第一章 微分學(xué)

1、第一章 微分學(xué)第一節(jié) 數(shù)數(shù)是數(shù)學(xué)面對(duì)的基本對(duì)象。我們從熟悉數(shù)開(kāi)始。什么是數(shù)？我們現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造它。定義：數(shù)軸是一條規(guī)定了起點(diǎn)、方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)。起點(diǎn)稱(chēng)為0點(diǎn)，方向向右，單位長(zhǎng)度稱(chēng)為1。如圖：0 1于是，以0點(diǎn)為圓心，以1的長(zhǎng)度為半徑向右畫(huà)弧，可得弧與直線(xiàn)的交點(diǎn)，記為1點(diǎn)。又以1點(diǎn)為心，1的長(zhǎng)度為半徑再畫(huà)弧得交點(diǎn)，記為2點(diǎn)。如此下去，記為n點(diǎn)。于是，我們?cè)跀?shù)軸上得到了無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的集合N，稱(chēng)此為自然數(shù)集。這個(gè)集合根據(jù)構(gòu)造，有如下特點(diǎn)： （1），這是最基本的元素，是對(duì)事物質(zhì)的規(guī)定。（2），稱(chēng)此為歸納原理。這是對(duì)事物量的發(fā)展。問(wèn)題來(lái)了，這些數(shù)N如何表示？它們有什么性質(zhì)？這是中國(guó)古代關(guān)于大數(shù)的表示：元代

2、著名數(shù)學(xué)家朱世杰在他的經(jīng)典著作算學(xué)啟蒙“大數(shù)之類(lèi)”一段中記載：“凡數(shù)之大者，天莫能蓋，地莫能載，其數(shù)不能極，故謂之大數(shù)也?！薄耙?，十，百，千，萬(wàn)，十萬(wàn)，百萬(wàn)，千萬(wàn)，萬(wàn)萬(wàn)曰億，萬(wàn)萬(wàn)億曰兆，萬(wàn)萬(wàn)兆曰京，萬(wàn)萬(wàn)京曰陔，萬(wàn)萬(wàn)陔曰秭，萬(wàn)萬(wàn)秭曰壤，萬(wàn)萬(wàn)壤曰溝，萬(wàn)萬(wàn)溝曰澗，萬(wàn)萬(wàn)澗曰正，萬(wàn)萬(wàn)正曰載，萬(wàn)萬(wàn)載曰極，萬(wàn)萬(wàn)極曰恒河沙，萬(wàn)萬(wàn)恒河沙曰阿僧祗，萬(wàn)萬(wàn)阿僧祗曰那由他，萬(wàn)萬(wàn)那由他曰不可思議，萬(wàn)萬(wàn)不可思議曰無(wú)量數(shù)?！毕日f(shuō)集合，它比數(shù)更基本。集合是不定義名詞，是關(guān)注對(duì)象全體的抽象。抽象表達(dá)的形式是符號(hào)。符號(hào)就是一些表意的圖形。集合盡管是符號(hào)，但對(duì)它的內(nèi)涵還是有要求的。我們說(shuō)給定集合A指的是：中元素的規(guī)定。（注意，集合僅

3、是規(guī)定它的元素，沒(méi)有構(gòu)造的意思。）規(guī)定必須做到：（1） A與非A可識(shí)別（2） A內(nèi)元素可區(qū)別（3） A中元素是不可分割的最小單位（4） A自己不能作為A中的元素前3個(gè)要求是自然的，為什么要加入第4個(gè)要求？羅素悖論：若集合放松第4個(gè)要求，那么，把一切集合分成A，B兩類(lèi)，和。 問(wèn)屬于哪一類(lèi)？若則與的定義矛盾，若，則，這又與的定義矛盾。所以，集合本身不能屬于自己。否則，會(huì)造成邏輯上層次的混淆。注：把單個(gè)元素也可以看成是一個(gè)集合，與有層次上的差別，。集合有全集、子集和空集，有基本的運(yùn)算：并、交和取余，運(yùn)算有交換律、結(jié)合律和分配律成立，等等性質(zhì)。這里就不再詳細(xì)展開(kāi)。·自然數(shù)集合的十進(jìn)制表示：令

