2020年天津市五區(qū)縣高考數(shù)學二模試卷(文科)含答案解析

1、2020年天津市五區(qū)縣高考數(shù)學二模試卷（文科）一、選擇題（本大題共 8個小題，每小題 5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的）1.i是虛數(shù)單位，復數(shù)A.3+3：C.B.D.3+i2第1頁（共19頁）2.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調查. 假設四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)為 N,其中甲社區(qū)有駕駛員 96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12, 21, 25, 43,則這四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù) N為（）A. 101 B, 808 C, 1212 D , 20203.已知命題 p： ?

2、xC R, sin2xW1,貝U (A.p： ? xoC R, sin2xc>1 C.p： ? xoC R, sin2xo>1 4,已知 a=logo.32, b=log20.3, A . cv bv a B , c< a< b C.B. 1D.c=0.20.3P：P：)? xC R? xC R,則 a, b,sin2x> 1sin2x> 1c的大小關系為（a< bv c D , b< a< c5. 已知雙曲線 C的左右焦點為F1,F2,P雙曲線右支上任意一點， 若以F1為圓心，以占| F1F2|2為半徑的圓與以 P為圓心，| PF2|為半

3、徑的圓相切，則 C的離心率為（A.6.V2 B. 2C. 4 D.云如圖，圓O的直徑AB長度為10, CD是點C處的切線,CD=A.152B.7.已知函數(shù)兀20)A.7tB.8.C.- o箕 3f (x)=18SD.2453 通sin2x+ .則 a+b=()JU2C.已知函數(shù)f （x）=7Tcos2x+ -的圖象關于點（a,若函數(shù)g (x) =axb）成中心對稱圖形，若aCa一一 +3 (a> 0),若對？ xiC0,1,總？ x2 e 0,使得f （xi） =g （x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（A. (8, 6 B. 6, +8)c. (8, -4 D. 4, +8)二、填空題：

4、本大題共/6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答題卷的橫線上.9 .從區(qū)間0, 1上隨機取一個實數(shù) a,則關于x的一元二次方程 x2- x+a=0無實根的概率 為.10 . 一個幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則此幾何體的表面積為 m211 .閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，如果輸入的N的值是10,則輸出的S的值是12 .已知函數(shù)f (x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且f (x)在0, +8)上單調遞減，若 f (m) >f (1 - m),則實數(shù)m的取值范圍是 .13 .。是4ABC的外接圓的圓心，若 AC=3 , AO ?BC=2,則AB= .|f I it I _ 2, n

5、Cl14 .已知函數(shù)f (x) =_,若函數(shù)y=f (x) - ax+1恰有兩個零點，則實數(shù) a2, x>l的取值范圍是三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知甲、乙、丙三種食物的維生素及成本入戲表實數(shù)：食物類型甲乙丙維生素C (單位/kg)300500300維生素D (單位/kg)700100300成本(元/kg)543某學校食堂欲將這三種食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000單位的維生素 C及40000單位的維生素 D .(1)設所用食物甲、乙、丙的質量分別為xkg, ykg, 100-x-ykg (x

6、>0, y>0),試列出x, y滿足的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2)用x, y表示這100kg混合食物的成本z,求出z的最小值.16 .已知 ABC的三個內角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,且(a-c) sinA+csinC - bsinB=0 .(1)求B的值；(2)求sinA+sinC的最大值及此時 A, C的值.17 .如圖，在四棱錐 P - ABCD中，PAXBC,平面 PACD為直角梯形，/ PAC=90 °, PD/AC, PA=AB=PD=1 , AC=2 , Z BAC=120 °(1)求證：PAX AB ;(2)求直線

7、BD與平面PACD所成角的正弦值；(3)求二面角D - BC - A的平面角的正切值.18.已知橢圓C:2+ 17=1 (a>b>0)上的點到它的兩個焦點的距離之和為4,以橢圓第3頁(共19頁)C的短軸為直徑的圓 。經過兩個焦點，A, B是橢圓C的長軸端點.(1)求橢圓C的標準方程和圓 O的方程；(2)設P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側的動點，若直線PQ與x平行，直線AP、 BP與y軸的交點即為 M、N,試證明/ MQN為直角.19 .已知函數(shù) f (x) =ax2- lnx (aC R)(1)當a=1時，求曲線y=f (x)在點(1, f (1)的切線方程；(2)若？ xC

