概率論中幾種常用的重要的分布

1、概率論中幾種常用的重要的分布摘要：本文主要探討了概率論中的幾種常用分布，的來源和他們中間的關(guān)系。其在實(shí)際中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞1 一維隨機(jī)變量分布隨機(jī)變量的分布是概率論的主要內(nèi)容之一，一維隨機(jī)變量部分要介紹六中常 用分布，即(0 1)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài) 分布.下面我們將對這六種分布逐一地進(jìn)行討論.隨機(jī)事件是按試驗(yàn)結(jié)果而定出現(xiàn)與否的事件。它是一種“定性”類型的概念。為了進(jìn)一步研究有關(guān)隨機(jī)試驗(yàn)的問題，還需引進(jìn)一種“定量”類型的概念，即， 根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果而定取什么值(實(shí)值或向量值)的變數(shù)。稱這種變數(shù)為隨機(jī)變數(shù)。本章內(nèi)將討論取實(shí)值的這種變數(shù)一維隨機(jī)變數(shù)。定義 1.1 設(shè) X 為

2、一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，令F(x) =P(X (一：,x) =P(X x),( 一二 Yx 二).這樣規(guī)定的函數(shù) F(x)的定義域是整個(gè)實(shí)軸、函數(shù)值在區(qū)間0,1上。它是一個(gè)普通的函數(shù)。成這個(gè)函數(shù)為隨機(jī)函數(shù) X 的分布函數(shù)。有的隨機(jī)函數(shù) X 可能取的值只有有限多個(gè)或可數(shù)多個(gè)。更確切地說：存在著有限多個(gè)值或可數(shù)多個(gè)值 a(,a2,.,使得P(X 伉忑,.) =1稱這樣的隨機(jī)變數(shù)為離散型隨機(jī)變數(shù)。稱它的分布為離散型分布。【例 1】下列諸隨機(jī)變數(shù)都是離散型隨機(jī)變數(shù)。(1) X 可能取的值只有一個(gè)，確切地說，存在著一個(gè)常數(shù) a,使 P(X=a)=1。稱這種隨機(jī)變數(shù)的分布為退化分布。一個(gè)退化分布可以用一個(gè)常數(shù)a 來

3、確定。(2)X 可能取的值只有兩個(gè)。確切地說，存在著 兩個(gè)常數(shù) a , b ,使P( X 在a,b) = .1 稱這種隨機(jī)變數(shù)的分布為兩點(diǎn)分布。如果 P(X = b) = p ,那么，P =(X =a) =1-p。因此，一個(gè)兩點(diǎn)分布可以用兩個(gè)不同的常數(shù)a,b 及一個(gè)在區(qū)間(0,1 )內(nèi)的值 p 來確定。特殊地，當(dāng) a,b 依次為 0,1 時(shí)，稱這兩點(diǎn)分布為零-壹分布。從而，一個(gè)零-壹分布可以用一個(gè)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)的值 p 來確定。(3) X 可能取的值只有 n 個(gè)：a1,.,a2(這些值互不相同)，且，取每個(gè)司值_ _一 1得概率都是-，稱這種隨機(jī)變數(shù)的分布為離散型均勻分布。一個(gè)離散型均勻

4、分布n可以用一個(gè)正整數(shù) n 及 n 個(gè)不同的常數(shù) a-,.,a2來確定。定義 1.2 若隨機(jī)變量 X 的概率分布為P( X= 0= 1- p ,P X= 1* p其中 0p1,則稱 X 服從參數(shù)為 p 的(0-1)分布。(0-1)分布是最簡單的一種分布，它用丁描述只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)。例 如，對新生嬰兒的性別登記，觀察機(jī)器是否正常工作，考察一件產(chǎn)品是否為合格 品等，均可用(0-1)分布來描述。定義 1.3 若隨機(jī)變量 X 的概率分布為X =k=C：pk(1-p)(n,k=0,1,.,n其中 n X 為正整數(shù)，0 p1 ,則稱 X 服從參數(shù)為 n, p 的二項(xiàng)分布，記作X B(n,p)由二項(xiàng)分