4、集合是一些符號(hào)，稱(chēng)其為阿拉伯?dāng)?shù)字。（注：據(jù)考證此符號(hào)最早來(lái)源于古印度。）我們用它來(lái)表示同類(lèi)項(xiàng)中量的多少的規(guī)定。把所謂“數(shù)數(shù)”叫做加法。用符號(hào)“+”表示。（加法符號(hào)的由來(lái)查百度網(wǎng)，很方便。）加法是人類(lèi)文明跨入抽象思維的第一步，在人對(duì)物的質(zhì)的規(guī)定認(rèn)識(shí)清楚后，加法是量的關(guān)系中最簡(jiǎn)單最直觀的運(yùn)算。其本質(zhì)是同類(lèi)東西的合并“合并同類(lèi)項(xiàng)”。它與集合的并是有本質(zhì)區(qū)別的，。這里的7不是所具有的東西。這是加法帶來(lái)的內(nèi)涵。定義: 對(duì)自然數(shù)集N（就是前面數(shù)軸上構(gòu)造的那些點(diǎn)。）規(guī)定十進(jìn)制加法表示如下：， ， ， ，。（逢十進(jìn)一）由此規(guī)定，當(dāng)，那么，其中，。并稱(chēng)為自然數(shù)集A的十進(jìn)制表示。顯然，由加法的定義得出，即交換律和

5、結(jié)合律成立，等等。 加法的幾何意義從數(shù)軸上看是明顯的。以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧得到的交點(diǎn)。結(jié)論：自然數(shù)集N是一個(gè)有加法運(yùn)算結(jié)構(gòu)的特殊集合。注：自然數(shù)集除了我們熟知的十進(jìn)制表示，還可有二進(jìn)制表示。故它的表示是不唯一的。不管幾進(jìn)制，運(yùn)算封閉，有零元，有單位元，交換律和結(jié)合律成立是本質(zhì)的。 自然數(shù)集的擴(kuò)張： 可以按構(gòu)造自然數(shù)集的規(guī)則中把向右畫(huà)弧改成向左，（另一種規(guī)則?。┧媒稽c(diǎn)的全體集合記成。由此得，任何一個(gè)N中的點(diǎn)都有一個(gè)中對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)它為的負(fù)元。把它們合并，稱(chēng)為整數(shù)集。我們把再自然數(shù)集中的加法的概念推廣到整數(shù)集中，規(guī)定：。這樣，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是，所以，。所以，即負(fù)負(fù)得正。這是我們第一次通

6、過(guò)規(guī)定得到的邏輯結(jié)果。為什么要這樣做？從邏輯的角度，我們常常會(huì)面對(duì)加法的反問(wèn)題：。這種在整數(shù)集中未知元的求解問(wèn)題就可以由此來(lái)定義加法的逆運(yùn)算減法。注意，所以，僅在自然數(shù)集N中，求未知數(shù)加某一已知數(shù)使得等于另一已知數(shù)的運(yùn)算是不封閉的。此外，所謂減法運(yùn)算與負(fù)元的加法是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，從物理上看，加號(hào)是規(guī)定物體向右運(yùn)動(dòng)，減號(hào)是物體向左運(yùn)動(dòng)。 我們看到，反問(wèn)題可以加深我們對(duì)概念理解。 進(jìn)一步，在整數(shù)集合中，如果遇到多個(gè)相同元素相加，即“連加”?？梢栽俣x一種新的運(yùn)算乘法。（這僅僅是乘法的一種含義！）且規(guī)定。如： ，它的含義是“提取公因子”，它可以簡(jiǎn)化加法運(yùn)算。由定義知，等等運(yùn)算性質(zhì)。整數(shù)集有了加法

