北理工數(shù)值分析第八章非線性方程解法

1、1其中其中f (x) 為非線性函數(shù)為非線性函數(shù). 如如求求 f (x) = 0 的根的根, 123)(45 xxxxf. 2)ln(sin)(12 xxexfx第八章第八章 非線性方程求根非線性方程求根2上機(jī)作業(yè)：上機(jī)作業(yè)：求下列方程的非零根求下列方程的非零根 . 00918. 014006651. 05136651. 0513ln)( xxxxf3例例 若干年以前若干年以前, 美國原子能委員會(huì)準(zhǔn)備將濃縮的放美國原子能委員會(huì)準(zhǔn)備將濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶內(nèi)沉至海底射性廢料裝入密封的圓桶內(nèi)沉至海底. 但是但是, 當(dāng)時(shí)一些當(dāng)時(shí)一些科學(xué)家與生態(tài)學(xué)家都反對(duì)這種作法科學(xué)家與生態(tài)學(xué)家都反對(duì)這種作法.

2、 科學(xué)家用實(shí)驗(yàn)測(cè)科學(xué)家用實(shí)驗(yàn)測(cè)定出圓桶能夠承受的最大撞擊速度為定出圓桶能夠承受的最大撞擊速度為v=12.2 m/s, 如果如果圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度超過這個(gè)速度圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度超過這個(gè)速度, 將會(huì)因撞擊海將會(huì)因撞擊海底而破裂底而破裂, 從而引起嚴(yán)重的核污染從而引起嚴(yán)重的核污染. 然而原子能委員會(huì)然而原子能委員會(huì)卻認(rèn)為不存在這種可能性卻認(rèn)為不存在這種可能性. 根據(jù)圓桶的質(zhì)量根據(jù)圓桶的質(zhì)量, 體積以及體積以及海水的密度與海底的深度海水的密度與海底的深度, 通過建立數(shù)學(xué)模型得知圓通過建立數(shù)學(xué)模型得知圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度桶到達(dá)海底時(shí)的速度v (m/s)滿足如下方程滿足如下方程:那么圓桶到達(dá)海底時(shí)的速

3、度究竟會(huì)不會(huì)超過那么圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度究竟會(huì)不會(huì)超過12.2 m/s呢呢? . 088.1240)17. 1261ln(08.223 vv41 對(duì)分區(qū)間法對(duì)分區(qū)間法(二分法二分法)原理原理: 若若 f Ca, b，且，且 f (a) f (b) 0，則，則 f 在在(a, b) 上必有一根上必有一根. a, b 稱為稱為 f (x)=0的的有根區(qū)間有根區(qū)間.下文中下文中, 設(shè)設(shè) x* 是方程是方程 f (x)=0的根的根.5取取,20bax 不妨設(shè)不妨設(shè) f (a) 0. 若若 , 0)(0 xf則則;0*xx 若若, 0)(0 xf取取,01xa ;1bb 若若, 0)(0 xf.01xb

4、 取取,1aa 以以1, 1ba作為新的有根區(qū)間繼續(xù)迭代作為新的有根區(qū)間繼續(xù)迭代, 得有根區(qū)間序列得有根區(qū)間序列.,11 nnbababa 取取2nnnbax 為為*x的第的第n個(gè)近似值個(gè)近似值. 6abx0 x1ab停機(jī)準(zhǔn)則停機(jī)準(zhǔn)則11xxkk 21)(xfk 或或不能保證不能保證 x 的精度的精度x* 2xx*7誤差誤差 分析：分析：第第0步產(chǎn)生的步產(chǎn)生的20bax 有誤差有誤差20abx*|x 第第 k 步產(chǎn)生的步產(chǎn)生的 xk 有誤差有誤差12 kkabx*|x對(duì)于給定的精度對(duì)于給定的精度 ,可估計(jì)二分法所需的步數(shù)可估計(jì)二分法所需的步數(shù) k ： 12lnlnln21 abkabk簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單