5、布的導(dǎo)出可知， 該種分布用丁描述 n 重伯努利試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p.在研究某事件 A 發(fā)生的概率時(shí)，我們對事件 A 所在的試驗(yàn)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)觀察，統(tǒng)計(jì)出事件 A 發(fā)生的次數(shù) 氏。這里*是一個(gè)隨機(jī)變量，它就服從二項(xiàng)分布。另 外，一批種子能發(fā)芽的個(gè)數(shù)，一定人群中患某種疾病的人數(shù)，某時(shí)刻一個(gè)城市開 著的燈的盞數(shù)都可以認(rèn)為是服從二項(xiàng)分布的。在二項(xiàng)分布中，如果 n=1,那么只能取 0 或 1,這是顯然有p=1-p ,p=p也可以表示成01pi1- pp這個(gè)分布就是上面介紹的(0-1 )分布，它是二項(xiàng)分布的特例。在討論 拋 擲均勻硬幣的例子中，隨機(jī)變量 聽的分布列為01pi-221 .它就是(0-1 )分

6、布當(dāng) p =時(shí)的特例。2定義 1.4 若隨機(jī)變量 X 的概率分布為P(X = k =e,k =0,1,2,. k!其中人 A0 為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為島的泊松分布，記作 XP（Q.泊松分布是作為二項(xiàng)分布的極限分布而引入的。事實(shí)上，泊松定理表明，當(dāng)n 很大時(shí)，p 很小，np 適中時(shí)，B（n, p）分布就近似丁 P（A）分布，其中舄=np。由二項(xiàng)分布描述的內(nèi)容可知，泊松分布主要用丁描述大量獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中稀有事件發(fā)生的次數(shù)，所謂稀有事件指概率很小的事件。由此，紡織品上的疵點(diǎn)數(shù)，印 刷品中的錯(cuò)字?jǐn)?shù)，某時(shí)間段內(nèi)電話交換臺接到的呼叫次數(shù)，某時(shí)間段內(nèi)公共汽車站等車的乘客人數(shù)等均可用泊松分布來描述。O定

7、理 1.1 （泊松定理） 在 n 重貝努力試驗(yàn)中，事件 A 在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 pn（與實(shí)驗(yàn)總數(shù) n 有關(guān)），如果當(dāng) nT時(shí)，npnt 九（？0 常數(shù)）,則 有,k|im b（k；n, pn）二后 一, k = 0,1,2,.證明 記 npn=扁，貝 U.z In k一Jkb( k; n,np ) ：np 91 p )_ n(n -1).(n - k 1) ,n對丁任一固定的 k ,顯然有k kl i mn= nj：從而.k2).-楓 lI，1nnJ還有khk!1 Y1 -n 人lim=lim 11n )1 k -1lim 1.11 一二 1nJ nnlim b(k; n, pn)=e-

8、nk!對任意 k ( k=0,1,2,.)成立，定理得證。2 連續(xù)性隨機(jī)變量分布以上對離散型隨機(jī)變量做了一些研究，下面將要研究另一類十分重要而且常 見的隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量定義 2.1 若 &)是隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù) p(x), 使對任意的，有xF(x) = j-p(y)dy則稱頸。)對連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的 F(x)為連續(xù)型分布函數(shù)，同時(shí)稱 p(x )是F (x)的概率密度函數(shù)或簡稱為密度。由分布函數(shù)的性質(zhì)即可驗(yàn)證任一連續(xù)型分布的密度函數(shù)p( x)必具有下述性質(zhì):一一p(x)dx =1定義 2.2若隨機(jī)變量 X 的概率分布為 (x-r,(a20)# 是常數(shù)

9、).、2 -_為密度連續(xù)型分布，稱這種分布為正態(tài)分布，記作 XN(a,。2)卜面驗(yàn)證平(x)是一個(gè)密度函數(shù)。因?yàn)檫@時(shí)為顯然，此外還可以驗(yàn)證有(x J二 一 一 一2e2- dx = 1-oO,. x -為此，可令-=y ,這時(shí)有(1)p(x) -0(2)(X，二 ye2；y21二 cdx=：e dy_1_2二-二2二yedy =打匚/盼 1232-二-二_X2-y2e2dxdyx = r cos jy = r sin n這時(shí)，變換的雅可比式 J =r ,而_2rG -2e2rdr所以有22 yTdy：（x）dx = 1-f-XJf這說明給出的的確是一個(gè)密度函數(shù)，這個(gè)密度函數(shù)成為正態(tài)密度。正態(tài)分

10、布是德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家棣莫弗丁1733 年在求二項(xiàng)分布的漸進(jìn)公式時(shí)得到的.棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理表明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布.正態(tài)分布 N（卜，a2）的密度函數(shù)曲線是鐘型曲線，它的“鐘型”特征與 實(shí)際中很多隨機(jī)變“中間大，兩頭小”的分布規(guī)律相吻合. 人的各種生理指標(biāo)， 一個(gè)班的一次考試成績，測量的誤差等均服從或近似服從正態(tài)分布.在許多實(shí)際問題中，遇到的隨機(jī)變數(shù)是受到許多互不相干擾的隨機(jī)因素的影 響的，而每個(gè)個(gè)別因素的影響都不起決定性作用， 且這些影響是可以疊加的。例 如，電燈泡的耐用時(shí)數(shù)（壽命）受到原料，工藝，保管條件等因素的隨機(jī)變動的 影響，而這些因素的波動在正常情況下是互不干擾