7、和乘法運(yùn)算，內(nèi)容就豐富多了，最有意思的問(wèn)題就是整數(shù)的因子分解。如至今還沒(méi)有解決的問(wèn)題哥德巴赫猜想：任何一個(gè)合數(shù)可以寫(xiě)成二個(gè)素?cái)?shù)之和。注：乘法還有復(fù)合運(yùn)算的含義，它比“提取公因式”的內(nèi)涵深刻得多?？梢宰C明，整數(shù)中關(guān)于乘法運(yùn)算仍是封閉的。但是關(guān)于乘法的逆運(yùn)算除法，即反問(wèn)題：？的求解問(wèn)題，在中又不行了。 我們又需要把整數(shù)集擴(kuò)張。規(guī)定：。稱(chēng)為的逆元，記。含義是分割。即將1分成等分中的一份，在數(shù)軸上點(diǎn)的位置可以通過(guò)等分單位線(xiàn)段得到。它們是在數(shù)軸上生成的一些新的點(diǎn)集。定義：含有0和1兩個(gè)元素，且對(duì)所有關(guān)于加法和乘法及其它們的逆運(yùn)算（減和除）都封閉的點(diǎn)的集合稱(chēng)為有理數(shù)集，記成。根據(jù)有理數(shù)集的構(gòu)造，有形式：

8、，我們把這樣的數(shù)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)或稱(chēng)有理數(shù)。（其實(shí)稱(chēng)分割數(shù)或比例數(shù)更合適，幾何意義更明顯。但我們必須尊重歷史，不能改變歷史。） 根據(jù)有理數(shù)的可分性，有理數(shù)集有一個(gè)重要性質(zhì)就是，它在數(shù)軸上是處處稠密的。即任意兩個(gè)有理數(shù)中間一定有另一個(gè)有理數(shù)。問(wèn)題來(lái)了，是不是所有理數(shù)集充滿(mǎn)了整個(gè)數(shù)軸？請(qǐng)看數(shù)和的作圖，如圖：斜邊的長(zhǎng)是所有有理數(shù)平方小于2的一個(gè)上界。這個(gè)長(zhǎng)度是無(wú)法通過(guò)有限次分割得到?？梢宰C明，數(shù)軸上有無(wú)窮多的點(diǎn)是無(wú)法通過(guò)有限次“等分分割”得到的。但是可以感覺(jué)到，我們能用“等分分割”得到的點(diǎn)不斷去接近這些點(diǎn)。這就是利用了有理數(shù)集在數(shù)軸上的稠密性。我們可以找到一個(gè)有理數(shù)列與該點(diǎn)無(wú)限接近。于是，我們?yōu)椤盁o(wú)限接近”

9、引入一個(gè)重要的基本概念數(shù)列的極限。請(qǐng)看如下數(shù)列： ，那么有： ， ，。所以，我們可以構(gòu)造一個(gè)有理數(shù)序列，使得它可以無(wú)限逼近數(shù)。采用這種無(wú)限逼近的方法，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)，我們可以用分割得到的點(diǎn)來(lái)得到。 這個(gè)事實(shí)很重要，我們把這一事實(shí)歸納陳述如下：一個(gè)數(shù)列就是數(shù)軸上可以與自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。這樣的數(shù)列可以有無(wú)限多，我們可以把所有這樣的的數(shù)列分成兩類(lèi)，一類(lèi)是能無(wú)限接近某點(diǎn)的數(shù)列，記成，如，等等。另一類(lèi)是不能無(wú)限接近某點(diǎn)的數(shù)列，如，等等。把所有與第一類(lèi)中有理數(shù)列無(wú)限接近的點(diǎn)擴(kuò)張到數(shù)集中：，稱(chēng)其為實(shí)數(shù)集。且不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)?？梢?jiàn)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。實(shí)數(shù)集與數(shù)軸是一一對(duì)應(yīng)的。即任何實(shí)數(shù)

10、對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一一個(gè)點(diǎn)，且數(shù)軸上任意點(diǎn)有唯一的實(shí)數(shù)與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)。這是一個(gè)很重要的假定，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。也稱(chēng)為實(shí)數(shù)集的完備性。我們還可以把改寫(xiě)成其他的極限運(yùn)算的符號(hào)形式：和極限加上無(wú)窮小的形式。稱(chēng)為無(wú)窮小，就是無(wú)限接近0的任意數(shù)列。極限的嚴(yán)格專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)陳述為：。（不去管它?。┯纱?，我們可得出無(wú)窮小的性質(zhì)：無(wú)窮小的加、減、乘運(yùn)算是封閉的，且無(wú)窮小乘任意有限數(shù)仍為無(wú)窮小。（為什么除不行？）由此，可得出極限運(yùn)算有性質(zhì)：如果，那么，。即極限也可以方便的做加減乘除運(yùn)算，并且在實(shí)數(shù)集上運(yùn)算是封閉的。并且冪運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算都是封閉的。利用極限的運(yùn)算性質(zhì)，可以方便的求得實(shí)數(shù)數(shù)列的極限。但我們需

