高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【考綱要求】1. 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。2. 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型。3. 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；4. 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。5. 熟練應(yīng)用不等式性質(zhì)解決目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題。【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】不等式（組）的應(yīng)用背景簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃二元一次不等式（組）表示的區(qū)域簡(jiǎn)單應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】【高清課堂：不等式與不等關(guān)系394841 知識(shí)要點(diǎn) 】考點(diǎn)一：用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式 Ax+By+C 0 在

2、平面直角坐標(biāo)系中表示直線 Ax+By+C=0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 . （虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）要點(diǎn)詮釋：畫二元一次不等式AxByC0(0) 或 AxByC0(0) 表示的平面區(qū)域的基本步驟：畫出直線 l : AxByC0 （有等號(hào)畫實(shí)線，無(wú)等號(hào)畫虛線）；當(dāng) C0 時(shí)，取原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，判斷原點(diǎn)所在的平面區(qū)域；當(dāng)C0 時(shí)，另取一特殊點(diǎn)判斷；確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域。簡(jiǎn)稱：“ 直線定界，特殊點(diǎn)定域”方法?？键c(diǎn)二：二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法因?yàn)閷?duì)在直線Ax+By+c=0 同一側(cè)的所有點(diǎn)(x ,y)，實(shí)數(shù) Ax+By+c 的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn)(

3、x 0, y0) （若原點(diǎn)不在直線上，則取原點(diǎn)(0,0)最簡(jiǎn)便） . 把它的坐標(biāo)代入Ax+By+c，由其值的符號(hào)即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0( 或 <0) 表示直線的哪一側(cè).要點(diǎn)詮釋：判斷二元一次不等式Ax+By+c>0( 或 <0) 表示直線的哪一側(cè)的方法：因?yàn)閷?duì)在直線 Ax+By+C =0 同一側(cè)的所有點(diǎn) (x ,y) ，數(shù) Ax+By+C的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn) (x 0, y0) （若原點(diǎn)不在直線上，則取原點(diǎn) (0,0) 最簡(jiǎn)便），它的坐標(biāo)代入 Ax+By+c，由其值的符號(hào)1 / 8即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(

4、或 <0) 表示直線的哪一側(cè).考點(diǎn)三：線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在一個(gè)問題中，不等式組是一組變量x、 y 的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y 的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于 x、 y 的一次式 z=ax+by (a， b R)是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量 x、 y 的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解要點(diǎn)詮釋：在應(yīng)用線性

5、規(guī)劃的方法時(shí)，一般具備下列條件：一定要能夠?qū)⒛繕?biāo)表述為最大化（極大）或最小化（極?。┑囊?。一定要有達(dá)到目標(biāo)的不同方法，即必須要有不同的選擇的可能性存在；所求的目標(biāo)函數(shù)是有約束（限制）條件的；必須將約束條件用代數(shù)語(yǔ)言表示成為線性等式或線性不等式（組），并將目標(biāo)函數(shù)表示成為線性函數(shù)。考點(diǎn)四：解線性規(guī)劃問題總體步驟：設(shè)變量找約束條件，找目標(biāo)函數(shù)運(yùn)動(dòng)變化作圖，找出可行域求出最優(yōu)解要點(diǎn)詮釋：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用：在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)【典型例題】類型一：

6、二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例 1 畫出 3x+y-3<0 所表示的平面區(qū)域.【解析】2 / 8舉一反三：xy1，0）【變式 1】下面給出四個(gè)點(diǎn)中，位于y1表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（x0 (0，2) ( 2，0) (0， 2) (2，0)【答案】 C【變式 2】 ( x2y 1)( x y4) 0 表示的平面區(qū)域?yàn)椋ǎ〢BCDx2 y10x2 y10【答案】 B；原不等式可轉(zhuǎn)化為y40或y40xx【變式 3】畫出不等式 2x y 40 表示的平面區(qū)域?！窘馕觥肯犬嬛本€2xy40 （畫成虛線） .取原點(diǎn) (0,0) 代入 2xy 4 得 2 0 0 4 4 0 ,原點(diǎn)不在2xy40 表

7、示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式 2xy40表示的區(qū)域如圖：例 2 畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域。3 / 8x3xy22xy 32 yxx2y3（ 3）x2 y4（ 1）2 y6； （2）x；x.3x002 yx6y0y0【解析】（ 1）（ 2）（ 3）舉一反三：【變式 1】用平面區(qū)域表示不等式( x y 1)(x y4） 0【解析】3x2y20,【變式 2】求不等式組 x4 y40, 的整數(shù)解。2xy60【解析】如圖所示，作直線 l1 : 3x2 y20 ， l2 : x4 y40 ， l3 : 2xy60 ，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿足不等式組的區(qū)域，此三角形區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(2,1)，(1,0)， (2

