第四章積分及其應(yīng)用PPT課件

1、 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 4.3 積分的基本公式積分的基本公式 第四章第四章 積分及其應(yīng)用積分及其應(yīng)用 4.4 換元積分法換元積分法 4.2 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 4.5 分部積分法分部積分法 4.6 無(wú)限區(qū)間上的反常積分無(wú)限區(qū)間上的反常積分 4.7 積分學(xué)的應(yīng)用積分學(xué)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 教學(xué)建議教學(xué)建議 4.4 換元積分法換元積分法 .2cos2)2(sinxx 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?2sind2cosCxxx例如例如, 所以所以,x2sinx2cos的原函數(shù)的原函數(shù).不是不是 換元換元 積分法積分法 要解決上述問題要解決上述問題,可進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞?/p>

2、替換可進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q 在利用基本積分公式對(duì)被積函數(shù)在利用基本積分公式對(duì)被積函數(shù) 求不定積分求不定積分 時(shí)時(shí),要求積分變量要求積分變量 與被積函數(shù)與被積函數(shù) 中的元中的元(即即 )必須嚴(yán)格對(duì)必須嚴(yán)格對(duì)應(yīng)應(yīng).只有這樣才能直接積分只有這樣才能直接積分.否則否則,就不能利用直接積分法就不能利用直接積分法.xxfd )(x)(xf)(xfx.2cos2)2(sinxx 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?2sind2cosCxxx例如例如, x2sinx2cos的原函數(shù)的原函數(shù).不是不是 換元換元 積分法積分法 Cu sin21所以所以,令令,2xu 則則.d21d,d2duxxu,cos2cosux被積函數(shù)被積函數(shù)

3、被積表達(dá)式被積表達(dá)式,d21cosd2cosuuxx所以所以,uuxxd21cosd2cos將將 代回代回xu2.2sin21Cx 換元換元 積分法積分法 Cu sin21令令,2xu 則則.d21d,d2duxxuuuxxd21cosd2cos.2sin21Cx,2cos22cos21)2sin21(xxx由于由于即即 是是 的原函數(shù)的原函數(shù).所求不定積分是正確的所求不定積分是正確的.x2sin21x2cos上述方法具有普遍性上述方法具有普遍性是否是否正正 確確呢呢? 分析分析 案例案例1 求不定積分求不定積分.dcos22xxx 微分法微分法 積分法積分法 逆運(yùn)算逆運(yùn)算從求導(dǎo)從求導(dǎo)數(shù)入手?jǐn)?shù)

4、入手 對(duì)于復(fù)合函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù),sin2xy令令,2xu .sinuy則則2sinxy對(duì)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為x.2cos)(cos)()(sin)(sin2222xxxuxux 將上式右端求不定積分將上式右端求不定積分: 22222dcosd)(cosd2cosxxxxxxxx=變量替換變量替換令令ux 2uudcosCusin=變量還原變量還原2xu=用積分公式用積分公式xxcos)(sin.sin2Cx 復(fù)合函復(fù)合函 數(shù)導(dǎo)數(shù)數(shù)導(dǎo)數(shù) 以上積以上積 分過(guò)程分過(guò)程 逆運(yùn)算逆運(yùn)算)(d)(d)(xxfxx(x)f=變量替換變量替換ux )(uufd)(=用積分公式用積分公式)()(ufuFCuF)

5、(=變量還原變量還原)(xu.)(CxF 換元換元 積分法積分法 設(shè)設(shè) ,)(d)(CuFuuf若若 是可微函數(shù)是可微函數(shù), 則有則有)(xu對(duì)照對(duì)照案例一案例一xxxfd)()(xxxd2cos2)(d)(xxfCxF)(22dcosxxCx 2sin換元積分法公式換元積分法公式 這是這是 的函數(shù)的函數(shù) )(x案例的計(jì)算過(guò)程案例的計(jì)算過(guò)程 這是這是 的函數(shù)的函數(shù) 2x 這是這是 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(x 這是這是 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2x練習(xí)練習(xí)1求求解解.dcossin2xxx被積函數(shù)是兩個(gè)因子被積函數(shù)是兩個(gè)因子: 和和 的乘積的乘積 x2sinxcos注意到注意到,cos)(sinxx 視視,si

6、n)(xx 則則因子因子x2sin是是xsin的函數(shù)的函數(shù),恰是恰是xsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).而因子而因子xcos由此由此 xxcossin2正是正是 )()(xxf形式形式. 設(shè)設(shè),sinxu則則.dcosdxxu于是于是xxxdcossin2uu d2Cu 331.sin313Cx可用換元可用換元 積分法積分法 練習(xí)練習(xí)2求求解解被積函數(shù)是兩個(gè)因子被積函數(shù)是兩個(gè)因子: 和和 的乘積的乘積 21xx1e視視,e)(1xx 于是被積函數(shù)具有形式于是被積函數(shù)具有形式 )()(xxf則則.d1d2xxu于是于是可用換元可用換元 積分法積分法 .de112xxx因因,1)1(2xx)1(ee12112x

