電磁場課件7-電能量和力、電流密度

1、鏡像法：鏡像法：t2t1EEn2n1DD根據(jù)惟一性定理可得電位邊值問題，即邊界條件：根據(jù)惟一性定理可得電位邊值問題，即邊界條件：cos4 cos4cos4222121rqrqrqqq2121qq2122 和和解得解得sin4 sin4sin4222rqrqrq實(shí)際圓柱導(dǎo)線的實(shí)際圓柱導(dǎo)線的等效線電荷等效線電荷位置為：位置為：222abh222222)12()11(KbKybKKx兩理想細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的等位線方程：兩理想細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的等位線方程：理想細(xì)導(dǎo)線的等位線理想細(xì)導(dǎo)線的等位線22bha實(shí)際圓柱導(dǎo)體傳輸線實(shí)際圓柱導(dǎo)體傳輸線電軸法：電軸法：必能找到與實(shí)際圓柱導(dǎo)體表面重合的圓。必能找到與實(shí)際圓柱導(dǎo)體表面

2、重合的圓。1.9 1.9 靜電能量與力靜電能量與力 電場對靜止電荷有力的作用，對運(yùn)動電荷要做功。電場對靜止電荷有力的作用，對運(yùn)動電荷要做功。說明說明: :電場中存儲著能量。靜電場中的儲能稱為靜電能量。電場中存儲著能量。靜電場中的儲能稱為靜電能量。靜電能量是在電場的靜電能量是在電場的建立過程建立過程中，由中，由外力作功轉(zhuǎn)化外力作功轉(zhuǎn)化而來的。而來的。1) 1) 任意分布電荷系統(tǒng)的靜電能量任意分布電荷系統(tǒng)的靜電能量對于線性介質(zhì)的電荷系統(tǒng)，使電荷達(dá)到最后對于線性介質(zhì)的電荷系統(tǒng)，使電荷達(dá)到最后的分布需要做的功是一定的，而與實(shí)現(xiàn)這一的分布需要做的功是一定的，而與實(shí)現(xiàn)這一分布過程無關(guān)。分布過程無關(guān)。 1.

3、9.1 1.9.1 靜電能量靜電能量 選擇一種充電方式，使任何瞬間帶電體的電荷密度按比例增長，比選擇一種充電方式，使任何瞬間帶電體的電荷密度按比例增長，比例值為例值為 m，0m1，帶電體的電荷與電位的最終值分別為，帶電體的電荷與電位的最終值分別為 q、 。dm 外力做功外力做功轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為靜電能量靜電能量儲存在儲存在電場電場中。中。12VdV連續(xù)體電荷系統(tǒng)的靜電能量：連續(xù)體電荷系統(tǒng)的靜電能量：dqd dVmdVdqmmdV SdS21eW設(shè)設(shè) t 時(shí)刻，場中時(shí)刻，場中 P 點(diǎn)的電位點(diǎn)的電位為為 若將若將電荷增量電荷增量 從無窮遠(yuǎn)處移至該點(diǎn)，從無窮遠(yuǎn)處移至該點(diǎn)，),(zyxdqdqzyxdA),

4、(外力作功外力作功t t 時(shí)刻電荷增量為時(shí)刻電荷增量為n1KKKeq21W即即( , , )( , , )x y zmx y zt 時(shí)刻時(shí)刻P點(diǎn)的電位為點(diǎn)的電位為n1KKKq21n1KSkKKdS21221122eQWCUC電容器儲能：電容器儲能：2 2） 離散帶電導(dǎo)體的靜電能量離散帶電導(dǎo)體的靜電能量eWAQCUedW10Vm mdV 式中式中 是元電荷所在處的電位，積分對源是元電荷所在處的電位，積分對源 q 進(jìn)行。進(jìn)行。)(21)(21)()(2121W221122111222111qqqqqqqnKKK22111q2q自有能是將許多元電荷自有能是將許多元電荷 dq“壓緊壓緊”構(gòu)成構(gòu)成 q

5、所需作的功所需作的功;互有能是由于多個(gè)帶電體之間的互有能是由于多個(gè)帶電體之間的相互作用相互作用引起的能量。引起的能量?；プ訵WWe 自有能自有能與與互有能互有能的概念的概念 是所有導(dǎo)體（含是所有導(dǎo)體（含K號導(dǎo)體）表面上的電荷在號導(dǎo)體）表面上的電荷在K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。KSnKKKqWdqW1ee21 21注意：電位分注意：電位分自有電位自有電位和和互有電位互有電位自有能自有能互有能互有能2. 2. 用場量表示靜電能量用場量表示靜電能量DDD)()（矢量恒等式矢量恒等式1( )d d 2eVVWVVDDVSVd21d21EDSD1d2eVWVD E能量密度能量密度1 2ew D