8、,0)，(1, 1)，(2, 1)，(3,1) 即為原不等式組的整數(shù)解。類型二：圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.【高清課堂：不等式與不等關(guān)系394841 基礎(chǔ)練習(xí)一 】4 / 8xy3例 3 設(shè)變量 x, y 滿足約束條件xy1 ，則目標(biāo)函數(shù)z4x2 y 的最大值為（）y1A12B 10C8D2xy3【解析】由約束條件xy1 可知可行域如圖：y1平移 y2 x 知在 A(2,1) 處取得最大值z(mì)10答案： B舉一反三：xy20【變式1】已知xy40，求；2xy50(1)zx2 y4的最大值；(2)z2y1x的范圍 .1【解析】作出可行域如圖, 并求出頂點(diǎn)坐標(biāo) A(1,3), B(3,1), C(

9、7,9) .5 / 8yCx+y -4=0A2x-y-5=0Bx0x-y+2=0(1) 將 C(7,9) 代入 z 得最大值 21;y(1)1(2) z 2(2表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到定點(diǎn)Q( 1,) 的斜率的2 倍 ,x1)2因?yàn)?kQA7 , kQB3,48z 的范圍是 3 , 7 .42yx例 4. 已知 x 、 y 滿足約束條件 xy 1，求下列各式的最大值和最小值 .y1（ 1） z2xy ；（ 2） zxy .【解析】（1）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：求出交點(diǎn) A(2, 1) ，C ( 1, 1) ， B(0.5,0.5) ，作過點(diǎn) (0,0) 的直線 l0 : 2x y0 ，平移直

10、線 l 0 ，得到一組與 l 0 平行的直線 l :z 2x y , z R .可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，當(dāng) l 經(jīng)過點(diǎn) A(2,1) 時(shí)的直線 l所對(duì)應(yīng)的 z 最大，所以zmax2213 ；當(dāng) l 經(jīng)過點(diǎn) C ( 1,1)時(shí)的直線l 所對(duì)應(yīng)的 z 最小，所以zmin2(1)1 3.（ 2）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：6 / 8作過點(diǎn) (0,0) 的直線 l0 : xy0 ，平移直線 l0 ，得到一組與 l 0 平行的直線 l : zxy , zR .可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l 的直線中，當(dāng) l 經(jīng)過線段 AB 上的所有點(diǎn)時(shí)的直

11、線 l 所對(duì)應(yīng)的 z 最大，所以 zmax211 ；當(dāng) l 經(jīng)過點(diǎn) C (1, 1) 時(shí)的直線 l 所對(duì)應(yīng)的 z 最小，所以 zmin ( 1)12 .舉一反三：5x3 y15【變式 1】求 z 3x5 y 的最大值和最小值，使式中的x 、 y 滿足約束條件yx 1.x5 y3【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線z3x5y 在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn) B( 2,1) 的直線所對(duì)應(yīng)的z 最小，以經(jīng)過點(diǎn)35) 的直線所對(duì)應(yīng)的z 最大 .A(,22所以 zmin3(2)5( 1)11 ，zmax335517.22類型三：實(shí)際應(yīng)用問題中的線性規(guī)劃問題.例 5

12、. 家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子， 需要木工和漆工兩道工序， 已知木工平均四個(gè)小時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書桌，該公司每星期木工最多有8000 個(gè)工作時(shí)；漆工平均兩小時(shí)漆一把椅子、一小時(shí)漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300 個(gè)工作時(shí)，又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤(rùn)分別是15 元和 20 元，試根據(jù)以上條件，問怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)?【解析】4x8y8000設(shè)制作 x 把椅子， y 張桌子約束條件：2xy1300 ，xN , yN7 / 8目標(biāo)函數(shù)： z=15x+20y.如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A 點(diǎn)時(shí)， z 取得最大值4x8y8000x2002xy1300y即 A(200, 900)

13、900 當(dāng) x=200, y=900時(shí)， z=15×200+20×900=21000(元 )max答：安排生產(chǎn)200 把椅子， 900 張桌子時(shí)，利潤(rùn)最大為21000 元。舉一反三：【變式 1】某企業(yè)生產(chǎn)A、 B 兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力和煤、電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動(dòng)力（個(gè)）煤（噸）電（千瓦）A 產(chǎn)品394B 產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸 A 產(chǎn)品的利潤(rùn)是 7 萬(wàn)元，生產(chǎn)每噸B 產(chǎn)品的利潤(rùn)是12 萬(wàn)元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力 300 個(gè)，煤360 噸，并且供電局只能供電200 千瓦，試問該企業(yè)生產(chǎn)A、 B 兩種產(chǎn)品各多少噸，才能獲得最大利潤(rùn)？【解析】設(shè)生產(chǎn) A、B 兩種