11、要保證數(shù)列有極限才能做四則運(yùn)算，沒(méi)有極限的數(shù)列，極限的加減乘除運(yùn)算性質(zhì)是不一定成立的。具體舉例：例如， ， ， ，。例1. 例2. 例3.充分性判斷： ，（1） ；（2）。有一類(lèi)數(shù)列極限的存在性是通過(guò)分析得出來(lái)的，我們有二個(gè)重要定理。定理一：，且，則。稱(chēng)其為夾逼定理。定理二：數(shù)列單調(diào)、有界，則。也稱(chēng)單調(diào)有界有極限。 兩個(gè)重要極限：（1）證明：我們證明數(shù)列單調(diào)遞增、有界，故有極限存在。因?yàn)椋?。所以，有界。又因?yàn)椋?。所以，單調(diào)遞增。這個(gè)極限是個(gè)無(wú)理數(shù)，把它記成。由于對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有使得，再由單調(diào)增性，再由夾逼定理，我們有極限公式：。又因?yàn)椋?。 所以，不論向左還是向右趨于正負(fù)無(wú)窮，都有成立。這是

12、在網(wǎng)上下載的一個(gè)關(guān)于這個(gè)極限的有趣故事：最終經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)70余人投票，王尊（吉林大學(xué)汽車(chē)工程學(xué)院）憑借他別出心裁的以數(shù)學(xué)公式為切入點(diǎn)的作品榮獲冠軍。（2），此意味對(duì)任意趨于0的實(shí)數(shù)列，都有成立。證明：因?yàn)楫?dāng)，有。從圖形上看這是明顯的。由，再由，倒過(guò)來(lái)，不等式反號(hào)，所以，因?yàn)?，再由夾逼定理，最后得，。又因?yàn)楫?dāng)，。所以，不論從左還是從右邊趨于零極限公式都成立。這兩個(gè)重要極限我們后面要用到。數(shù)的概念、運(yùn)算、性質(zhì)和極限的概念就講這些，我們有些練習(xí)要做，只要求理解。關(guān)鍵是要掌握數(shù)列極限的概念。下面講數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，為此我們要引入重要的基本概念函數(shù)。第二節(jié)函數(shù)函數(shù)我們?cè)诟咧芯蛯W(xué)過(guò)了。這是我們后面要面對(duì)的基本對(duì)

13、象。這里我們換一種直觀幾何的敘述方式。首先，利用數(shù)軸建立直角坐標(biāo)系。1 直角坐標(biāo)把兩個(gè)數(shù)軸在0點(diǎn)垂直相交就建立了一個(gè)平面上的直角坐標(biāo)系。如圖： Y P 0 X 這樣，平面上的任何一點(diǎn)P就與它的坐標(biāo)二元數(shù)組建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系的建立，看似簡(jiǎn)單，有了坐標(biāo)，它把許多幾何上的直觀概念用方程的形式聯(lián)系起來(lái)了。數(shù)和形的關(guān)系就得到了統(tǒng)一。平面上點(diǎn)集合的一些基本概念：圖形：平面上任意點(diǎn)的子集。曲線(xiàn)與方程：曲線(xiàn)是平面上點(diǎn)的軌跡，方程是含未知數(shù)的等式。在直角坐標(biāo)系上，曲線(xiàn)與方程可以建立一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，曲線(xiàn)可用方程表示，也可用參數(shù)方程，表示。如，直線(xiàn)： 。單位圓：，或，。拋物線(xiàn)： 。等等。所以，在有了