6、 E因因 當(dāng)當(dāng) r 時(shí)，時(shí)， 第一項(xiàng)積分為零，故第一項(xiàng)積分為零，故,1 3rD,2rs 靜電能量靜電能量VVd21D1d2eVWV：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論結(jié)論221122DED=21d2VEV例例:試求真空中體電荷密度為試求真空中體電荷密度為 ，半徑為，半徑為 a 的導(dǎo)體球產(chǎn)生的靜電能量。的導(dǎo)體球產(chǎn)生的靜電能量。dVE21EdVD21WV20Ve)drr4r9adrr49r(212a420622a020220arr3aar3r2030Ear)3ra(2arr3a22003drr43ra221dV21W2a022V02e)(520154

7、a520a154)(122rrrr0ar ar 021rr21ar 0r0r有限有限，應(yīng)用應(yīng)用高斯定理高斯定理求電場，得求電場，得 由由邊值問題邊值問題求電位函數(shù)求電位函數(shù)解法一解法一 由由場量場量求靜電能量求靜電能量解法二解法二 由由場源場源求靜電能量求靜電能量1.9.3 1.9.3 靜電力靜電力2.2.虛位移法虛位移法 ( Virtual Displacement Method )( Virtual Displacement Method )虛位移法是基于虛位移法是基于虛功原理虛功原理計(jì)算靜電力的方法。計(jì)算靜電力的方法。 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) g g ：距離、面積、體積、角度。：距離、面積、體

8、積、角度。廣義力廣義力 f ：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。 二者關(guān)系：二者關(guān)系：廣義力廣義力 廣義坐標(biāo)的改變量廣義坐標(biāo)的改變量 = = 功功1. 由電場強(qiáng)度由電場強(qiáng)度 E 的定義求靜電力的定義求靜電力，即，即EfqdqdEf dqEfdWfdgdWfdg 虛位移虛位移 dg：虛設(shè)的廣義坐標(biāo)的該變量（變化趨勢量）。：虛設(shè)的廣義坐標(biāo)的該變量（變化趨勢量）。算力：算力：虛功：虛功：（1）常電荷系統(tǒng)（）常電荷系統(tǒng)（ dqk=0 ）gfWdd0eeddf gW 表明：取消外源后，電場力作功必須靠表明：取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實(shí)現(xiàn)。減少電場中靜電能量來

9、實(shí)現(xiàn)。.constekqgWf在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體 p 發(fā)生位移發(fā)生位移 dg 后后, ,其功能關(guān)系為：其功能關(guān)系為：外源提供能量外源提供能量 = = 靜電能量增量靜電能量增量 + 電場力所作功電場力所作功gfWWddde即即多導(dǎo)體系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng) ( K 斷開斷開 )靜電能量的增量靜電能量的增量112nekkKdWdq注意：分情況考慮注意：分情況考慮0kdq 0dW 廣義力：廣義力：kkqWddgfqqkkkkdd21d外源提供能量的增量外源提供能量的增量 表明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另表明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。一

10、半用于電場力做功。（2） 常電位系統(tǒng)（常電位系統(tǒng)（ dk=0 ）constekgWf多導(dǎo)體系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng)( K 閉合閉合 )1dd2ekkWq靜電能量的增量靜電能量的增量: :以上兩種情況所得結(jié)果應(yīng)該是相同的，因?yàn)閷?shí)際帶電體系統(tǒng)以上兩種情況所得結(jié)果應(yīng)該是相同的，因?yàn)閷?shí)際帶電體系統(tǒng)并沒有發(fā)生位移，電場分布沒有變化，而是同一種狀態(tài)不同并沒有發(fā)生位移，電場分布沒有變化，而是同一種狀態(tài)不同虛設(shè)情況下的虛功、虛位移和廣義力。虛設(shè)情況下的虛功、虛位移和廣義力。廣義力：廣義力： 上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的consteconstqekkgWgWf試求圖示平行板電容器兩極板之間的作