7、xxx設(shè)設(shè),1xuxxxde112uudeCue.e1Cx練習(xí)練習(xí)2求求解解被積函數(shù)是兩個(gè)因子被積函數(shù)是兩個(gè)因子: 和和 的乘積的乘積 21xx1e視視,e)(1xx 于是被積函數(shù)具有形式于是被積函數(shù)具有形式 )()(xxf可用換元可用換元 積分法積分法 .de112xxx因因,1)1(2xx)1(ee12112xxxx本例可不設(shè)出中間變量本例可不設(shè)出中間變量 ,按如下格式書寫按如下格式書寫:xu1xxxde112xxxd )1(e21.e1de11Cxxx練習(xí)練習(xí)3求求解解.dln4xxx因因,1ln4ln4xxxx且且.1)ln4 (xx 若視若視,ln4)(xx則則xxxd1ln4xxx

8、dln4)ln4 ( dln4xx.)ln4(3223Cx可用換元可用換元 積分法積分法 練習(xí)練習(xí)4求求解解若視若視, 32)( xx則則可用換元可用換元 積分法積分法 .d) 32 (10 xx注意到注意到 是線性函數(shù)是線性函數(shù), 32 x是線性函數(shù)是線性函數(shù) 的函數(shù)的函數(shù) 32 x且且32 x的導(dǎo)數(shù)是常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是常數(shù), 即即 , 2) 32 (xxxd2) 32 (2110 xxd) 32 (10)32(d)32(2110 xxCx11) 32(11121.) 32 (22111Cx練習(xí)練習(xí)解解于是于是用降冪公式用降冪公式 求求.dcos2xx,22cos1cos2xx并注意到并注意到.

9、2)2(xxx d )2cos1 (21xxdcos2)d22cos21(21xxx)2(d2cos4121xxx.2sin4121Cxx由不定積分由不定積分的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)算性質(zhì) 由換元由換元積分法積分法 有有 .d4102xxx計(jì)算定積分計(jì)算定積分案例案例2 注意到注意到,2)4(2xxxxxxxxd24121d422) 4( d412122xx,)4ln(212Cx于是于是01)4ln(212x102d4xxx)40ln() 41ln(2122).2ln25(ln21由牛頓由牛頓萊萊布尼茨公式布尼茨公式 本案例是求定積分本案例是求定積分.在用在用牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式之前之前,需

10、先求出被積函數(shù)需先求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).d4102xxx計(jì)算定積分計(jì)算定積分案例案例2 01)4ln(212x102d4xxx).2ln25(ln21由牛頓由牛頓萊萊布尼茨公式布尼茨公式 xxxd24121102) 4( d41212102xx本案例一般按下本案例一般按下 面的方式書寫面的方式書寫練習(xí)練習(xí)6解解故故.desine10 xxx計(jì)算定積分計(jì)算定積分由于由于,e)e(xx10deesinxxxxxdesine10由牛頓由牛頓萊萊布尼茨公式布尼茨公式 e.cos1cos) 1cose(cos01ecosx 計(jì)算計(jì)算定積分定積分案例案例3 本案例是求定積分本案例是求定積分

11、.在用牛在用牛頓頓萊布尼茨公式之前萊布尼茨公式之前,需先需先求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).d1140 xx 令令, tx 得得,2tx 則則 .d2dttx .d12ttt為去掉被積函為去掉被積函數(shù)中的根式數(shù)中的根式 x為為 化化當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 x; 0t當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 4x. 2t于是于是 20d12ttt40d11xx=變量換元變量換元20d)111(2tt=恒等變形恒等變形02)1ln(2tt= 用公式用公式ln3).-2(2練習(xí)練習(xí)7解解計(jì)算定積分計(jì)算定積分.d2313xxx令令,23tx 得得,232tx則則.ddttx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 3x; 3t當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 1x. 1t于是于是 出新元出新元,換新限換新限; 新元不出現(xiàn)新元不出現(xiàn), 上下限不變上下限不變.ttttd)(321132xxxd2313132d ) 3(21tt31)33(213tt)3333() 331(213.34)38(21練習(xí)練習(xí)8解解 計(jì)算計(jì)算定積分定積分當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 x; 0t.d1112xx在在4.1練習(xí)練習(xí)1中中,我們已由定我們已由定積分的幾何意義得到該定積積分的幾何意義得到該定積分的結(jié)果分的結(jié)果 .2d1112xx