14、直角坐標(biāo)系之下，曲線(xiàn)就是方程，方程也是曲線(xiàn)。代數(shù)與幾何可以方便的聯(lián)系在一起。 根據(jù)曲線(xiàn)的直觀特點(diǎn)，我們把曲線(xiàn)又分成：有間斷點(diǎn)的曲線(xiàn)，稱(chēng)為分段曲線(xiàn)；沒(méi)有間斷的曲線(xiàn)，稱(chēng)為連續(xù)曲線(xiàn)；沒(méi)有“尖點(diǎn)”的曲線(xiàn)，稱(chēng)為光滑曲線(xiàn)。如，是分段曲線(xiàn)，是有尖點(diǎn)的曲線(xiàn)，是光滑的閉合曲線(xiàn)，是有尖點(diǎn)的閉合曲線(xiàn)，等等。 以上的內(nèi)容很重要，從圖形上來(lái)理解函數(shù)，會(huì)很方便。如果我們對(duì)平面上的曲線(xiàn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿魂P(guān)注其中的某一特殊線(xiàn)段，我們就可以定義一類(lèi)重要的曲線(xiàn)函數(shù)。它的嚴(yán)格表述如下。函數(shù)：，如果，存在唯一的與之對(duì)應(yīng)。記成。注意，函數(shù)有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1） 定義域，自變量的取值范圍。它是可以自主限定的。（2） 值域，因變量的取值范圍

15、。它是受對(duì)應(yīng)規(guī)則限制的，故它是派生的。（3） 對(duì)應(yīng)規(guī)則，這里關(guān)鍵是對(duì)應(yīng)是存在唯一的。例1：?jiǎn)挝粓A：就不是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，但加上限制，上半圓。或，下半圓，都在區(qū)間上確定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系。例2：狄利克雷函數(shù)： 當(dāng)是無(wú)理數(shù)； 當(dāng)是有理數(shù)。雖然該函數(shù)不是一條完整意義上的曲線(xiàn)，且無(wú)法畫(huà)出它的圖像，但根據(jù)定義，它是一個(gè)函數(shù)。例3：，；，。這也定義了一個(gè)函數(shù)，特點(diǎn)是在0點(diǎn)無(wú)限震蕩。 如果把函數(shù)放到直角坐標(biāo)系上去看，幾何直觀上看，函數(shù)就是一段可以有“波浪”，可以有“斷點(diǎn)”，“尖點(diǎn)”，但是“不能回頭”的曲線(xiàn)。 我們?cè)诟咧幸呀?jīng)熟悉了許多基本的初等函數(shù)及其圖像：1 一次函數(shù)：，圖像是一條直線(xiàn)，其中是斜率，是截距。2 二

16、次函數(shù)：，圖像是一條拋物線(xiàn)。開(kāi)口向上；反之，向下。3 多項(xiàng)式函數(shù)：，它在軸上最多有個(gè)交點(diǎn)。 4 冪函數(shù)：，特別，稱(chēng)為比例函數(shù)。圖像是過(guò)點(diǎn)的遞增（）或遞減（）的曲線(xiàn)。5 指數(shù)函數(shù)：，圖像是過(guò)點(diǎn)的遞增（）或遞減（）的曲線(xiàn)。6 對(duì)數(shù)函數(shù)：，圖像是過(guò)點(diǎn)的遞增（）或遞減（）的曲線(xiàn)。它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即，。特別，取以極限為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，記成。7 三角函數(shù)：，。8 反三角函數(shù)： ，；，。注：也可以建立平面上的極坐標(biāo)系。它對(duì)于描述旋轉(zhuǎn)更加方便。下面我們要專(zhuān)門(mén)研究一類(lèi)重要的函數(shù)光滑函數(shù)，它是光滑曲線(xiàn)的部分。所謂“光滑”就是曲線(xiàn)上每一點(diǎn)都有它的切線(xiàn)存在。切線(xiàn)就是該直線(xiàn)與光滑曲線(xiàn)相交且僅相交于一點(diǎn)的