8、 ( 0, 1 , | f (x) | >1恒成立，求a的取值范圍.20 .數(shù)列an與bn滿足： a仔a<0, b1=b>0, 當 k>2 時，若 ak 1+bk 1>0,則 ak=ak i t ，；l-1,bk=；若 ak1+bkk 0,貝Uak=:,bk=bk1.(I )若 a= - 1, b=1,求 a2, b2,電，b3 的值；(n )設 Sn= ( b1 a1)+ ( b2 - a2) +11+ ( bn al),求 Sn (用 a, b 表示)；（出）若存在nCN ,對任意正整數(shù)k,當2w kwn時，恒有bk i>bk,求n的最大值（用 a， b

9、 表示）第 4頁（共19頁）2020年天津市五區(qū)縣高考數(shù)學二模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 8個小題，每小題 5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的）1. i是虛數(shù)單位，復數(shù)【分析】把分子利用虛數(shù)單位i的運算性質化簡，然后分子分母同時乘以分母的共軻復數(shù)化 簡得答案.2-bi3_2-i_(2-O1=1 - i =(L - i) (Hi) =2 .交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調查.假設四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的

10、人數(shù)分別為12, 21, 25, 43,則這四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù) N為（）A. 101 B. 808 C. 1212 D , 2020【考點】分層抽樣方法.【分析】根據甲社區(qū)有駕駛員 96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12求出每個個體被抽到的概率，然后求出樣本容量，從而求出總人數(shù).【解答】 解：二.甲社區(qū)有駕駛員 96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12112 1，每個個體被抽到的概率為-二二二二-96 |8樣本容量為12+21+25+43=1011CI1這四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)N為7T=808§故選B.3 .已知命題 p： ? xC R, sin2xW1,貝U （）A.p： ?

11、x0CR, sin2xc> 1 B.p： ? x R, sin2x> 1C.p： ? xoC R, sin2x0> 1D.p： ? x R, sin2x> 1【考點】命題的否定.【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.【解答】 解：命題是全稱命題，則命題的否定為：？ xoCR, sin2x0>1,故選：C.4 .已知 a=log0,32, b=log20.3, c=0.20.3,則 a, b, c 的大小關系為()A . c< b< a B . c< a< b C. a< b< c D . b< a< c【

12、考點】對數(shù)值大小的比較.【分析】由已知條件利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性能比較a, b, c的大小關系.【解答】 解：- 1 = logQ 3-y<a=logo.32<logo.3l=0,I 11 b=log20.3="；：a,0<c=0.20.3<0.20=1 ,b v a< c.故選：D.5.已知雙曲線C的左右焦點為Fi,F2,P雙曲線右支上任意一點，若以Fi為圓心，以己| F1F2I為半徑的圓與以 P為圓心，| PF2|為半徑的圓相切，則 C的離心率為（）A. V2 B. 2 C. 4 D. 3【考點】雙曲線的簡單性質.【分析】根據兩圓相切的等價條

13、件，結合雙曲線的定義建立方程關系進行求解即可.【解答】解：設兩圓相切時的切點為A,.；| FiF2| =C, - PA=c,I PFil - I PF2|=|PA|+| AFi| - | PF2|二|AFi| 二2a, | AFi|=c,c=2a,即離心率e=二=2, a故選：B.第6頁（共19頁）6.如圖，圓 O的直徑AB長度為10, CD是點C處的切線，ADLCD,若BC=8 ,則CD=A.152B.C.185D.245弦切角.利用弦切角定理可得/DCA= / CBA ,分別求出其余弦值，即可解得CD的值.解:AB為圓O的直徑,BCXAC ,X AD ± CDcos / DCA=

14、CDCACD-BC2CD6D由已知可得：/ DCA= / CBA ,只 cos/ DCA=cos / CBA ,可得： 10CD,進而解得：CD=7.已知函數(shù)f (x)=3k/3：-sin2x+ .7T cos2x+-;12的圖象關于點（a, b）成中心對稱圖形，若 ae0)則 a+b=()B.JU2C.【考點】 【分析】 求.解：f (x)cos2x+K3 =sin2x2=T5win 十12由ZE二kn,得 x=12,. a (7T,0),取 k=0,又f （x）的圖象關于點（a,兀 得x= .b）成中心對稱圖形,三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象.利用兩角和的正弦化簡，由相位落在 x