11、用力。試求圖示平行板電容器兩極板之間的作用力。解法一：若為常電位系統(tǒng)解法一：若為常電位系統(tǒng)221CUWeconstekgWf2202022USUCdd解法二：若為常電荷系統(tǒng)解法二：若為常電荷系統(tǒng)CqWe221constqekgWfC2qg20dS2U202可見，兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，可見，兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，電場力有使電場力有使d 減小的趨勢減小的趨勢，即電容增大，即電容增大的趨勢。的趨勢。dsC0 兩個(gè)公式所求得的兩個(gè)公式所求得的廣義力是代數(shù)量廣義力是代數(shù)量 ，還需根據(jù)，還需根據(jù)“”號判斷其方向。號判斷其方向。dsC0平行板電容器平行板電容器3. 法拉第觀點(diǎn)法拉第觀點(diǎn)法拉第對靜電力的看法法

12、拉第對靜電力的看法法拉第認(rèn)為，將法拉第認(rèn)為，將電通量線電通量線看作看作電通量密度管電通量密度管，沿其軸向受到，沿其軸向受到縱張力縱張力，垂直于軸向方向受到垂直于軸向方向受到側(cè)壓力側(cè)壓力，類似，類似橡皮筋橡皮筋。1) 可定性分析、判斷帶電體的受力情況?？啥ㄐ苑治?、判斷帶電體的受力情況。221122DE力的大小力的大小圖圖1.9.7a 電位移管受力情況電位移管受力情況圖圖1.9.7 b 物體受力情況物體受力情況12efwD E注意作用力與反作用力關(guān)系注意作用力與反作用力關(guān)系力密度力密度 = 能量密度能量密度)11(221221Dfffa)(212234Efffb2) 對某些特殊情況可進(jìn)行定量計(jì)算。

13、對某些特殊情況可進(jìn)行定量計(jì)算。例例 試求圖示試求圖示 (a)、(b)平行板電容器中，兩種介質(zhì)分界面上每單位面積平行板電容器中，兩種介質(zhì)分界面上每單位面積所受到的力。所受到的力。圖圖1.9.9 平行板電容器平行板電容器媒質(zhì)分界面受力的方向總是由媒質(zhì)分界面受力的方向總是由 值較大的媒質(zhì)指向值較大的媒質(zhì)指向 值較小的媒質(zhì)。值較小的媒質(zhì)。分界面軸向拉力：分界面軸向拉力：分界面?zhèn)认驂毫Γ悍纸缑鎮(zhèn)认驂毫Γ阂话闱闆r，兩種介質(zhì)分界面上，作用單位面積上的電場力：一般情況，兩種介質(zhì)分界面上，作用單位面積上的電場力：222111 211 2()2ntfDE 靜態(tài)場的應(yīng)用靜電分離靜電分離Steady Field Ap

14、plications靜電噴涂靜電噴涂 基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）基本物理量（電場強(qiáng)度）基本物理量（電場強(qiáng)度）EE 的旋度的旋度E 的散度的散度基本方程基本方程微分方程微分方程邊值問題邊值問題唯一性定理唯一性定理分界面銜接條件分界面銜接條件電位（電位（ ）邊界條件邊界條件數(shù)值法數(shù)值法有限差分法有限差分法解析法解析法直接積分法直接積分法分離變量法分離變量法鏡像法，電軸法鏡像法，電軸法靜電參數(shù)靜電參數(shù)(電容及部分電容電容及部分電容)靜電能量與力靜電能量與力圖圖1.0 靜電場知識結(jié)構(gòu)圖靜電場知識結(jié)構(gòu)圖作作 業(yè)：業(yè)： 1-9-3 1-9-5電場能量和力：電場能量和力：第二章 恒定電

15、場(恒定電流場)Steady Electric Field導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流基本方程基本方程 分界面銜接條件分界面銜接條件 邊值問題邊值問題導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬電導(dǎo)和接地電阻電導(dǎo)和接地電阻電源電動勢與局外場強(qiáng)電源電動勢與局外場強(qiáng)2.1.1 電流電流 (Current)定義定義電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度：單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量。：單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量。2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流三種電流：三種電流：tqIdd傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流電荷在電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)中的定向運(yùn)動。中的定向運(yùn)動。位移電流位移電流隨時(shí)間隨時(shí)間變化的變化的

