果對于變量 的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量變量 總有一個確定值與之對應，則稱變量總

3、有一個確定值與之對應，則稱變量 是變量是變量 的函數(shù)變量的函數(shù)變量 稱為自變量，變量稱為自變量，變量 稱為因變量稱為因變量.記為記為xyyxxyxy注意注意1 在實際問題中在實際問題中, ,定義域是由實際問題決定的定義域是由實際問題決定的. .醫(yī)用高等數(shù)學注意注意2 2 函數(shù)的兩要素為：函數(shù)的兩要素為： 定義域定義域與與對應規(guī)律對應規(guī)律 注意注意3 3 函數(shù)的表示法有函數(shù)的表示法有:公式法、圖像法和表格法公式法、圖像法和表格法, 這三種表述各有特點并可以相互轉(zhuǎn)化這三種表述各有特點并可以相互轉(zhuǎn)化 因此因此, ,兩個函數(shù)只有當它們的兩個函數(shù)只有當它們的對應規(guī)律對應規(guī)律和和定義域定義域都完都完全相同

4、時全相同時, ,才認為是兩個相同的函數(shù)才認為是兩個相同的函數(shù). . 例例1-1 在出生后在出生后 16個月期間內(nèi)個月期間內(nèi),正常嬰兒的體重近正常嬰兒的體重近似滿足以下關系似滿足以下關系:xy603., 61x公式法公式法醫(yī)用高等數(shù)學tTo370t)(0tT 例例1-2 監(jiān)護儀自動記錄了某患者一段時間內(nèi)體溫監(jiān)護儀自動記錄了某患者一段時間內(nèi)體溫T的變化曲線的變化曲線,如下圖示如下圖示: 例例1-3 某地區(qū)統(tǒng)計了某年某地區(qū)統(tǒng)計了某年112月中當?shù)亓餍行猿鲅轮挟數(shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率熱的發(fā)病率,見下表見下表 (月份)()12345678910111216.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0

5、2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0ty醫(yī)用高等數(shù)學（5）三角函數(shù)）三角函數(shù),cot,tan,cos,sinxyxyxyxy.csc,secxyxy（4）對數(shù)函數(shù)）對數(shù)函數(shù));1, 0(logaaxya（3）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù));1,0(aaayx（2）冪函數(shù)）冪函數(shù));( 為為任任意意實實數(shù)數(shù) xy （1）常函數(shù)）常函數(shù));( 是是實實數(shù)數(shù)ccy 二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)（6）反三角函數(shù)）反三角函數(shù),arctan,arccos,arcsinxyxyxyxarcycot等等.醫(yī)用高等數(shù)學)(ufy )(xu)(xfy變量稱為復合函數(shù)的中間變量復合函數(shù)的

6、概念可變量稱為復合函數(shù)的中間變量復合函數(shù)的概念可以推廣到多個函數(shù)的情形，此時復合函數(shù)是通過多個中間以推廣到多個函數(shù)的情形，此時復合函數(shù)是通過多個中間變量的傳遞而構(gòu)成的變量的傳遞而構(gòu)成的u,arctan,lg1xvvuuy 例例1-4 設設求求 關于關于yx的復合函數(shù)的復合函數(shù)2.復合函數(shù)復合函數(shù) 定義定義1-2 設變量設變量 是變量是變量 的函數(shù)的函數(shù),變量又是變量變量又是變量yuux的函數(shù)的函數(shù),即即xuy 如果變量如果變量 的某些值通過變量的某些值通過變量 可以確定變量可以確定變量 的值的值,則稱則稱 是是 的復合函數(shù)的復合函數(shù),記為記為xy醫(yī)用高等數(shù)學例例1-5 設設,)(,)(xxxg

7、xxf12試求試求)(),(xffxgf).(),(xggxfg解解42221xxxffxxxgf)()(,)()(xxxxxxxggxxxfg21111122)(,)( 解解 這里，變量傳遞順序是規(guī)定好了的，這里，變量傳遞順序是規(guī)定好了的， 是的中是的中間變量，間變量， 是是 的中間變量，故依次代入可得的中間變量，故依次代入可得vuuy) 1arctan(lgxy)., 1(x醫(yī)用高等數(shù)學 可見，復合順序是關鍵另外，要注意：若經(jīng)過變可見，復合順序是關鍵另外，要注意：若經(jīng)過變量代入后，復合函數(shù)的定義域為空集，則此復合函數(shù)無量代入后，復合函數(shù)的定義域為空集，則此復合函數(shù)無意義，或者說它們不能復合