15、軸上求得x值，可得a, b的值，則答案可n t 兀a= -,1212則 a+b=0.故選：D.8.已知函數(shù)f (x)=,若函數(shù)g (x) =ax+3 (a> 0),若對？ x1 C0,使得f (xi) =g (x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是(A. (-8, 6 B. 6, +8)C. (-8, 4 4 D. -4, +8)【考點】全稱命題.【分析】函數(shù)f (x)=,當時，f (x) e Q,時，f (x) =2工s+l,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性可得:f (x) £,1.可得？ x1C 0,第11頁(共19頁)(a>0)在0,上上單調遞增，由于對時,2f (x) =-=f

16、'(x)=("i產(x+1 )2>0,，函數(shù) f (x)，1上單調遞增，f (x) ? x e 0, 1, f(x1)1 由于函數(shù)g (x) =ax-二十3(a> 0)在0,二上單調遞增,若對？ x1 e 0, 1，總？ x2 0,使得 f (xi) =g (x2)成立,1 , f (xi) C 0, 1,由于函數(shù) g (x) =ax- -+3？ x1C 0,1，總？ x2C 0,亍,使得 f(x1)=g (x2)成立,可得0, 1 Cg (x)|xe 0,寺【解答】解：函數(shù)f (x)=0, 1 Cg (x) |xe1虱0)二3 -菅Ko1,解得 a>6.|

17、g(lHa-ia+3>1故選：B.二、填空題：本大題共/6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答題卷的橫線上9.從區(qū)間0, 1上隨機取一個實數(shù) a,則關于x的一元二次方程 x2- x+a=0無實根的概率【考點】幾何概型.【分析】 根據關于X的一元二次方程 x2-x+a=0無實根，得到 =1-4av0,解得：a從而求出符合條件的事件的概率.【解答】 解：若關于x的一元二次方程x2-x+a=0無實根， 則=1-4av0,解得：a> 設事件 從區(qū)間0, 1上隨機取一個實數(shù) a,則關于x的一元二次方程x2-x+a=0無實根”為 事件A,1 - |3l貝U P ( A)=-,故答案為：之1

18、0 . 一個幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則此幾何體的表面積為12兀+12m2購It留【考點】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖知該幾何體是半個圓錐，由三視圖求出幾何元素的長度，由圓錐的側面積公式、圓的面積公式和三角形的面積公式求出此幾何體的表面積.【解答】解：根據三視圖可知幾何體是半個圓錐，且底面圓的半徑r=3m、圓錐的高是4m,則母線 Wr，+h，=5 (m)，=二冗 X 價予冗 X 3X5+3X 4=12 卅2 (m2),故答案為：1271+12.11 .閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，如果輸入的N的值是10,則輸出的S的值是273 - 1.【考點】程序框圖.【分析】由已知

19、中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值,模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得N=10, S=0, 執(zhí)行循環(huán)體，k=1S=S -滿足條件k<10,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件k<10,執(zhí)行循環(huán)體,k=2，SE+T，i i ik° S際+77滿足條件k<10,執(zhí)行循環(huán)體,SwTwr.TnTr不滿足條件kw10,退出循環(huán),輸出S=.i宙%+ TH；® =5)+的F+)+(VH-VT5)+ (恒-TH) =273-1故答案為：2-1.12.已知函數(shù)f (x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且f (x)

20、在0, >f (1-m),則實數(shù)m的取值范圍是(-°°, 方).+8)上單調遞減，若f (m)【考點】奇偶性與單調性的綜合.【分析】由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調性可得| m| v | 1 - m| ,由此求得m的范圍.【解答】 解：二函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，f (x)的圖象關于y軸對稱.- f (x)在0, +00)上單調遞減，f (x)在(-8, 0上單調遞增,若 f (m) > f (1 m),則 |m|v|1 m|,，m故答案為：1-8,抖13.。是4ABC的外接圓的圓心，若 AC=3, AO ?BC=2,則AB=V5.【考點】平面向量數(shù)量積的