16、電場電場產(chǎn)生的產(chǎn)生的假想電流假想電流。運(yùn)流電流運(yùn)流電流帶電粒子在帶電粒子在真空真空中的中的定向定向運(yùn)動。運(yùn)動。ISI在在外電場外電場的作用下，的作用下，自由電荷自由電荷的的定向運(yùn)動定向運(yùn)動形成形成電流電流。 1. . 電流面密度電流面密度 JSISJ d流過任意面積流過任意面積的電流的電流體電荷體電荷 以速度以速度 v 作勻速運(yùn)動形成電流密度矢量作勻速運(yùn)動形成電流密度矢量 J 。vJ2mA電流面密度電流面密度2.1.2 電流密度電流密度（Current Density)電流面密度矢量電流面密度矢量電流的計(jì)算電流的計(jì)算dIdSJ =n 電流按分布情況分為：體電流、面電流和線電流。電流按分布情況分

17、為：體電流、面電流和線電流。Ne Jv2. . 電流線密度電流線密度 KmA vKlIld )(neK電流電流en 是垂直于是垂直于 dl，且通過，且通過 dl 與曲面相切的單位矢量。與曲面相切的單位矢量。面電荷面電荷 在曲面上以速度在曲面上以速度 v 運(yùn)動形成的電流。運(yùn)動形成的電流。電流線密度及其通量電流線密度及其通量電流線密度電流線密度電流密度矢量在各處都不隨時(shí)電流密度矢量在各處都不隨時(shí)間變化的電流稱為間變化的電流稱為恒定電流恒定電流。3. 元電流的概念元電流的概念元電荷元電荷 dq 以速度以速度 v 運(yùn)動形成的電流運(yùn)動形成的電流 v dq 。qdl lK Jd(dd(dd)( dISSV

18、V線電流元）面電流元）體電流元 工程上電流問題工程上電流問題媒質(zhì)磁化后的表面媒質(zhì)磁化后的表面磁化電流磁化電流；同軸電纜的外導(dǎo)體視為同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線密度分布電流線密度分布；高頻時(shí)，因高頻時(shí)，因集膚效應(yīng)集膚效應(yīng)，電流趨于導(dǎo)體表面分布，電流趨于導(dǎo)體表面分布，形成形成渦旋電流，即渦流渦旋電流，即渦流。圖圖2.1.4 媒質(zhì)的磁化電流媒質(zhì)的磁化電流2.1.3 歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式 說明：說明：J 與與 E 共存，特性一致共存，特性一致。 恒定電場與靜電場可以類比分析。恒定電場與靜電場可以類比分析。推導(dǎo)歐姆定律微分形式推導(dǎo)歐姆定律微分形式 ？在線性媒質(zhì)中在線性媒質(zhì)中 歐姆定律歐姆定

19、律 積分形式積分形式RIU J 與與 E 之關(guān)系之關(guān)系dIdJSdlRdSdUdEldldddSJS = EldURdIJ =E歐姆定律微分形式歐姆定律微分形式導(dǎo)體電阻計(jì)算式導(dǎo)體電阻計(jì)算式llRSS為電導(dǎo)率為電導(dǎo)率2.1.4 焦?fàn)柖傻奈⒎中问浇範(fàn)柖傻奈⒎中问?導(dǎo)體有電流時(shí)，運(yùn)動電子與原子晶格碰撞，產(chǎn)生熱量。導(dǎo)體有電流時(shí)，運(yùn)動電子與原子晶格碰撞，產(chǎn)生熱量。電源提供能量轉(zhuǎn)化為熱能，即電場做功轉(zhuǎn)化為熱功。電源提供能量轉(zhuǎn)化為熱能，即電場做功轉(zhuǎn)化為熱功。/dPdA dtpdVdV= J E焦耳定律微分形式焦耳定律微分形式電場力對一個(gè)電子做功電場力對一個(gè)電子做功edAdedt flE vedANdVd

20、ANedVdt E v 對對 NdV 個(gè)電子做功個(gè)電子做功單位體積內(nèi)的單位體積內(nèi)的功率體密度功率體密度為為其中，電流密度其中，電流密度Ne JvdAdVdt J E電場力做功為電場力做功為dAdPdVdt= J E電場力的功率為電場力的功率為2PUII R焦耳定律積分形式焦耳定律積分形式2.2.1 電源和電動勢電源和電動勢2.2 電源電動勢與局外場強(qiáng)電源電動勢與局外場強(qiáng)qfEee局外場強(qiáng)局外場強(qiáng)ef局外力局外力(非靜電力非靜電力)2.2.2 局外場局外場恒定恒定(直流直流)電流的形成電流的形成電源將化學(xué)能、機(jī)械能等轉(zhuǎn)換為電能，電源將化學(xué)能、機(jī)械能等轉(zhuǎn)換為電能，它把內(nèi)部媒質(zhì)的正負(fù)電荷分開，產(chǎn)生它