5、; 對(duì)對(duì) f (x) 要求不高要求不高(只要連續(xù)即可只要連續(xù)即可) .無法求復(fù)根及偶重根無法求復(fù)根及偶重根 收斂慢收斂慢 8例例1 試用二分法求方程試用二分法求方程02010)(3 xxxf的唯一實(shí)根的唯一實(shí)根, 要求誤差不超過要求誤差不超過.105 . 04 解解, 09)1( f, 08)2( f1, 2為有根區(qū)間為有根區(qū)間;, 0103)( 2 xxff (x)單調(diào)增加單調(diào)增加, 方程有唯一根方程有唯一根.對(duì)分區(qū)間次數(shù)對(duì)分區(qū)間次數(shù).288.1312ln)105 . 0ln()12ln(4 n取取 n=14.9計(jì)算結(jié)果如下表計(jì)算結(jié)果如下表:nnanbnx)(nxf0 1 2 1.5 1.6

6、. 1.75 2.8.2. . . . .12 1.5944825 1.5947266 1.5946046 0.0007.13 1.5944825 1.5946046 1.5945436 0.0003.14 1.5945436 1.5946046 1.594574102010)(3 xxxf1.5 211.5 1.75 1.625 0.54.10f (x) = 0 x = g (x)等價(jià)變換等價(jià)變換f (x) 的根的根g (x) 的不動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)思思路路從一個(gè)初值從一個(gè)初值 x0 出發(fā)出發(fā), , 計(jì)算計(jì)算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), , xk+1 = g(xk), 若若 收

7、斂收斂, 即存在即存在 x* 使得使得 且且 g 連續(xù)連續(xù), , 則則由由 可知可知 x* = g(x* ),即即x* 是是 g 的不動(dòng)點(diǎn)，也就是的不動(dòng)點(diǎn)，也就是 f 的根的根. 0kkx*,limxxkk 1lim kkx ,limkkxg 2 迭代法迭代法11例例2 用簡(jiǎn)單迭代法求方程用簡(jiǎn)單迭代法求方程02010)(3 xxxf的根的根, 要求精確到要求精確到0.5 10-6. 解法一：解法一：20110)(3 xxxxf迭代格式迭代格式:,201131 nnnxxx取初值取初值 計(jì)算得計(jì)算得, 5 . 10 x,125. 01 x,376953.212 x,861.100233 x顯然此

8、迭代序列發(fā)散顯然此迭代序列發(fā)散.12例例2 用簡(jiǎn)單迭代法求方程用簡(jiǎn)單迭代法求方程02010)(3 xxxf的根的根, 要求精確到要求精確到0.5 10-6. 解法二：解法二：10200)(2 xxxf迭代格式迭代格式:,102021 nnxx初值初值, 5 . 10 x故故,6326531. 11 x,5790858. 12 x,5945629. 113 x,5945618. 114 x,5945622. 115 x61415105 . 0| xx計(jì)算得計(jì)算得.5945622. 115* xx 13例例2 用簡(jiǎn)單迭代法求方程用簡(jiǎn)單迭代法求方程02010)(3 xxxf的根的根, 要求精確到要求

9、精確到0.5 10-6. 解法三：解法三： xxxxf4 . 010204 . 110)(2迭代格式迭代格式:初值初值, 5 . 10 x,4 . 010204 . 1121 nnnxxx,5947522. 1, 5 . 110 xx,5945621. 14 x,5945621. 1,5945614. 132 xx計(jì)算得計(jì)算得14例例2 用簡(jiǎn)單迭代法求方程用簡(jiǎn)單迭代法求方程02010)(3 xxxf的根的根, 要求精確到要求精確到0.5 10-6. 解法四：解法四：,1020)(3xxxf 迭代格式迭代格式:初值初值, 5 . 10 x,10231nnxx ,6625. 1, 5 . 110