11、的，且，每一個(gè)都不起決定性作用，乂，可以認(rèn)為是可以疊加的。在概率論的極限理論中可以證明：具有上述 特點(diǎn)的隨機(jī)變數(shù)一般都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布。二項(xiàng)分布，泊松分布和正態(tài)分布（或稱高斯分布）時(shí)概率論中最重要的分布， 在實(shí)際理論中有著廣泛的應(yīng)用。本文從三中分布的區(qū)別與聯(lián)系出發(fā)， 采用實(shí)例計(jì) 算及比較方法，以達(dá)到較準(zhǔn)確選擇合適的分布解決實(shí)際問題為目的，對三種分布進(jìn)行進(jìn)一步探討。一、三種分布的區(qū)別1. 定義不同：以每個(gè)分布的定義為切入點(diǎn)，闡明定義特征。二項(xiàng)分布 B（n,p）、 泊松分布 P（入）和正態(tài)分布 N（ H , b 2）的分布規(guī)律分別由它們的參數(shù)確定，并且 三種分布的數(shù)字特征均值及方差是用不同的參

12、數(shù)來描述。因此，區(qū)別參數(shù)的意義 是深刻理解定義的關(guān)鍵。2. 隨機(jī)變量的取值范圍不同：二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值是有限個(gè)，泊松分布 的隨機(jī)變量取值是無窮可列,它們屆丁離散型的。正態(tài)分布的隨機(jī)變量取值無窮 不可列,充滿某一區(qū)間,屆丁連續(xù)型的。3.適用的條件不同：二項(xiàng)分布用丁描述只有“成功”與“失敗”兩種試驗(yàn)結(jié) 果的數(shù)學(xué)模型。例如：某個(gè)學(xué)生做 n 道數(shù)學(xué)題，每道題的結(jié)果只有“對”與“錯(cuò)”， 若每題做對的概率已知，則可利用二項(xiàng)分布求出現(xiàn)在作坐標(biāo)變換2r=-e0 7T .e2rdr做對 k 道題的概率；泊松分布適 用丁描繪大量重復(fù)試驗(yàn)中稀有事件(飛機(jī)意外墜落、高樓突然倒塌等)；正態(tài)分布 用丁一個(gè)隨機(jī)變量由大

13、量相互獨(dú)立的偶然因素之和構(gòu)成，每個(gè)因素所起的作用對總的來說很微小。例如：某校 2002 級 3000 名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù),受每個(gè)學(xué)生考分的影響，但 每個(gè)學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)對總的分?jǐn)?shù)影響不大,所以,考試分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布。二、三種分布之間的聯(lián)系盡管三種分布有許多不同點(diǎn)，但它們之間還有著相互的聯(lián)系。在 n 次貝努力 試驗(yàn)中，二項(xiàng)分布的極限是泊松分布，我們可以用二項(xiàng)分布逼近泊松分布。反之， 也可以用泊松分布近似具有較大 n 的二項(xiàng)分布，即若已知泊松分布 P(入)，可用二 項(xiàng)分布 B(n，入/n)去逼近它；若已知二項(xiàng)分布 B(n，p)，可用泊松分布 P(入)近似二 項(xiàng)分布，其理論根據(jù)是近似公式：k鳥C；p

14、k(1-p)(E出(1)!這里要求 n較大,p 較小，舄=np。正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng) n 較大時(shí)，可用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布， 其近似公式為：Cnkpk(1-p)(J=中廣沖(2).np(1 - p) . np(1 - p)若叫 B(n，p),則有咐叫水2(k2；np)_以k1np)(3)np(1 - p) 一 np(1 - p)從上面可以看到，泊松分布和正態(tài)分布都是二項(xiàng)分布的極限分布，在滿足 一定條件下都能近似二項(xiàng)分布。在實(shí)際中，利用這種關(guān)系有時(shí)能夠帶來很多方便， 從而簡化計(jì)算。三、三種分布在實(shí)際中的應(yīng)用三種分布在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。二項(xiàng)分布適用丁抽查產(chǎn)品、能量供應(yīng)、藥 效試驗(yàn)、保