21、運算.【分析】把而灰-誣代入菽i?麗=2,再轉化為|標|與|正|的等式求解.【解答】解：如圖,一病日|左|2T 聞|汩. AC=3 ,41AB!2x32-2-|-,則口屈上闖,II M | - 2, K< 114.已知函數(shù)f (x) = i,若函數(shù)y=f (x) - ax+1恰有兩個零點，則實數(shù) a121t的取值范圍是aw 0或1 w av 2.【考點】函數(shù)零點的判定定理.|z| - 25 x<l【分析】作出函數(shù)f (x) = 1 _的圖象，函數(shù)y=f (x) - ax+1恰有兩個零點,21 x>L即函數(shù)y=f (x)與y=ax - 1恰有兩個交點，利用圖象，即可得出結論.f

22、 |度| - 3 戈W1【解答】解：函數(shù)f (x) = 一=,圖象如圖所示，21 K, 1>1函數(shù)y=f (x) - ax+1恰有兩個零點，即函數(shù) y=f (x)與y=ax - 1恰有兩個交點，由圖可得aw。時，函數(shù)y=f (x) - ax+1恰有兩個零點，(1, 1)代入 y=ax - 1 得 a=2,1 w av 2.函數(shù) y=f (x)與 y=ax - 1 恰有兩個交點，綜上所述，aw 0或1 w av 2.故答案為：aw0或1wav 2.三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知甲、乙、丙三種食物的維生素及成本入戲表實數(shù)：食物類型甲

23、乙丙維生素C (單位/kg)300500300維生素D (單位/kg)700100300成本(元/kg)543某學校食堂欲將這三種食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000單位的維生素 C及40000單位的維生素 D .(1)設所用食物甲、乙、丙的質量分別為xkg, ykg, 100-x-ykg (x>0, y>0),試列出x, y滿足的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2)用x, y表示這100kg混合食物的成本z,求出z的最小值.【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】(1)根據條件建立不等式關系，即可作出對應的平面區(qū)域.(2)根據線性規(guī)劃的應用進行平移求解

24、即可.【解答】解：(I)因為x>0, y>0,(30。上+500300(100 - 工-y)>3500(化簡為y>25 2k-結合 100-x-y>0,可列出x, y滿足的數(shù)學關系式為，在xOy平面中，畫出相應的平面區(qū)域如圖所示；(II)這100kg混合食物的成本 z=5x+4y+3=2x+y+300,平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域, 頂點為 A (37.5, 25), B (50, 50), C (75, 25),目標函數(shù)z=2x+y+300在經過點A (37.5, 25)時，z取得最小值400元.16 .已知 ABC的三個內角 A, B, C所對的邊分別為 a, b

25、, c,且（a-c） sinA+csinC - bsinB=0 .（1）求B的值；（2）求sinA+sinC的最大值及此時 A, C的值.【考點】 正弦定理；余弦定理.【分析】（1）根據正弦定理化簡已知的式子，再由余弦定理求出 cosB,由內角的范圍求出 B;（2）由（I）和內角和定理求出C,代入sinA+sinC后利用兩角和與差的正弦公式化簡，禾U用正弦函數(shù)的性質求出式子sinA+sinC的最大值，以及此時 A, C的值.【解答】 解：（1）由已知得，（a- c） sinA+csinC- bsinB=0 ,根據正弦定理得（a- c） a+c2- b2=0,化簡得b2=a2+c2 - ac 由

26、余弦定理得b2=a2+c2- 2accosB,所以 cosB=yr,2由0vBv兀得B=97V(II)由(I)得：C=l A B=z A,4sinA+sinC=sinA +sin (JUJUL所以當A=-時，且C=, sinA+sinC取得最大值17 .如圖，在四棱錐 P - ABCD中，PAXBC,平面PACD為直角梯形，/ PAC=90 °, PD/AC, PA=AB=PD=1 , AC=2 , Z BAC=120 °（1）求證：PA± AB ；（2）求直線BD與平面PACD所成角的正弦值；（3）求二面角 D - BC - A的平面角的正切值.【考點】 二面角