10、xx,5961283. 1,5925062. 11514 xx計(jì)算得計(jì)算得,5945619. 1,5945624. 14847 xx15上例表明上例表明, 對(duì)同一方程可構(gòu)造不同的迭代格式，對(duì)同一方程可構(gòu)造不同的迭代格式，產(chǎn)生的迭代序列收斂性也不同產(chǎn)生的迭代序列收斂性也不同. 迭代法的迭代法的收斂性收斂性與什么有關(guān)？與什么有關(guān)？ 怎樣構(gòu)造具有怎樣構(gòu)造具有收斂性收斂性的迭代法？的迭代法？16xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p117定理定理考

11、慮方程考慮方程 x = g(x), g(x) Ca, b, 若若( I ) 當(dāng)當(dāng) x a, b 時(shí)，時(shí)， g(x) a, b；( II ) 0 L 1 使得使得 | g (x) | L 對(duì)對(duì) x a, b 成立成立.則任取則任取 x0 a, b，由，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列得到的序列 收斂于收斂于g(x) 在在a, b上的唯一不動(dòng)點(diǎn)上的唯一不動(dòng)點(diǎn). 并且有誤差估并且有誤差估計(jì)式：計(jì)式： 0kkx|11|*|1kkkxxLxx ( k = 1, 2, )且存在極限且存在極限 *lim1xgxxxxkkk |1|*|01xxLLxxk k18證明：證明： g(x) 在在a, b上存

12、在不動(dòng)點(diǎn)？上存在不動(dòng)點(diǎn)？令令xxgxf )()(bxga )(,0)()( aagaf0)()( bbgbf)(xf有根有根 不動(dòng)點(diǎn)唯一？不動(dòng)點(diǎn)唯一？反證：若不然，設(shè)還有反證：若不然，設(shè)還有 ，則，則)(xgx ),*( )()(*)(xxgxgxg xx*在在和和 之間之間 *xx0)(1)( gxx*而而xxg*1| )(| 19 當(dāng)當(dāng)k 時(shí)，時(shí)， xk 收斂到收斂到 x* ？ |*|kxx|*| )(| )(*)(|111 kkkxxgxgxg0|*|.|*|01 xxLxxLkk ?|11|*|1kkkxxLxx |*|*|*|*|11kkkkkkxxLxxxxxxxx 可用可用 來來

13、控制收斂精度控制收斂精度|1kkxx 20?|1|*|01xxLLxxkk |.| )(| )()(|011111xxLxxLxxgxgxgxxkkkkkkkkkk ?*lim1xgxxxxkkk *)(*)*)(lim*lim1xgxxxxgxxxxkkkkkkk L 越越 收斂越收斂越快快小小21例例2 用簡(jiǎn)單迭代法求方程用簡(jiǎn)單迭代法求方程02010)(3 xxxf的根的根, 要求精確到六位小數(shù)要求精確到六位小數(shù). 解法一：解法一：2011)(3 xxxg迭代函數(shù)迭代函數(shù)14113)( 2 xxg 解法二：解法二：1020)(2 xxg迭代函數(shù)迭代函數(shù), 11180)10(40| )( |

14、222 xxxg對(duì)對(duì),2 , 1 x21120)(14201 xg故迭代法收斂故迭代法收斂. 22局部收斂定理局部收斂定理如果函數(shù)如果函數(shù) g (x) 在在x* 的某的某 鄰域鄰域B * = x | | x x* | *內(nèi)連續(xù)可微，且內(nèi)連續(xù)可微，且 x*= g(x*)， | g (x*) | 1，則存在正數(shù)，則存在正數(shù) ， *，由，由 x0 B 開開始的迭代收斂始的迭代收斂.該定理表明，若該定理表明，若| g (x*) | 1, 稱數(shù)列為稱數(shù)列為超線性收斂超線性收斂的；的；r =2, 稱數(shù)列為稱數(shù)列為平方收斂平方收斂的的.收斂階收斂階r 的大小刻劃了數(shù)列的大小刻劃了數(shù)列 的收斂速度，的收斂速度

