空間向量與立體幾何知識(shí)總結(jié)

1、輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)授課教師：全國章年級：高二上課時(shí)間：教材版本：人教版總課時(shí)：已上課時(shí)：課時(shí)學(xué)生簽名：課題名稱教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)教學(xué)步驟及內(nèi)容空間向量與立體幾何一、空間直角坐標(biāo)系的建立及點(diǎn)的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量幾 設(shè)（單位正交基 底）為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（4，°2,6）,使金=亦+。2 ） +。3左，有序?qū)崝?shù)組（4，°2，“3） 叫作向量方在空間直角坐標(biāo)系0-勺2中的坐標(biāo)，記作厶=（4，他,佝）在空間直角坐標(biāo)系0-廠2 中，對空間任一點(diǎn)4,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使OA = xi + yj + zk ,有序

2、實(shí)數(shù)組（x,y,z） 叫作向量4在空間直角坐標(biāo)系O-qz中的坐標(biāo)，記作A（x, y, z.） , x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，乙 叫豎坐標(biāo).二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律7若° = （°衛(wèi)2心），厶= （%$上3）'則 a + h = （a +%°2 +億（3 +伏），a-b = （al _%“2 _化43仇）， 加=（加,加九3）（幾 w R） 9d/boq =肋,°2 =肋2，。3 =慫（丸£7?）,（2）若A（xpypz）,B（X2,2憶2）,則人3 =（兀2_心歹2_才必2_石）一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的

3、終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn) 的坐標(biāo)。b = Aat(3) a/b<>b = Aa l=(2 e /?)三、空間向量直角坐標(biāo)的數(shù)量積1、設(shè)二&是空間兩個(gè)非零向量,我們把數(shù)量abcos<a9b>叫作向量打的數(shù)量積，記作方& 即a b = a7jcos<a,b> 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。2、模長公式3、兩點(diǎn)間的距離公式：若A(xryvz), B(x2,y2,z2),則 I AB l= IaB' = yl(x2 - x )2 +(y2- y, )2 + (z2 - z, )2 , 或 dAR = yl(x2 -xt)2 +(y2-ylY

4、+(z2-zi)2 .4、夾角：cos(&乙)=一" .注："丄乙od 乙= 0(g乙是兩個(gè)非零向量);/ aAb®a=a-ci = a o5、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：® a-e = a cos< ci.e > 丄 /?<=>«/?= 0 . (3)l<i l2=d-a .6、運(yùn)算律 a b = b a ；（人a） - b = A（h - a）； a （b + c） = a b + a c四、直線的方向向量及平面的法向量1、直線的方向向量：我們把直線/上的向量；以及與：共線的向量叫做直線/的方向向量2、平面的

5、法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面a ,則稱這個(gè)向量垂直 于平面a,記作：丄a,如果匚丄a,那么向量7叫做平面a的法向量。注：若/丄a,則稱直線/為平面a的法線； 平面的法向量就是法線的方向向量。 給定平面的法向量及平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定一個(gè)平面。3、在空間求平面的法向量的方法：(1) 直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。(2) 待定系數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系 設(shè)平面的法向量為” =(x, y, z) 在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量° =石)和 /； = (吃,兀憶2)一 一 cB 建立方程組：丫/_7 解方程組，取其中的一組解即可。五、證明1、證明兩直

6、線平行已知兩直線a和方，A,Ben,C,£>eZ?,則allb <=>存在唯一的實(shí)數(shù)；I使AB = ACD2、證明直線和平面平行(1 )已知直線acza,A,Bea,C,DyEea且三點(diǎn)不共線，則a / a O存在有序?qū)崝?shù)對使 AB = ACD + pCE(2)已知直線*和平面&的法向量：，則a / a>AB丄：3、證明兩個(gè)平面平行已知兩個(gè)不重合平面a, 0 ,法向量分別為?, n，則a / ft u> m / n4、證明兩直線垂直已知直線 a,bo A、B wu,C,D w b ,則 a 丄 b <=> AB CD = 05、證明直