27、的平面角及求法；直線與平面所成的角.【分析】（I ）由PAXBC, PAX AC,得到PAL平面ABC ,由此能證明 PAXAB .（n ）過點B作BM，CA交CA延長線于點 M ,連結DM ,則/ BDM即是直線BD與平面 PACD所成角，由此能求出直線 BD與平面PACD所成角的正弦值.（出）過點E作EFLBC,垂足為F,連接DF,則/ DFE為二面角D-BC-A的平面角， 由此能求出二面角 D - BC - A的平面角的正切值.【解答】（本小題滿分13分）證明：（I ）因為 PAXBC, / PAC=90°,即PAX AC ,因為AC, BC交于點C,所以PAL平面ABC,而A

28、B?底面ABC ,所以PAX AB .解：（n ）由（I ）可知，平面 PACD，平面ABC,過點B作BM，CA交CA延長線于點M ,連結DM ,則/ BDM即是直線BD與平面PACD所成角；取AC的中點E,連接BE, DE,則DE / PA；在 ABE 中，AB=AE=1 , / BAE=120 °,所以 BE=J12+送一 X1 乂1 x球弓皿劇，所以B心儀一因為 DE/ PA,所以 DEL平面 ABC, BD=Jf=2,在直角三角形 BDM中，占g"，即直線BD與平面PACD所成角的正弦值為與.（出）過點E作EFXBC,垂足為F,連接DF,則/DFE為二面角D-BC-

29、A的平面角，在aebc 中，幣 EG4 NBEO15CT ,貝U bc=V3+1 - SXVgXlXcoslBO* =g4mu 上2 &即二面角D-BC-A的平面角的正切值為第13頁（共19頁）18.已知橢圓C:2+ -=1 (a>b>0)上的點到它的兩個焦點的距離之和為4,以橢圓C的短軸為直徑的圓 O經過兩個焦點，A , B是橢圓C的長軸端點.(1)求橢圓C的標準方程和圓 。的方程；(2)設P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側的動點，若直線PQ與x平行，直線AP、 BP與y軸的交點即為 M、N,試證明/ MQN為直角.【考點】橢圓的簡單性質.【分析】(1)運用橢圓的定義

30、和 a, b, c的關系，解方程可得橢圓的方程和圓的方程；(2)設P (X0, y0),直線AP： y=k (x+2) (kw0),求得M ,代入橢圓方程，求得 P的坐 標，求出直線BP的方程，可得N的坐標，設Q (xq, yo),求得向量QM , QN的坐標，運 用向量數(shù)量積計算即可得證.【解答】 解：(1)由橢圓定義可得 2a=4,又b=c且b2+c2=a2,22解得a=2, b=c=J1即橢圓C的標準方程為 ?+-二1，則圓O的方程為x2+y2=2；(2)證明：設 P (xo, yo),直線 AP ： y=k (x+2) (kw0), 令 x=0 可得 M (0, 2k).2?將于十標二

31、和y=k (x+2) (kW0)聯(lián)立可得(2k2+1) x2+8k2x+8k2-4=0,%042kJi2- 4k2 口- 2k4ky 22kJ+l24k2 4k2k1 2k2H直線BP的斜率為k直線BP： y=-2k(K - 2)第15頁(共19頁)令 x=0 可得 N(0, k0)，設 Q (xq, yc),則 QJ!二(一4 kF-v 口二 o, 是定值90。.2kz+l可得一 ； N .，： I 二0 u所以而_1_而，即/MQN19.已知函數(shù)f (x) =ax2lnx ( aC R)(1)當a=1時，求曲線y=f (x)在點(1, f (1)的切線方程；(2)若？ xC ( 0, 1

32、, | f (x) | >1恒成立，求a的取值范圍.【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，計算f' (1), f (1),求出切線方程即可；(2)求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性確定出a的具體范圍即可.【解答】 解：(1) a=1 時，f (x) =x2- lnx,(x) =2x因為 f (1) =1, f (1) =1,所以切點為(1,1), 切線方程為y=x .(2)由已知得 f' (x) =2ax若f ' (x) < 0在(01上恒成立,則2aw-成立,所以2a<, 二1, x nun即 awf"時，f (x)在(0,1單調遞減,(f (x) min=