15、，r越大，越大，收斂越快收斂越快. nx27定理定理設(shè)迭代函數(shù)設(shè)迭代函數(shù) g(x)在在 x*鄰近有鄰近有r階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且, 0)(, 0)()( ),(*)(*)1(* xgxgxgxgxrr則迭代公式則迭代公式 xk+1=g(xk) 所產(chǎn)生的迭代數(shù)列是所產(chǎn)生的迭代數(shù)列是 r階收斂的階收斂的.證明：證明：)(1kkxgx rkkrkxxrgxxxgxg*)(!)(.*)*)(*)()( *x0 k0!)(*)( rxgr故故.!)()(lim*)(*1rxgxxxxrrkkk 28 Aitken 加速有加速有 超線性收斂超線性收斂 .,0*lim xxxxkkkSteffense

16、n 加速加速有有 r = 2，條件是，條件是 平方平方 收斂收斂 ., 1*)( xg 對(duì)于對(duì)于簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法, 若若則有則有 線性收斂線性收斂., 0|*)(|*|*|lim1 xgxxxxkkk, 0)( * xg2930原理：原理：將非線性方程線性化將非線性方程線性化 ( Taylor 展開展開 )設(shè)設(shè) xn是是 x* 的第的第n個(gè)近似值個(gè)近似值, 將將 f (x)在在 xn 做做Taylor展開展開)()()(0nnnxxxfxfxf )()(*nnnxfxfxx 線性線性 /* linear */xyx*xn)()(1nnnnxfxfxx 只要只要 f C1，每一步迭代都，每一

17、步迭代都有有 f ( xn ) 0， 而且若而且若 則則 x*就是就是 f 的根的根.*,limxxnn 令令xn+13 牛頓法牛頓法31例例 用牛頓法求方程用牛頓法求方程02010)(3 xxxf的根的根, 取取 x0=1.5.解：解： 迭代公式為迭代公式為1032010231 nnnnnxxxxx代入初值得：代入初值得：,5945637. 1,5970149. 121 xx.5945621. 1,5945621. 143 xx可見牛頓法收斂很快可見牛頓法收斂很快.32定理定理 （收斂的充分條件收斂的充分條件）設(shè)）設(shè) f C2a, b，若，若(1) f (a) f (b) 0；則則Newto

18、ns Method產(chǎn)生的序列產(chǎn)生的序列 xk 收斂到收斂到 f (x) 在在 a, b 的唯一根的唯一根.有根有根根唯一根唯一產(chǎn)生的序列單調(diào)有產(chǎn)生的序列單調(diào)有界，保證收斂界，保證收斂.33 （局部收斂性局部收斂性）設(shè)）設(shè) f C2a, b，若，若 x* 為為 f (x) 在在a, b上的根，且上的根，且 f (x*) 0，則存在，則存在 x* 的鄰域的鄰域 使得任取初值使得任取初值 Newtons Method產(chǎn)生的序列產(chǎn)生的序列 xk 收斂到收斂到x*，且滿足，且滿足*)(xB *),(0 xBx *)(2*)()*(*lim21xfxfxxxxkkk 定理定理證明：證明：Newtons M

19、ethod 事實(shí)上是一種特殊的不事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代其中動(dòng)點(diǎn)迭代其中 則則,)()()(xfxfxxg 10*)(*)(*)(*)(2xfxfxfxg收斂收斂 34由由 Taylor 展開：展開：2)*(!2)()*)()(*)(0kkkkkxxfxxxfxfxf 2)*()(! 2)()()(*kkkkkkxxxffxfxfxx 1 kx)(2)()*(*21kkkkxffxxxx 只要只要 f (x*) 0, 則令則令 可得結(jié)論可得結(jié)論. k在在單根單根 附近收斂快附近收斂快再證：再證：.)( 2)( )()(lim*2*1*xfxfxxxxkkk 35Newtons Method