15、險(xiǎn)公司估計(jì)利潤等；泊松分布用丁公共汽車站來到的乘客數(shù)、電話總 機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)、運(yùn)輸損耗等；正態(tài)分布用丁年平均氣溫和降雨量、測量誤差、發(fā)電站電能消耗、人的身高和體重等。在日常生活、生產(chǎn)實(shí)際和 科學(xué)研究中，怎樣利用三種分布的特點(diǎn)及聯(lián)系，簡單準(zhǔn)確計(jì)算出所求事件的概率 呢？下面通過實(shí)際例子說明這一問題。例如：某大城市有一個(gè)繁忙的交通崗，若每天有 100000 人通過，每人出事故的 概率為 0.0001,求該天出事故的人數(shù) X 不超過 2 人的概率。解法一：顯然 X B(1000000,0.0001)，利用二項(xiàng)分布得 PX M2 =0.00276849這里 n 較大，p 較小，直接用二項(xiàng)分

16、布計(jì)算比較麻煩。f (x) = b -a0其他解法二：用泊松分布近似二項(xiàng)分布的方法計(jì)算，代入公式（1）得這里赤= np=10 ,直接查泊松分布表求出，產(chǎn)生的誤差為 5.仆 10 工。由此可 見，當(dāng) n較大時(shí)，p 較小時(shí)，泊松分布近似二項(xiàng)分布，其近似程度非常好，而 且計(jì)算簡單。解法三：用正態(tài)分布的分布函數(shù)近似二項(xiàng)分布的方法計(jì)算，由近似公式（3）得PX 三 2 ：，（一 2.53）-：，（-3.16） =0.00501這里直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表求得，其誤差為0.00224151 ,這比用泊松分布產(chǎn)生的誤差要大。在實(shí)際中，用二項(xiàng)分布計(jì)算量較大時(shí)，一般滿足0.1 苴 p 苴 0.9, Jnp（

17、1 p）芝 3 的條件下，采用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布的方法，較為 方便準(zhǔn)確有效。解法四：用正態(tài)分布的密度函數(shù)近似二項(xiàng)分布的計(jì)算方法，近似公式（2）1PX _2 ： - （3.16） （2.85） （2.53） =0.0081907.9.999這里通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)表直接求出，產(chǎn)生的誤差為 0.00542221,其誤差比上面的兩種近似求值所產(chǎn)生的誤差都大。所以，在實(shí)際中，當(dāng) p 不太接近 0 或 1, n 不太小，隨機(jī)變量的取值較小時(shí)，應(yīng)該利用近似（2） 計(jì)算，結(jié)果更準(zhǔn)確。從以上四種解法中可以得到： 對丁一個(gè)實(shí)際問題， 首先應(yīng)該根據(jù)三中分布 適用的條件，判斷是服從什么分布。然后用此分布去

18、解決問題。若隨機(jī)變量 XB（n,p）,當(dāng) n 不太大，p不很?。ㄒ话?nV 10, p 芝 0.001）時(shí)，可以用二項(xiàng)分布直接計(jì)算，也可以查二項(xiàng)分布表求出；當(dāng) n 芝 10, p 苴 0.1 ,且隨機(jī)變量的取值個(gè)數(shù)較少時(shí)，可以用泊松分布直接查表計(jì)算；當(dāng) 0.1 V p 菱 0.9,Jnp（1p）是 3,隨 機(jī)變量的取值比較多，用二項(xiàng)分布計(jì)算量太大時(shí)，可以用正態(tài)分布直接查表求 出結(jié)果。定義 2.2 （均勻分布）若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為2PX 2: K封k 1010 e_k!=0.002769則稱服從區(qū)間上的均勻分布，記作 XUa,b均勻分布描述的是在一個(gè)區(qū)間上等可能取值的分布規(guī)律，也即是說概率在該 區(qū)間上的分布是均勻的。均勻分布是最簡單。最基本的連續(xù)型分布，就像直線運(yùn) 動中的勻速運(yùn)動，物體中的均勻物體一樣.設(shè)某路公共汽車每 10 分鐘一趟，則 乘客的等車時(shí)間可認(rèn)為是在區(qū)間0, 10上均勻分布的.還可以把這個(gè)分布推廣到一個(gè)在實(shí)數(shù)軸上某個(gè)指定的長度不為 0 的集合 B 上的連續(xù)型均勻分布。相應(yīng)的密度函數(shù)為% = B的長度0,其余地方按連續(xù)型隨機(jī)變數(shù) X 的密度函數(shù)x)的定義，有X!F(x) = P(X Yx) = j(x)dx