7、線和平面垂直已知直線“和平而c ,且A、B W d，面a的法向量為“2 ,則"丄a/m6、證明兩個(gè)平面垂直已知兩個(gè)平面a.p ,兩個(gè)平面的法向量分別為rn.n，則a丄Q o “?丄巾六、計(jì)算角與距離1、求兩異面直線所成的角已知兩異面直線A.B則異面直線所成的角&為:COS& =ABCD例題 【空間向量基本定理】 例1已知矩形ABCD, P為平面ABCD夕|、一點(diǎn)，且PA丄平面ABCD, M、N分別為PC、PD上的 乩 且M分阮成定比2, N分PD成定比1,求滿足麗=龍両竹匝"麗的實(shí)數(shù)x、y、z的值。分析；結(jié)合圖形，從向量麗出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，

8、直到全部向量都 用麗、而、麗表示出來，即可求出x、y、z的值。如圖所示，取PC的中點(diǎn)E,連接NE,則MN = EN-EMO點(diǎn)評：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解 決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公 式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如 此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合， 組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說明，用空間三個(gè)不共面的向量組,c可 以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的?！纠每臻g向量證明平行、

9、垂直問題】例2.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD, PD二DC, E 是PC的中點(diǎn)，作EF丄PB于點(diǎn)F。(1)證明:方形ABCDAiBiciDi中，E、F分別是AiDi,直£1的中點(diǎn)，求:(1) 異面直線AE與CF所成角的余弦值;(2) 二面角CAEF的余弦值的大小。點(diǎn)評：(1)兩條異面直線所成的角&可以借助這兩條直線的方向向量的夾角v求得，即cos 6=| cos 甲 |(2)直線與平面所成的角8主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得 艮卩 sin 6=| coscp| cos9= sin cp(3) 二面角的大小可以通過

10、該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量 的夾角或其補(bǔ)角?！居每臻g向量求距離】例4.長方體ABCDAiBiciDi中，AB二4, AD=6,叢產(chǎn)4, m是AG的中點(diǎn)，P在線段BC上, 且|CP|=2, Q是DM的中點(diǎn)，求：(1) 異面直線AM與PQ所成角的余弦值；(2) M到直線PQ的距離；(3) M到平面AB,P的距離。本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解 決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)， 但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教

11、材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個(gè)新 的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。(1)平面的法向量的求法：設(shè)n=(Xy，z),利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a, b垂直，其數(shù) 量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。(2)線面角的求法：設(shè)畀是平面的一個(gè)法向量，A斤是平面的斜線/的一個(gè)方向向 量，則直線2與平面所成角為&則sin& =(3) 二面角的求法：AB, CD分別是二面角"1卩的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的異面直 線，則二面角的大小為Rb，cd)。cosnL, n2 )=-,(叫,口)設(shè)巾心分別是二面角厲1卩的兩個(gè)平面邙的法向量，則M-就是二面角的平面角或其補(bǔ)

12、角。(4) 異面直線間距離的求法：是兩條異面直線，n是1】宀的公垂線段AB的方向向 |g|= |DC|量，又C、D分別是上的任意兩點(diǎn)，則_曲o(5) 點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平 I忑口|面6的距離為mi o(6) 線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用(5)中方法求解。練習(xí)：1若等邊AABC的邊長為2x/3 平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM =-CB + -CA 則MAMB =632.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A (1, 0, 2) , B(1, -3, 1),點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是o3.(本小題滿分12分)如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A丄平面ABCD,AD 丄丄丄 PAC丄 ABC AABC AC E、F、O PA PB AC AC = 16 PA = PC = 10 G OC FG/ 2加丄BOE M OA OB圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD ,點(diǎn)(I )求證：平面AEC丄平面(II )當(dāng)=近AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.BOE AAB