20、 收斂性依賴于收斂性依賴于x0 的選取的選取.x*x0 x0 x036 當(dāng)當(dāng)x*是方程的是方程的m重根時(shí)重根時(shí), 牛頓迭代法是牛頓迭代法是線性收斂線性收斂的的, 且且mmxxxxnnn1|*|*|lim1 ),(*)()(xhxxxfm , 0*)(2 xhm，整數(shù)整數(shù)則稱則稱 x*為方程為方程 f (x)=0的的m重根重根. 設(shè)設(shè)37 求重根的改進(jìn)求重根的改進(jìn)Newton法法), 2 , 1 , 0(,)( )(1 nxfxfmxxnnnn此時(shí)迭代函數(shù)此時(shí)迭代函數(shù))( )()(xfxfmxx 則則. 0*)( x 迭代法具有迭代法具有2階收斂階收斂，但要知道，但要知道x*的重?cái)?shù)的重?cái)?shù)m.其中

21、其中m為為 f (x)=0的根的重?cái)?shù)的根的重?cái)?shù).38 構(gòu)造求重根的另一迭代法構(gòu)造求重根的另一迭代法,)( )()(xfxfx 令令則則,)( *)()()(*)()(xhxxxmhxhxxx 故故x*是是 (x)=0的單根的單根. 對(duì)它用牛頓法，其迭代函數(shù)為對(duì)它用牛頓法，其迭代函數(shù)為 .)( )()( )( )()( )()(2xfxfxfxfxfxxxxx 從而可構(gòu)造迭代法從而可構(gòu)造迭代法 .)( )()( )( )(21nnnnnnnxfxfxfxfxfxx 它是它是二階收斂二階收斂的的.39例例 方程方程 的根的根 是二重根，用是二重根，用上述三種方法求根上述三種方法求根.04424 x

22、x2* x解解 先求出三種方法的迭代公式先求出三種方法的迭代公式(3) 方法方法3.4221nnnnxxxx .2221nnnnxxxx .2)2(221 nnnnnxxxxx取初值取初值 x0=1.5, 計(jì)算結(jié)果見下表計(jì)算結(jié)果見下表(1) 牛頓法牛頓法(2) 方法方法240三種方法數(shù)值結(jié)果三種方法數(shù)值結(jié)果n123nx1x2x3x方法方法(1)方法方法(2)方法方法(3)1.4583333331.4366071431.4254976191.4166666671.4142156861.4142135621.4117647061.4142114381.414213562 計(jì)算三步計(jì)算三步, 方法方

23、法(2)及及(3)均達(dá)到均達(dá)到10位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 而用而用牛頓法只有線性收斂牛頓法只有線性收斂, 要達(dá)到同樣精度需迭代要達(dá)到同樣精度需迭代30次次.41 弦截法弦截法(割線法割線法, 線性插值法線性插值法) Newtons Method 一步要計(jì)算一步要計(jì)算 f 和和 f ，相當(dāng)于，相當(dāng)于2個(gè)函數(shù)值，比較費(fèi)時(shí)個(gè)函數(shù)值，比較費(fèi)時(shí). 現(xiàn)用現(xiàn)用 f 的值近似的值近似 f ，可少算，可少算一個(gè)函數(shù)值一個(gè)函數(shù)值. 在在Newton迭代法中用差商迭代法中用差商 代替導(dǎo)數(shù)代替導(dǎo)數(shù)11)()( nnnnxxxfxf)( nxf得到迭代公式得到迭代公式,.)3, 2, 1(,)()()(111 nxfx

24、fxxxfxxnnnnnnn弦截法弦截法 須兩個(gè)初始點(diǎn)須兩個(gè)初始點(diǎn)x0, x1, 通?？扇∮懈鶇^(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)通?？扇∮懈鶇^(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn).4243過曲線上兩點(diǎn)過曲線上兩點(diǎn) 的直線為的直線為)(,(),(,(11nnnnxfxxfx )()()()(11nnnnnnxxxxxfxfxfy 它與它與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為)()()(11 nnnnnnxfxfxxxfxx1 nx以割線近似曲線，故弦截法又稱為以割線近似曲線，故弦截法又稱為割線法割線法.44 設(shè)設(shè) f (x)在在 x*鄰近二階連續(xù)可導(dǎo)，且鄰近二階連續(xù)可導(dǎo)，且 f (x*)=0, f (x*) 0, 則存在則存在 0，當(dāng)，當(dāng)x0 , x1