8、意義，或者說它們不能復合例如例如，22xuuy,arcsin就不能復合因為就不能復合因為, 122 x)arcsin(22xy的定義域為空集的定義域為空集,即函數(shù)即函數(shù))arcsin(22xy無意義無意義.例例1-6 將下列復合函數(shù)將下列復合函數(shù)“分解分解”為簡單函數(shù)為簡單函數(shù))sin()(cbxay 1kxay21 2)()coslg()(xy211 3醫(yī)用高等數(shù)學解解cbxuuay,sin)( 1kxvuuayv,)(21 2xvvuuycos,lg)(211 3 注意注意 簡單函數(shù)簡單函數(shù)是指基本初等函數(shù)或由基本初等函是指基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算而得到的函數(shù)數(shù)經(jīng)過四則運算

9、而得到的函數(shù). 定義定義1-3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算以由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算以及函數(shù)復合所得到的僅用一個解析式表達的函數(shù)，稱為及函數(shù)復合所得到的僅用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初初等函數(shù)等函數(shù)3.初等函數(shù)初等函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學 在不同的區(qū)間上用不同的解析式子表示的函數(shù)，稱在不同的區(qū)間上用不同的解析式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)為分段函數(shù)0, 10, 12)(2xxxxxf例例1-7三、分段函數(shù)三、分段函數(shù)12 xy12 xyxyo醫(yī)用高等數(shù)學這是一個分段函數(shù)，如圖這是一個分段函數(shù)，如圖 例例1-8 設某藥物的每天設某藥物的每天劑量為劑量為y (單位單位:毫克毫克) ,對于對

10、于16歲以上的成年人用藥劑量是一常數(shù)歲以上的成年人用藥劑量是一常數(shù),設為設為2mg.而對于而對于16歲以下的未成年人歲以下的未成年人,則每天用藥劑量則每天用藥劑量y 成比于年齡成比于年齡x ,比例比例常數(shù)為常數(shù)為0.125mg/歲歲,其函數(shù)關系為其函數(shù)關系為1621601250 xxxy.o162xy醫(yī)用高等數(shù)學0,10,00,1)(xxxxf當當當1-1xyo 定義為：當定義為：當 時時， ，例例1-9 設設)(xf0 xxxxf/)(當當 時，時， 則則0 x0)(xf醫(yī)用高等數(shù)學1. 有界性有界性四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì).),()(內(nèi)內(nèi)無無界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)如如

11、果果不不存存在在這這樣樣的的baxfM，對對于于所所若若存存在在正正數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設設函函數(shù)數(shù),.),()(Mbaxf.),()(,)(),(內(nèi)內(nèi)有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)恒恒有有有有的的baxfMxfbax有界有界M-Myxoy=f(x)bay無界無界M-Mxo0 xba醫(yī)用高等數(shù)學Rxy上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)例例如如sin,.),(,),(上上有有界界在在內(nèi)內(nèi)無無界界在在而而函函數(shù)數(shù)1101xy2. 單調(diào)性單調(diào)性)(xfy )(1xf)(2xfxyoab)(xfy )(1xf)(2xfxyoba增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù) 設設 、 是函數(shù)是函數(shù) 在定義區(qū)間在定義區(qū)間 內(nèi)的任意內(nèi)

12、的任意兩點兩點,且且.若若,則稱在則稱在內(nèi)是單調(diào)遞增的內(nèi)是單調(diào)遞增的;若若,則稱在則稱在 內(nèi)是內(nèi)是單調(diào)遞減的單調(diào)遞減的.)(xf1x2x),(ba)()(21xfxf)(xf),(ba)()(21xfxf),(ba)(xf21xx 醫(yī)用高等數(shù)學3. 奇偶性奇偶性偶函數(shù)偶函數(shù)yx)(xf )(xfy ox-x)(xf)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函數(shù)奇函數(shù))()(xfxf)()(xfxf 如果對于函數(shù)如果對于函數(shù) 定義域內(nèi)的任意點定義域內(nèi)的任意點 ,恒有恒有)(xfx,則稱則稱 是偶函數(shù)是偶函數(shù);如果對于函數(shù)如果對于函數(shù))(xf定義域內(nèi)的任意點定義域內(nèi)的任意點 ,恒有恒有)(xfx,則稱則稱是奇函數(shù)是奇函數(shù).)(xf醫(yī)用高等數(shù)學4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 對于函數(shù)對于函數(shù) ,如果存在正的常數(shù)如果存在正的常數(shù)T,使得使得 恒成立恒成立,則稱則稱 為周期函數(shù)為周期函數(shù),滿足這個等式的最小正數(shù)滿足這個等式的最小正