完全平方數(shù)性質(zhì)

1、完全平方數(shù)的性質(zhì)定義：能表示為某個整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡稱平方數(shù)。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認識。一、平方數(shù)有以下性質(zhì)：【性質(zhì)1】完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9?！拘再|(zhì)2】奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。【性質(zhì)3】如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6;反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6,則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。推論1:如果一個數(shù)的十

2、位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6,那么這個數(shù)一定不是完全平 方數(shù)。推論2 :如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是 6,則它的十位數(shù)字是偶數(shù)?！拘再|(zhì)4】(1)凡個位數(shù)字是5，但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；(2) 末尾只有奇數(shù)個“ 0”的自然數(shù)(不包括0本身)不是完全平方數(shù)；100，10000，1000000是完全平方數(shù)，10，1000，100000等則不是完全平方數(shù)。(3) 個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。需要說明的是：個位數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)一定不是完全平方數(shù)，如：11, 31, 51, 74, 99, 211, 454, 879等一

3、定不是完全平方數(shù)一定不是完全平方數(shù)。但個位數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為偶數(shù)的自然數(shù)不都是完全平方數(shù)。如：21, 44, 89不是完全平方數(shù)，但49, 64, 81是完全平方數(shù)。【性質(zhì)5】偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是因為(2k+12=4k(k+1)+1 (2k)A2=4kA2【性質(zhì)6】奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型?！拘再|(zhì)7】平方數(shù)的形式一定是下列兩種之一：3k,3k+1 0注意：具備以上條件的不一定是完全平方數(shù)(如13, 21, 24, 28等)】【性質(zhì)8】不能被5整除的數(shù)的平方為5k± 1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型?！拘再|(zhì)9】

4、平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+。除了上面關(guān)于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13 13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位 數(shù)字相加：1+3=4, 4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：【性質(zhì)10】完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和只能是 0,1,4,7,9 。證明 因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k ± 1,9k

5、± 2, 9k ± 3, 9k ± 4這幾種形式，而(9k)A2=9(9kA2)+0(9k ± 1)A2=9(9kA2 ± 2k)+1 (9k ± 2)八2=9帥2 ± 4k)+4 (9k ± 3)八2=9帥2 ± 6k)+9 (9k ± 4)A2=9(9kA2 ± 8k+1)+7除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：【性質(zhì)11】aA2b為完全平方數(shù)的充要條件是 b為完全平方數(shù)。【性質(zhì)12】如果質(zhì)數(shù)p能整除a,但pA2不能整除a,則a不是完全平方數(shù)。證明 由題設(shè)可知，a有質(zhì)因子p,但

6、無因子pA2,可知a分解成標準式時，p的次方為1, 而完全平方數(shù)分解成標準式時，各質(zhì)因子的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)?！拘再|(zhì)13】在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即【性質(zhì)14】一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是 n有奇數(shù)個因子(包括1和n 本身)。【性質(zhì)15】完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個。約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個的自然數(shù)是完全平 方數(shù)?！拘再|(zhì)16】若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a,則pA2|a?！拘再|(zhì)17】任何四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個平方數(shù)。二、重要結(jié)論(不是完全平方數(shù)的特點)1. 個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；2. 個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的

7、整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；3. 個位數(shù)是6,十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；4. 形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；5. 形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；6. 形如5n± 2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；7. 形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7 型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；8. 數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)三、個位數(shù)與正整數(shù)幕正整數(shù)幕的個位與其底數(shù)的個位有周期性關(guān)系?！拘再|(zhì)1】和的個位數(shù)字是諸加項個位數(shù)字之和的個位數(shù)字.【性質(zhì)2】積的個位數(shù)字是諸因數(shù)個位數(shù)字之積的個位數(shù)字.四、例題剖析【例1】有一個1000位的數(shù)

8、,它由888個 1和112個0組成,這個數(shù)是否可能是一個平方數(shù)？ 解法一：這個1000位數(shù)的各位數(shù)字和為：888 24 6,根據(jù)各位數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)判定，此數(shù)不是完全平方數(shù)。解法二：設(shè)這個1000位數(shù)=A，是a的平方的完全平方數(shù)，因為A能被3整除，所以也能被3整除，即A能被9整除，但9不能整除888, 所以A不是完全平方數(shù)?！纠?】如果m是整數(shù)，那么m的平方+1的個位數(shù)可能是（）。解：因為完全平方數(shù)的個位數(shù)只能是0, 1, 4, 5, 6, 9，所以m的平方+1的個位數(shù)可能是1, 2, 5, 6, 7, 0【例3】有4個不同的數(shù)字可共組成18個不同的4位數(shù)。將

9、這18個不同的4位數(shù)由小到大排 成一排，其中第一個是完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均 數(shù)是多少？解：（1）由4個不同的數(shù)字可以構(gòu)成：4*3*2*1=24個不同的4位數(shù)，只能構(gòu)成18個4位數(shù) 說明含有一個數(shù)字“ 0”，即：3*3*2*1=18。（2）這些4位數(shù)中，最小的為 a0bc,次大的為cb0a （其中0<a<b<c）。（3）完全平方數(shù)的個位數(shù)只能是0，1, 4, 5, 6, 9，令c=9,則b必須為偶數(shù)（試取8），a取1 （1+0+8+9=149, 完全平方數(shù)的各位數(shù)字 之和只能是0,1,4,7,9 ）,得：1089=33的平方，9801=99的

10、平方。（4）平均數(shù)的千位數(shù)：（1+8+9） *6/18=6百、十、個位數(shù)：（1+8+9+0）*4/18=4所求：6444【例4】1987的1987次幕乘以1988的1988次幕乘以1989的 1989次幕的個位數(shù)是幾？解：先要確定高次幕的個位數(shù)周期1987的 1, 2, 3, .1987 次幕的個位數(shù)分別是 7, 9, 3, 1, 7, 9.，周期為 7, 9, 3, 1這4個個位數(shù)循環(huán)，1987十4.3,所以的個位數(shù)為3;1988的 1, 2, 3, .1988 次幕的個位數(shù)分別是 8, 4, 2, 6, 8, 4.，周期為 8, 4, 2, 6這4個個位數(shù)循環(huán)，1988十4.0,所以的個位數(shù)為6;1989的 1, 2, 3,