25、 x* ，x*+ 時(shí)，時(shí)，由弦截法產(chǎn)生的數(shù)列由弦截法產(chǎn)生的數(shù)列xn收斂于收斂于x*, 且收斂階為且收斂階為1.618. (方程方程 的正根的正根)定理定理012 xx45例例 用弦截法求下列方程的根用弦截法求下列方程的根.02010)(3 xxxf解解 因?yàn)橐驗(yàn)?f (1.5)0, 1.5, 2為有根區(qū)間為有根區(qū)間. 取取. 2, 5 . 110 xx按弦截法計(jì)算公式求按弦截法計(jì)算公式求, 結(jié)果如下結(jié)果如下,5844156. 12 x,5934795. 13 x,5945651. 14 x,5945621. 15 x 此計(jì)算結(jié)果表明此計(jì)算結(jié)果表明, 迭迭代代5次所得近似解精確次所得近似解精確到

26、到8位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 它的收它的收斂速度比斂速度比Newton法慢法慢.464 拋物線法拋物線法(Mller法）法）基本思想基本思想: 過過)(,(),(,(),(,(1122nnnnnnxfxxfxxfx 作一拋物線作一拋物線 P2(x), 該拋物線與該拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)軸的一個(gè)交點(diǎn) xn+1作為根作為根x*的下一個(gè)近似的下一個(gè)近似.4748y(x)xSecant linex1Fit a parabola (quadratic) to exact curvex2x3Parabola49過過)(,(),(,(),(,(1122nnnnnnxfxxfxxfx )(,)(,)()(121

27、12 nnnnnnnnnxxxxxxxfxxxxfxfxP或或,)()()(22nnnnncxxbxxaxP 其中其中,21 nnnnxxxfa)(,1211 nnnnnnnnxxxxxfxxfb)(nnxfc 的拋物線的拋物線 P2(x)50該拋物線與該拋物線與x軸的交點(diǎn)為，軸的交點(diǎn)為，nnnnnnnnnnnnncabbcxacabbxx4224221 在在xn , xn 1 , xn 2三個(gè)近似根中三個(gè)近似根中, 自然假定自然假定xn更接近所更接近所求的根求的根x*, 這時(shí)為了保證精度，選上式中較接近這時(shí)為了保證精度，選上式中較接近xn的的一個(gè)值作為新的近似根一個(gè)值作為新的近似根. 為此，

28、只要取根式前的符為此，只要取根式前的符號(hào)與號(hào)與 bn的符號(hào)相同的符號(hào)相同, 即即 0,420,42221nnnnnnnnnnnnnnnbcabbcxbcabbcxx拋物線法拋物線法 Mller法法 二次插值法二次插值法51y(x)xx1Two roots for quadratic function pick the one closest to the previous estimate x2x3Two Roots52例例 用拋物線法求下列方程的根用拋物線法求下列方程的根.02010)(3 xxxf解：解：取取 x0=1.5, x1=1.75, x2=2.0, 則則. 8,859375. 2

29、,625. 1210 fff按拋物線法計(jì)算公式按拋物線法計(jì)算公式, 8)2(,875.21)75. 12(75. 1, 2,25. 55 . 1,75. 1, 2 fcafbfa5949003. 1825. 54)875.21(875.2182223 x,5945609. 14 x,5945621. 15 x.5945621. 16 x53 在一定條件下可以證明在一定條件下可以證明, 對(duì)于拋物線法對(duì)于拋物線法, 收斂階收斂階為為 p=1.840 (是方程是方程 x3x2x1=0的根的根), 收斂速收斂速度比弦截法快但比度比弦截法快但比Newton法慢法慢. 從拋物線法的計(jì)算公式可以看出，即使從