17、直線(xiàn)。它的幾何意義是明顯的。如圖：注意，光滑曲線(xiàn)只是一種幾何直觀，嚴(yán)格的表述就是下面要講的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的概念。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)如上圖，在直角坐標(biāo)系上，光滑函數(shù)上每點(diǎn)的切線(xiàn)都有它的斜率：。這個(gè)斜率如何獲取？如同前面在數(shù)軸上獲取某一實(shí)數(shù)一樣，我們采取無(wú)限逼近的手法。欲求光滑曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，具體操作是： 1 在點(diǎn)附近任意取一個(gè)數(shù)列，由此得相應(yīng)數(shù)列和點(diǎn)列。2 連接光滑函數(shù)上點(diǎn)與點(diǎn)，由此得到割線(xiàn)。3 割線(xiàn)與橫軸的夾角為，那么就是割線(xiàn)的斜率。4 顯然有，當(dāng)，。把以上描述換一種統(tǒng)一規(guī)范的符號(hào)寫(xiě)法：定義：令，那么，。由于任意，干脆去掉下標(biāo)，表示任意，稱(chēng)為自變量的增量；，稱(chēng)為函數(shù)的增量。如果極限存在，就稱(chēng)該

18、極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為。 幾何上看，顯然是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的斜率。又如果對(duì)任意的，導(dǎo)數(shù)都存在。這樣在上就建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系，它是由函數(shù)誘導(dǎo)出的，我們稱(chēng)此為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記成。又把極限形式記為“比例”的形式，故。注意，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是光滑曲線(xiàn)上切線(xiàn)的斜率。它的確定僅與曲線(xiàn)所定義的函數(shù)在點(diǎn)處的鄰域有關(guān)，與整體無(wú)關(guān)。注意，導(dǎo)數(shù)不是比例，它是一系列比例的一種特殊極限。這導(dǎo)致在函數(shù)定義域中某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在。例如，我們來(lái)看它在0點(diǎn)的斜率。得出，當(dāng)，；當(dāng)，。因此，在包含0點(diǎn)的區(qū)間上，的導(dǎo)函數(shù)不存在。這說(shuō)明不是所有的函數(shù)都是可以求導(dǎo)數(shù)的。幾何上看，有間斷、有尖點(diǎn)、無(wú)限震蕩的函數(shù)導(dǎo)數(shù)都不存在。 通俗的說(shuō)，求

19、導(dǎo)數(shù)就是求函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。希望大家從幾何上入手，在概念上準(zhǔn)確理解，數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)。僅僅知道一些符號(hào)和公式是沒(méi)有用的！這里發(fā)生了什么？要求了什么？得到了什么？導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用：變化率：價(jià)格隨供求的變化率，貨幣隨利率的變化率，等等；變化率就是導(dǎo)數(shù)。它表示發(fā)展的方向和趨勢(shì)。增長(zhǎng)率：如果且導(dǎo)數(shù)存在，那么；它表示增量與存量的比例關(guān)系。彈性：。它是兩個(gè)相關(guān)經(jīng)濟(jì)變量的變化率之比。含義是自變量每1%變化對(duì)因變量產(chǎn)生的變化。第四節(jié)求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則直接從函數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是件很麻煩的事。我們需要一些基本的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則來(lái)幫助我們方便的求得導(dǎo)數(shù)。這是基本功。一些基本公式：1常數(shù)，則2，則；

20、進(jìn)一步，則3，則證明：。利用公式3，兩邊取對(duì)數(shù)，既可證明公式2，也可以證明公式4。4，則，。特別，則。 。5，則證明：。6，則證明：7，則8，則求公式7和8要用到下面的求導(dǎo)法則。 一些基本的求導(dǎo)法則：1 求導(dǎo)的四則運(yùn)算；證明：。，。例如，由除法求導(dǎo)法則得公式7，。2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)：，那么，稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。那么，。把一些復(fù)雜的函數(shù)看成多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合能對(duì)求導(dǎo)運(yùn)算帶來(lái)很大方便。例1：，那么，。例2： ， 例3：充分性判斷， 且在0點(diǎn)處可導(dǎo)。 （1） ；（2）。3 隱函數(shù)求導(dǎo)由方程表示的光滑曲線(xiàn)的局部可以構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系，對(duì)求導(dǎo)而言這就夠了，我們不必把這種函數(shù)關(guān)系直接求解出來(lái)，然后再求導(dǎo)。而