21、把內(nèi)部媒質(zhì)的正負(fù)電荷分開，產(chǎn)生電電動勢動勢；在外部導(dǎo)體之間形成電壓，維持；在外部導(dǎo)體之間形成電壓，維持一個(gè)一個(gè)恒定電場恒定電場，從而產(chǎn)生，從而產(chǎn)生恒定電流恒定電流。電源將正負(fù)電荷分開的力稱為電源將正負(fù)電荷分開的力稱為局外力局外力，對，對應(yīng)的電場強(qiáng)度稱為應(yīng)的電場強(qiáng)度稱為局外場強(qiáng)局外場強(qiáng)。lEdlee電源電動勢電源電動勢另外，在電源正負(fù)電極上，累積電荷形成另外，在電源正負(fù)電極上，累積電荷形成庫倫場強(qiáng)庫倫場強(qiáng) Ec 。對含源閉合環(huán)路合場強(qiáng)積分得對含源閉合環(huán)路合場強(qiáng)積分得lEEd)(lec電源導(dǎo)體系統(tǒng)的合電場是非保守場。電源導(dǎo)體系統(tǒng)的合電場是非保守場。合場強(qiáng)合場強(qiáng)ecEEE dlElee 0 ddel

22、lcElEl電源外，導(dǎo)體中庫倫場電源外，導(dǎo)體中庫倫場 Ei = Ec ，積分，積分d 0clEl電源電動勢與局外場強(qiáng)電源電動勢與局外場強(qiáng)在電源內(nèi)部，存在在電源內(nèi)部，存在庫倫場強(qiáng)庫倫場強(qiáng)和和局外場強(qiáng)局外場強(qiáng)。導(dǎo)體中的庫倫場導(dǎo)體中的庫倫場 Ec 是保守場是保守場 (積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān))。)(ecEEJ含源回路電流含源回路電流恒定電流場的特性恒定電流場的特性2.3.1 電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程2.3 恒定電場基本方程恒定電場基本方程 分界條件分界條件 邊值問題邊值問題恒定電流場中恒定電流場中0qt 結(jié)論：恒定電結(jié)論：恒定電( (流流) )場是無源場，場是無源場，J是無頭無尾的閉合曲線。

23、是無頭無尾的閉合曲線。故故0 JdSqIt JS電荷守恒原理電荷守恒原理1. . J 的散度（面積分）的散度（面積分）亦稱亦稱電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程0 dSJS散度定理散度定理0dVJV微分形式微分形式t J電流定義：電流定義：SdqIddtJS單截面單截面閉合面：閉合面： 總結(jié)論：總結(jié)論： 導(dǎo)電媒質(zhì)中導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場是無源無旋場恒定電場是無源無旋場。2. . E 的旋度（線積分）的旋度（線積分）所取積分路線不所取積分路線不經(jīng)過電源，則經(jīng)過電源，則 3. . 恒定電場（除電源外）特性方程恒定電場（除電源外）特性方程0d SSJ0d llEEJ0 J0E 結(jié)論：恒定電結(jié)論：恒定電( (流

24、流) )場是無旋場，即為保守場場是無旋場，即為保守場。0cE積分形式積分形式微分形式微分形式構(gòu)成方程構(gòu)成方程d 0clEl斯托克斯定理斯托克斯定理lEEd)(lec dlElee 0 所取積分路線經(jīng)所取積分路線經(jīng)過電源，過電源，2.3.2 分界面的銜接條件分界面的銜接條件（Boundary Conditions)說明：分界面上說明：分界面上 E 切向切向分量連續(xù)，分量連續(xù)，電流密度電流密度 J 法向法向分量連續(xù)分量連續(xù)。 折射定律折射定律2121tantan 電流線的折射電流線的折射0d llE 0dSSJ由由得得2t1tEE2n1nJJ1122sinsinEE111222coscosEE電流由良導(dǎo)體進(jìn)入不良導(dǎo)體內(nèi)，電流電流由良導(dǎo)體進(jìn)入不良導(dǎo)體內(nèi)，電流 J 線與良導(dǎo)體表面近似垂直。線與良導(dǎo)體表面近似垂直。2n220 nJE例：例：考慮直流輸電線與空氣銜接條件?？紤]直流輸電線與空氣銜接條件。 0022J，解解: : 在空氣在空氣( (理想介質(zhì)理想介質(zhì)) )空氣中空氣中2n21nn2EDD0 1n2n JJ故導(dǎo)體與理想介質(zhì)分