30、拋物線法的計(jì)算公式可以看出，即使xn , xn 1 , xn 2均為實(shí)數(shù)，均為實(shí)數(shù)，xn+1也可以是復(fù)數(shù)，所以拋物線法可也可以是復(fù)數(shù)，所以拋物線法可適用于求多項(xiàng)式的實(shí)根和復(fù)根適用于求多項(xiàng)式的實(shí)根和復(fù)根.545 解非線性方程組的牛頓迭代法解非線性方程組的牛頓迭代法考慮方程組考慮方程組 . 0),(, 0),(, 0),(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf其中其中f1 , f2 , , fn均為均為(x1, x2, ., xn)的的n元函數(shù)元函數(shù). 當(dāng)當(dāng)n1，且，且 fi ( i=1, 2, , n)中至少有一個(gè)是自變量中至少有一個(gè)是自變量xi (i=1, 2, , n)的非線性函數(shù)

31、時(shí)的非線性函數(shù)時(shí), 則稱方程組為則稱方程組為非線非線性方程組性方程組.55 非線性方程組的求根問題是前面介紹的方程非線性方程組的求根問題是前面介紹的方程 ( n=1)求根的直接推廣求根的直接推廣. )()(2)(1)(knkkkxxxx將方程組的每個(gè)方程將方程組的每個(gè)方程 fi (x)在在 x(k)用多元函數(shù)的用多元函數(shù)的Taylor展開展開, 并取線性部分并取線性部分, 得到近似線性方程組得到近似線性方程組, 此方程組的解作為下一個(gè)近似解此方程組的解作為下一個(gè)近似解x(k+1). 設(shè)已給出方程組的一個(gè)近似根設(shè)已給出方程組的一個(gè)近似根56)(),()(),(),(),(byybafaxxbaf

32、bafyxf 二元函數(shù)二元函數(shù) f (x, y)在在(a, b)點(diǎn)用線性函數(shù)近似點(diǎn)用線性函數(shù)近似57兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)的非線性方程組兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)的非線性方程組 . 0),(, 0),(yxgyxf精確解精確解*)*,(yx設(shè)設(shè)(xk, yk) 為為(x*, y*)的第的第 k 個(gè)近似個(gè)近似, 將將 f (x, y), g(x, y)在在(xk, yk)點(diǎn)處用線性函數(shù)近似點(diǎn)處用線性函數(shù)近似 ),(),(00yxgyxf )(),()(),(),()(),()(),(),(kkkkkkkkkkkkkkkkyyyyxgxxxyxgyxgyyyyxfxxxyxfyxf58即即 ),(),(),(

33、),(),(),(kkkkkkkkkkkkkkyxgyxfyyxxyyxgxyxgyyxfxyxf ),(),(1),(kkkkkkkkyxgyxfyxygxgyfxfyxyx 11kkyx59,),(),(),( yxgyxfyxF ygxgyfxfyxF),( 記記則則),(),( 111kkkkkkkkyxFyxFyxyx 60)(),()(),()(),(),()()()(2)(1)(222)()(2)(1)(111)()(2)(1)()(2)(1knnnknkkikknkkikknkkiknkkixxxxxxfxxxxxxfxxxxxxfxxxf 即即 njkjjjkikiixxxx

34、fxfxf1)()()()()()()(將將n元函數(shù)元函數(shù) fi (x1, x2 , , xn)在在 x(k)點(diǎn)用線性函數(shù)近似點(diǎn)用線性函數(shù)近似 ),(21nixxxfn個(gè)方程個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的非線性方程組個(gè)未知數(shù)的非線性方程組61將方程組的每個(gè)方程將方程組的每個(gè)方程 fi (x)在在 x(k)點(diǎn)用點(diǎn)用線性函數(shù)近線性函數(shù)近似似. 非線性方程組用下述線性方程組近似代替非線性方程組用下述線性方程組近似代替 . 0)()()(, 0)()()(, 0)()()(1)()()(1)()(2)(21)()(1)(1njkjjjknknnjkjjjkknjkjjjkkxxxxfxfxxxxfxfxxxxfxf62寫成矩陣形式即為寫成矩陣形式即為)()()()()()()()()()()()()()(21)()(22)(11212221212111kkxxnknnkkxxnnnnnnxfxfxfxxxxxxxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxf 63記記,)()()()(21 xfxfxfxF