21、是直接對(duì)方程按復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)先求導(dǎo)，再把導(dǎo)函數(shù)求解出來(lái)。先看一個(gè)例:，把看成的函數(shù)，兩邊對(duì)自變量直接求導(dǎo)得，所以，上半圓；，下半圓。 一般對(duì)，我們有， 。4 反函數(shù)求導(dǎo)，如果，那么，把看成的函數(shù)，那么，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，所以，。例：公式8，則。因?yàn)?，所以，由?又，則。因?yàn)?，所以，由。利用求?dǎo)公式和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要多練，上述基本公式和法則必須牢記，沒(méi)有任何捷徑可走。理解概念，記住公式，多多練習(xí)，形成條件反射。沒(méi)有捷徑可走。例1. 例2. 例3. 充分性判斷，設(shè)，則 （1） ； （2） .可以把求導(dǎo)的概念繼續(xù)推廣。函數(shù)求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)。如果導(dǎo)函數(shù)仍是光滑函數(shù)，還可以繼續(xù)求導(dǎo)。如此規(guī)定：，。

22、稱(chēng)為函數(shù)的二階、三階n階導(dǎo)數(shù)。這里在概念沒(méi)有太大的問(wèn)題，高階導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般往往是很復(fù)雜的。直觀看就是“相切”得更厲害。其實(shí)，函數(shù)與它的高階導(dǎo)數(shù)之間有很深刻的聯(lián)系。一些基本的高階導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)該記?。簞t ；則則則 我們來(lái)看一個(gè)復(fù)合函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的公式。通過(guò)它來(lái)熟悉概念。回憶復(fù)合函數(shù)：，那么，稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。則。 從而，?？梢?jiàn)，二階復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式就很麻煩了，高階更麻煩，所以不必記憶。具體問(wèn)題按求導(dǎo)法則一步一步往下做下去反而更方便。 利用高階導(dǎo)數(shù)，可以將函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式形式的冪級(jí)數(shù)。稱(chēng)為函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。它的幾何意義是，函數(shù)與某一多項(xiàng)式函數(shù)在點(diǎn)處有相同的0階，一階，、，n階導(dǎo)數(shù)，也就是特別的“相切

23、”。那么，多項(xiàng)式函數(shù)有：。所以，。如果，可以無(wú)限的求導(dǎo)下去，且，且有成立。那么，我們就把在點(diǎn)處附近展開(kāi)，寫(xiě)成：。規(guī)定滿(mǎn)足，成立條件的為收斂域。特別，取稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。一些基本函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式：（稱(chēng)此為泰勒展開(kāi)）1. ，收斂區(qū)域?yàn)?。（回憶導(dǎo)言講的愛(ài)情故事。）2. ，收斂區(qū)域?yàn)?。稱(chēng)此為推廣的二項(xiàng)式定理。 常用的不等式。3，收斂區(qū)域?yàn)?。4，收斂區(qū)域?yàn)?。（這是等比級(jí)數(shù)。）5，收斂區(qū)域?yàn)?。6，收斂區(qū)域?yàn)?。利用冪級(jí)數(shù)表示函數(shù)，我們可以做近似計(jì)算。例1計(jì)算的近似值。解：由，得：，且誤差。這樣做收斂速度太慢了?？紤]，所以，。再令，解得位于收斂區(qū)域中。所以，。如果取前4項(xiàng)作為的近似，可得。如果考慮誤差w，那么：。并由此可做的近似計(jì)算：。思考：如何做的近似計(jì)算？例2證明，有極限。證明：數(shù)列單調(diào)遞增是顯然的，只要證明有上界即可。事實(shí)上，所以，極限存在。重要的是這個(gè)極限等于什么？此工作屬于歐拉。因?yàn)椋?所以，所以，。因?yàn)椋?有是方程的根。所以有因子分解， 。雙方右邊一次項(xiàng)展開(kāi)后的系數(shù)應(yīng)該相等。一方面的系數(shù)是，另一方面，的系數(shù)是。所以，即。證完。第五節(jié)微分、微分中值定理和洛比達(dá)法則學(xué)完導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，下面我們利用導(dǎo)數(shù)引入微分的重要概念。